第三章 万有引力定律 单元检测（A卷）
一、单选题
1．通过天文观察得知，某行星质量为M，半径为R，行星表面无大气存在，其同步卫星的轨道半径为r，已知万有引力常数为G，则以下说法错误的是（ ）
A．该行星的自转周期为
B．不考虑自转的影响，在该行星表面高h处以初速度平抛一物体，落地时水平位移为
C．该行星的第一宇宙速度为
D．该行星表面重力加速度为
2．关于万有引力定律，下列说法正确的是（ ）
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而万有引力常量是由卡文迪许测定的
B．万有引力定律是由卡文迪许发现的，而万有引力常量是由牛顿测定的
C．m1与m2相互的引力总是大小相等，而且与m1、m2是否相等无关
D．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
3．在牛顿发现了万有引力定律一百多年后，英国科学家卡文迪许利用扭秤实验测得的物理量是（ ）
A．地球半径R
B．太阳的质量M
C．地球到太阳的距离r
D．万有引力常量G
4．行星A和B都是均匀球体，其质量之比是1：3，半径之比是1：3，它们分别有卫星a和b，轨道接近各自行星表面，则两颗卫星a和b的周期之比为 （ ）
A．1：27 B．1：9 C．1：3 D．3：1
5．对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是（ ）
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
D．m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
6．如图所示，发射地球同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道I，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道II，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道III。下列说法正确的是（ ）
A．同步卫星可定位于北京正上方
B．卫星在轨道I上的运行速度大于7.9km/s
C．卫星在轨道II上运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度
D．卫星由轨道II进入同步轨道III，需在Q点加速
7．牛顿曾经设想把物体从高山上水平抛出，如果速度一次比一次大，落点也就一次比一次更远，如果速度达到足够大的v，物体就能不再落回地面，将绕地球运动而成为人造地球卫星．则这个足够大的速度v是
A． B．
C． D．
8．2020年6月23日，我国北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功，这颗卫星是地球静止轨道卫星。如图所示，在发射的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（ ）
A．该卫星的发射速度必定大于
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于，可以位于北京上空
C．在轨道Ⅰ上，卫星的动能是不改变的
D．由于稀薄大气的影响，如不加干预，在运行一段时间后，半径变小，速度变大，该卫星的动能可能会增加
二、多选题
9．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R.已知万有引力常量为G，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星做圆周运动的轨道半径为
B．四颗星做圆周运动的线速度均为
C．四颗星做圆周运动的周期均为
D．四颗星表面的重力加速度均为
10．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为
D．地球的密度为
11．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ）
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
12．如图，北斗导航卫星的发射需要经过几次变轨，例如某次变轨，先将卫星发射至近地圆轨道1上，然后在P处变轨到椭圆轨道2上，最后由轨道2在Q处变轨进入圆轨道3，轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点．忽略空气阻力和卫星质量的变化，则以下说法正确的是( )
A．该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P处减速
B．该卫星从轨道1到轨道2再到轨道3，机械能逐渐减小
C．该卫星在轨道3的动能小于在轨道1的动能
D．该卫星稳定运行时，在轨道3上经过Q点的加速度等于在轨道2上Q点的加速度
三、解答题
13．如图所示，两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做顺时针匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，周期为Ta，b卫星离地面高度为3R，则：
(1)a，b两卫星运行周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a至少经过多长时间与b相距最远？
14．宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。
（2）试写出它们角速度的表达式。
15．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响。
(1)求地球的质量M；
(2)近地卫星的运行周期T。
16．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入。
（1）若已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，月球绕地球运动的周期为，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径。
