人教版初中数学七年级下册第九单元《不等式与不等式组》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第九单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 根据，则下面哪个不等式不一定成立．( )
A. B. C. D.
2. 下列说法不一定成立的是( )
A. 若，则． B. 若，则．
C. 若，则． D. 若，则．
3. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
4. 方程，当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 若关于的不等式的解集中有无数多个整数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知关于的不等式的解集如下图所示，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知关于是不等式是一元一次不等式，那么的值是( )
A. B. C. D. 不能确定
8. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点，观察如图所示的中心在原点、一边平行于轴的正方形：边长为的正方形内部有个整点，边长为的正方形内部有个整点，，则边长为的正方形内部整点个数为( )
A. B. C. D.
9. 关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为( )
A. B. C. D.
10. 已知关于的不等式的解也是不等式的解，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 以上都不正确
11. 运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
12. 已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：
当时，方程组的解也是方程的解；
当时，、的值互为相反数；
若，则；
是方程组的解．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 小聪的爸爸给爱动脑筋的小聪出了一道题目：有四个桔子，大小相仿，不能用秤去称，将四个桔子按质量从大到小排列爱动脑的小聪把四个桔子编号为，，，，并制作了一个简易的天平，做了如图所示的试验请你根据小聪的试验把四个桔子按质量从大到小排列： 用“”连接．
14. 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．每块型钢板的面积比每块型钢板的面积小．方案一总面积记为，方案二总面积记为，则______填“，或”．
15. 若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式利用这个不等式，求出满足的所有解，其所有解为 ．
16. 临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共袋每袋均为同一品种的粽子，其中白粽每袋个，豆沙粽每袋个，蛋黄粽每袋个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成、两种套装进行特价销售：套装为每袋白粽个，豆沙粽个；套装为每袋白粽个，蛋黄粽个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货量不低于总进货量的，则豆沙粽最多购进______袋．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某中学体育组因教学需要本学期购进篮球和排球共个，共花费元，已知篮球的单价是元个，排球的单价是元个．
篮球和排球各购进了多少个列方程组解答？
因该中学秋季开学成立小学部，教学资源实现共享，体育组提出还需购进同样的篮球和排球共个，但学校要求花费不能超过元，那么排球最多能购进多少个列不等式解答？
18. 本小题分
如图，在直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限，且，．
若，满足，试求、、三点的坐标；
若点在线段上，，的延长线与的延长线交点，与交于点，试探索与之间的数量关系和位置关系，并进行证明．
19. 本小题分
四个数分别是，，，，满足，且为正整数，．
若．
当时，求的值；
对于给定的有理数，满足，请用含，的代数式表示；
若，，且，试求的最大值．
20. 本小题分
阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为．
例解不等式，在数轴上找出的解如图，因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
方程的解为__________；
解不等式：；
解不等式：．
21. 本小题分
某校举行庆祝十六大的文娱汇演，评出一等奖个，二等奖个，三等奖个．学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品名 小提琴 运动服 笛子 舞鞋 口琴 相册 笔记本 钢笔
单价元
如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的倍；在总费用不超过元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需要多少钱？
22. 本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，点位于第一象限，将点向下平移一定单位长度得到点，以为边在右侧作正方形．
