天津市静海区2022-2023学年高二下学期3月学业能力调研
数学（3月）
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（112分）和第Ⅱ卷提高题（38）两部分，共150分。其中学习习惯占8分（含3分卷面分）
知 识 与 技 能 学习能力
内容 导数定义 单调性 极值最值 数列 导数几何意义 参数范围 关键环节
分数 10 30 20 21 15 30 24
第Ⅰ卷 基础题（共112分）
一、选择题: 每小题5分，共30分.
1.已知函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和C． D．
3.已知函数，记，，，则（ ）
A．B．C． D．
4.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题：每小题5分，共15分.
7．已知函数是可导函数，且，则______.
8.若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数______．
9.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为.
三、解答题：(本大题共6小题，共67分)
10.(16分）已知函数．
（1）若，求的单减区间。
(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）若函数在区间上存在减区间，求的取值范围
（4）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
11.（16分）已知为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)已知．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求
12.（16）已知函数在处取得极值0．
(1)求实数，的值；
(2)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
13.（19分）已知函数（是自然对数的底数）
求f(x)在（1，f(1)）处的切线方程.
存在成立，求a的取值范围。
对任意的，存在，有，则的取值范围.
题目要求 等价转化成关系式
若，，总有
若，，有
若，，有
若，有，
（4）
第Ⅱ卷 提高题（共38分）
14.（18分）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前项和.
15.（12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.
16【新学法】（5分）请同学们谈谈对待陌生题、难题应具备的心态和科学方法。
17.卷面分（3分）
学生学业能力调研试卷答题纸
学校： 姓名： 班级： 考场： 座号
一、选择题：
二、填空题（每题5分，共15分）
7._________ 8._________ 9.__________
三、解答题（本大题共6题，共67分）
10. （16分）
11.（16分）
12（16分）
13.（19分）
14.（18分）
15.（12分）
16.对待陌生题、难题应具备的心态和科学方法。（5分）
17.卷面分3分
天津市静海区2022-2023学年高二下学期3月学业能力调研
答案
一、选择题
1-6.CADDCB
二、填空题
7．1 8.2 9．
三、解答题
10.（4）函数的定义域为
令，其对称轴为，
因为函数在区间上不单调，
所以即，
解得，所以的取值范围为．
11．
【详解】（1）证明：设数列的公差为，
由，得，
即可解得，所以原命题得证．
（2）解：（i）由（1）及，，可得，，
所以，.
（ii）由（1）及，可得， 所以
记. ①
②
①②得
所以
12．【答案】(1)，；
(2)
【分析】(1)利用函数取得极值的条件，列出方程组，解之即可求解；
(2)利用导数求出函数在区间的最值，然后根据题意即可求解.
【详解】（1）因为函数，
所以，
由题意可知：，即，解得，，经检验满足；
（2），
由得，
由题意，曲线与直线在区间，上恰有2个交点，
，，时，；
，时，，
所以在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，
而，， ，
又，．
(1)
(3)因为对任意的，存在，有，
所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，故；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，故；
当，即时，在上单调递增，
所以，即，故；
综上：，即.
故答案为：.
15.【答案】(1)，
(2)+n
(3)
【分析】（1）公式法解决即可3）由题得，当为奇数时，，裂项相消，分组求和结合解决即可.
【详解】（1）由题知数列是公差为1的等差数列，且，
所以，得，
所以，
因为数列是等比数列，且，，
所以，解得，
所以，
所以和的通项公式为，，
（2）由（1）得为，
所以数列的前项和
，
所以
（3）由（1）得为，，
所以，
因为当为奇数时，，
所以求列的前项和为
15.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可.
（2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明.
【详解】（1）∵，定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
.
要证，
只需证，
即证恒成立.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，即：.
∴恒成立，
∴原命题得证.即：当时，.