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为的某处以速度水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为。已知月球半径为，引力常量为，试求出月球的质量。
参考答案：
1．D
【详解】A．该行星的自转周期等于星球同步卫星的周期，由
解得
故A正确；
D．该行星表面由
可知，星球表面重力加速度为
故D错误；
B．由平抛规律知
，
解得
故B正确；
C．由
知该行星的第一宇宙速度为
故C正确。
故选D。
2．C
【详解】AB．万有引力定律是由牛顿发现的，而万有引力恒量是由卡文迪许通过扭秤实验测定的，故AB错误；
C．两物体m1与m2之间的相互作用总是大小相等，方向相反的作用力与反作用力，与m1、m2是否相等无关，故C正确；
D．当两物体间的距离趋向于零时，万有引力定律不再适用，故不能得出万有引力趋于无穷大的结论，故D错误。
故选C。
3．D
【详解】在牛顿发现了万有引力定律一百多年后，英国科学家卡文迪许利用扭秤实验测得的物理量是万有引力常量G，故选D。
【点睛】本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一。
4．C
【详解】根据万有引力提供向心力，有
解得
在行星表面运动，轨道半径可以认为就是行星的半径。行星A和B质量之比是，半径之比是，则
故选C。
5．C
【详解】A．宇宙间的任何两个物体间都存在引力作用，A错误；
B．当r趋于零时，作用力的性质发生了变化，不再遵从这个规律，B错误；
CD．m1与m2之间的相互引力是一对作用力和反作用力，不是平衡力，故大小相等，方向相反，C正确；D错误；
故选C。
【名师点睛】万有引力定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比；表达式：，G为引力常量：G=6.67×10-11 N m2/kg2；适用条件：
（1）公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
6．D
【详解】A．同步卫星定位于赤道正上方，不可能定位于北京正上方，故A错误；
B．所有圆轨道卫星的运行速度都不可能大于7.9km/s，故B错误；
C．P点是轨道II的近地点，P点受到的万有引力大，据万有引力产生加速度可知，在轨道II上P点的加速度大于Q点的加速度，故C错误；
D．卫星由轨道II进入轨道III，是内轨向外轨变化，所以到达Q点时必须加速，从而进入轨道III，故D正确。
故选D。
7．A
【详解】要想使物体绕地球运动而成为人造地球卫星，不再落回地面，则物体的速度必须要达到第一宇宙速度，即v=7.9km/s，故选A.
8．D
【详解】A．该卫星的发射速度必定小于，因为一旦达到第二宇宙速度，卫星会挣脱地球的束缚，不绕地球运行。故A错误；
B．卫星的最大环绕速度为，所以卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于，但同步卫星只能固定在赤道上空，故B错误；
C．根据开普勒第二定律，可知在轨道Ⅰ上，卫星的动能是改变的。故C错误；
D．于稀薄大气的影响，如不加干预，在运行一段时间后，卫星的速度减小，引力大于向心力，做近心运动，半径变小，引力做正功，其速度变大，该卫星的动能可能会增加。故D正确。
故选D。
9．CD
【详解】如图所示，四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r＝ L.取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为.由F合＝F向＝，解得，，故A、B项错误，C项正确；对于在星体表面质量为m0的物体，受到的重力等于万有引力，则有，故，D项正确．
10．BCD
【详解】A．因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，故A错误；
B．因在地球的两极，重力与万有引力
=mg0
则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为
故B正确；
C．在赤道上，根据向心力公式
联立解得
故C正确；
D．地球的密度为
联立解得
故D正确。
故BCD。
11．ABC
【详解】本题考查人造地球卫星的变轨问题以及圆周运动各量随半径的变化关系．，得，在人造卫星自然运行的轨道上，线速度随着距地心的距离减小而增大，所以远地点的线速度比近地点的线速度小，vA
【详解】A．该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P处加速，A错误；
B．该卫星从轨道1到轨道2需要点火加速，则机械能增加；从轨道2再到轨道3，又需要点火加速，机械能增加；故该卫星从轨道1到轨道2再到轨道3，机械能逐渐增加，B错误；
C．根据万有引力提供向心力，则有
解得v=，由题可知，该卫星在轨道3的半径大于在轨道1的半径，故该卫星在轨道3的速度小于在轨道1的速度，根据
可知该卫星在轨道3的动能小于在轨道1的动能，C正确；
D．根据
解得a=，可知该卫星稳定运行时，在轨道3上经过Q点的加速度等于在轨道2上Q点的加速度，D正确。
故选CD。
13．(1)1∶ (2)
【详解】解：(1)对做匀速圆周运动的卫星有：
可得：
所以，
(2)由，可知：，即a转动得更快．
设至少经过时间t两卫星相距最远，则由图可得：
解得：
14．（1）见解析；（2）ω＝
【详解】（1）双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。
分别对 m1、m2应用牛顿第二定律列方程。
对m1有
＝m1ω2R1①
对m2有
＝m2ω2R2②
由①②得
由线速度与角速度的关系v＝ωR，得
（2）由①得
R1＝
由②得
又因为
L＝R1＋R2
联立以上三式得
15．(1)； (2) .
【详解】(1)忽略地球自转影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，
即
解得
(2)近地卫星在地面附近轨道做匀速圆周运动，重力等于向心力
解得
16．（1） （2）
【详解】(1)设地球质量为M，根据万有引力定律及向心力公式得：
万有引力等于重力：
联立解得：
(2)设月球表面处的重力加速度为，小球飞行时间为
根据题意得：
下落高度：
万有引力等于重力：
联立解得：