求的值及点的坐标；
横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图所示，已知点，，将正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域不含边界为．
当时，区域内的整点个数为______；
若区域内恰有个整点，求的取值范围．
23. 本小题分
某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒
现有正方形纸板张，长方形纸板张．若要做两种纸盒共个，设做竖式纸盒个．
根据题意，完成以下表格：
纸盒 纸板 竖式纸盒个 横式纸盒个
正方形纸板张
长方形纸板张
按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
若有正方形纸板张，长方形纸板张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知求的值．
24. 本小题分
碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多寡，如图所示．
碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于公克且不超过公克为例，此范围内的碳足迹数据标示只有、、、、、公克等个偶数；碳足迹数据标示决定于碳排放量与这个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如下表所示．
碳排放量 碳足迹数据标示
公克 公克
公克 公克
公克 公克或公克皆可
公克 公克
请根据上述资讯，回答下列问题，并详细解释或完整写出你的解题过程．
若有一个产品的碳足迹数据标示为公克，则它可能的碳排放量之最小值与最大值分别为多少公克？
承，当此产品的碳排放量减少为原本的时，请求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
25. 本小题分
对于不等式：且，当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
解关于的不等式：；
若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围；
若关于的不等式：，当且时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的基本性质：
不等式两边同时加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质进行判断， 注意“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．
【解答】
解：由，两边同时加上，根据不等式性质，知A正确
B.由，两边同时减去，根据不等式性质，知B正确
C.由，两边同时乘以，若，则不等号就该变为等号，而此题不能确定是否为，故C不一定成立
D.由，两边同时除以，既然已经作了除数就说明不等于，即此题隐含了的条件，所以为正数，根据不等式性质，知D正确．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．根据不等式的性质进行判断不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】
解：在不等式的两边同时加上，不等式仍成立，即，故本选项错误；
B. 在不等式的两边同时除以不为的，该不等式仍成立，即，故本选项错误．
C. 在不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即，故本选项错误；
D. 当时，若，则不等式不成立，故本选项正确；
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．先解关于的不等式，得出解集，再根据不等式的解集是，从而得出与的关系，选出答案即可．
【解答】
解：关于的不等式的解集是，
，，
解得，
解关于的不等式得，
，
，
，
，
故选C．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解方程组就可以得到，
根据题意得，
解得：．
故选C．
先根据非负数的性质列出方程组，用表示出的值，再根据，就得到关于的不等式，从而求出的范围．
本题考查了初中范围内的两个非负数，利用非负数的性质转化为解方程，这是考试中经常出现的题目类型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式的特殊解的有关知识．
分和两种情况把已知的不等式去掉绝对值符号，然后讨论不等式的解集，确定的取值范围．
【解答】
解：当时，原不等式可化为，即，
当时，有有限个整数解；
当时，不等式有无穷多个整数解；
当时，，有无穷多个整数解，此时；
当时，原不等式可化为，即，
当时，，此时不等式有无穷多个整数解，此时，
当时，此不等式有无穷多个整数解，
当时，，此时不等式无解或有有限个解．
综上所述可得或．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查方程与不等式的综合题目．解关于的不等式是本题的一个难点根据不等式的性质：先移项，再系数化解得不等式，然后根据数轴可知不等式的解，这样即可解得的值．
【解答】
解：移项得，，
系数化为得，，
则有，
解得．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元一次不等式的定义有关知识，首先根据一元一次不等式的定义确定即可求出的值．
【解答】
解：由题意可得：
，
则，
即．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的规律型问题：点的坐标，坐标确定位置，一元一次不等式的整数解．
求出边长为、、、、、、、的正方形的整点的个数，得到边长为和的正方形内部有个整点，边长为和的正方形内部有个整点，边长为和的正方形内部有个整点，设边长为的正方形内部的整点的坐标为，，都为整数，得，，得出，的整数个数，进而推出边长为和的正方形内部有个整点，即可得出答案．
【解答】
解：设边长为的正方形内部的整点的坐标为，，都为整数。
则，，
故只可取，，，，，，共个，只可取，，，，，，共个，
它们共可组成点的数目为个
故选B．
9.【答案】
【解析】解：
得
，
关于、的方程组的解满足，
，得，
，
由，得，
由，得，
关于的不等式组有解，
，得，
由上可得，，
符合条件的整数的值的和为：，
故选：．
根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，在解不等式时，要根据的符号分类讨论，不要漏解．先根据不等式求出的取值范围，解不等式时，由于的取值范围不确定，故应根据不等式的基本性质分和两种情况求的取值范围，再根据两不等式有相同的解集，找出符合条件的的取值范围即可．
【解答】
解：由，
解得，
对于不等式，
当时，，则的解不全是的解，不合题意，
当时，，则，
解得，
故．
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，将其中的所有整数值相加即可得出结论．
【解答】
解：依题意，得：，
解得：．
又为整数，
，，，，
．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组加减消元法，将代入方程组计算求出与的值，即可做出判断；将代入方程组求出与的值，即可确定做出判断；根据的范围确定出的范围即可做出判断；将与的值代入方程组检验即可做出判断．
【解答】
解：解方程组，得，
，
，，
当时，，，方程两边相等，故正确；
当时，，，，的值互为相反数，故正确；
，即，解得，，，即，，故错误；
将，代入方程组得：，解得，不合题意，故错误；
正确的结论有个，
故选B．
13.【答案】
【解析】解：由题图得，，．
得，，．
由得，得，
，，即．
，，，
．
14.【答案】
【解析】解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，
方案一：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：；
方案二：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：，
，
，
，
．
故答案为：．
设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，方案一：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：；方案二：用块型钢板，用块型钢板，用式子表示为：，用减去，结果与比较即可；
本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可．本题难度中等略大．
15.【答案】或
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：设购进的豆沙粽为袋，白粽袋，则蛋黄粽为袋，
于是，取出的豆沙粽的个数为个；取出的白粽的个数为个；
取出的蛋黄粽的个数为个；
因此套装的套数为：套，套装的套数为：套，
根据两种套装的白粽个数等于取出的白粽的个数得：
整理得：，
又蛋黄粽的进货量不低于总进货量的，
，
把，代入中，
解得：，
为正整数，因此．
故答案为：．
根据取出的三种粽子的个数与套装中的各种粽子的个数对应相等，可以得到白粽和豆沙粽的袋数之间的关系，再由蛋黄粽的进货量不低于总进货量的，列不等式求出豆沙粽袋数的取值范围，从而确定豆沙粽最多购进的袋数，然后验证取出的袋数和套装的袋数均为正整数即可．
本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据蛋黄粽的进货数量的要求列出不等式求解验证．
17.【答案】解：设购进篮球个，购进排球个，根据题意可得：
，
解得：，
答：购进篮球个，购进排球个；
设购进排球个，购进篮球个，根据题意可得：
，
解得：，
答：最多购进排球个．
【解析】根据购进篮球和排球共个，共花费元，进而分别得出方程求出即可；
利用篮球和排球共个，学校要求花费不能超过元，得出不等式求出即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，利用已知排球与篮球的数量总和和总费用得出等式是解题关键．
18.【答案】解：，
，
，
，，
过点作轴于点，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为；
，且，理由是：
证明：≌，
，，
，
，，
，，
在与中，
，
≌，
．
【解析】先根据非负性得出和的值，得出点和的坐标，过点作轴于点，根据证明≌，根据全等三角形的性质即可得到点的坐标；
根据全等三角形的性质的性质和等量代换可得是等腰直角三角形，也得，所以，则，根据证明≌，根据全等三角形的性质即可得到．
本题是三角形与坐标的综合题，涉及的知识点有：全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，平方与二次根式的非负性．关键是根据全等的判定证明对应的三角形全等解决问题．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
，
．
，，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，且为正整数，
的最大值为．
【解析】本题考查绝对值的意义，列代数式，整式的加减，整体代入的数学思想，不等式的性质，一元一次不等式的整数解，关键是掌握绝对值的意义和整体代入的数学思想．
根据，，和绝对值的意义代入计算即可；
先由和得，再由中的得，最后整体代入即可解答；
先判定和的符号，再根据绝对值的意义化简，得，再计算用的代数式表示，再根据得不等式，解不等式即可解答．
20.【答案】解：或；
在数轴上找出的解．
因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
在数轴上找出的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到和对应的点的距离之和等于的点对应的的值．
因为在数轴上和对应的点的距离为，
所以满足方程的对应的点在的右边或的左边．
若对应的点在的右边，可得；
若对应的点在的左边，可得，
所以方程的解是或，
所以不等式的解集为或．
【解析】
【分析】
本题主要考查了绝对值及不等式的知识，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
利用在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或求解即可；
先求出的解，再求的解集即可；
先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【解答】
解：因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，
所以方程的解为或
故答案为：或；
见答案．
21.【答案】解：由题意，可将一、二、三等奖的奖品定为相册、笔记本、钢笔即可．
答：此时所需费用为元．
设三等奖的奖品单价为元，则二等奖奖品单价应为元，
一等奖奖品单价为元，由题意得：，
解得．
因为最少的奖品价格为元所以最小为元，
故可取元、元、元．
故依次应为元，元，元，
则依次应为：元、元、元．
再看表格中所提供各类奖品单价可知，元、元、元以及元、元、元这两种情况适合题意，
故有两种购买方案：方案一：奖品单价依次为元、元、元，所需费用为元；
方案二：奖品单价依次为元、元、元，所需费用为元．从而可知花费最多的一种方案需元．
答：花费最多的一种方案需元．
【解析】花费最少应选择单价最便宜的种，并且是人数较多的选择最便宜的．
三等奖奖品单价最便宜，应设它为未知量．关系式为：一等奖的单价二等奖的单价三等奖的单价，找到适合方格的方案，并且是花费最多的方案即可．
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，注意应设最小的量为未知数．
22.【答案】解：点向下平移得到点，
，
，
点坐标为，
正方形的边长．
轴，
点的坐标为．
当时，如图，
，，，，
正方形和重叠的区域不含边界内整点为：
，，，共个，
故答案为：．
如图，图，
将正方形向左平移个单位长度，
，，，，
区域内恰有个整点，
或，
或．
【解析】根据点向下平移得到点，可求得点坐标为，再结合正方形性质即可得出答案；
当时，如图，即可得出答案；
如图，图，根据平移性质可得，，，，利用图形列出不等式求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形定义，等腰直角三角形性质，平移的性质，利用数形结合思想是解题关键．
23.【答案】解：如表：
纸盒
纸板 竖式纸盒个 横式纸盒个
正方形纸板张
长方形纸板张
由题意得，，
解得．
又是整数，
，，．
答：有三种方案：生产竖式纸盒个，横式纸盒个；
生产竖式纸盒个，横式纸盒个；
生产竖式纸盒个，横式纸盒个；
如果设个竖式需要正方形纸板张，长方形纸板横张；个横式需要正方形纸板张，长方形纸板横张，可得方程组，
于是我们可得出，，
因为，
解不等式组，由取正整数，
则，当取，则；
当取时，；
当取时，．
或或写出其中一个即可．
【解析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
可根据竖式纸盒横式纸盒个，每个竖式纸盒需个正方形纸板和个长方形纸板，每个横式纸盒需个长方形纸板和个正方形纸板来填空．
生产竖式纸盒用的正方形纸板生产横式纸盒用的正方形纸板张；
生产竖式纸盒用的长方形纸板生产横式纸盒用的长方形纸板张．
由此，可得出不等式组，求出自变量的取值范围，然后得出符合条件的方案．
设个竖式需要正方形纸板张，长方形纸板横张；个横式需要正方形纸板张，长方形纸板横张，可列出方程组，再根据的取值范围求出的取值范围即可．
24.【答案】解：碳排放量之最小值与最大值分别为和公克．
此产品的碳排放量减少为原本的，
，．
此产品碳足迹数据标示为：或．
【解析】由碳排放量公克，碳足迹数据标示公克，碳排放量公克，碳足迹数据标示，公克或公克皆可，可得碳足迹数据标示为公克，碳排放量之最小值与最大值分别为和公克．
由的最大值和最小值乘以就求出此产品碳足迹数据标示的所有可能情形．
本题考查了不等式的相关知识，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题目即可求解．
25.【答案】解：根据有，
可得；
由
得，
，
其解集中无正整数解，
若即时，一定没有正整数解，此时符合题意；
若即时，，解为任意实数，此时不合题意；
若即时，，一定有正整数解，此时不合题意，
综上所述：；
当时，，
，
依题在上存在的值使得其成立，
；
解得；
当时，，
，
依题在上存在的值使得其成立，
，
解得：；
综上所述当时，；当时，．
【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．
根据题意列不等式得解即可；
根据分三种情况讨论得正确的解即可；
根据的值，分两种情况分析的取值范围．
()
