1C 2D 3A 4D 5B 6D 7A 8A
9ABD 10BCD 11AC 12AD
362
3
22
(1,2)
17． 解：（1）由题意知{an}是公比为2的等比数列，
故a3＝a1q2＝4a1，a4＝8a1，a5＝16a1.
依题意，得2（a4+4）＝a3+a5，即2（8a1+4）＝4a1+16a1，
整理得4a1＝8，解得a1＝2.
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
（2）根据（1）可知Sn＝a1·＝2·＝2n+1
故2n+1，整理得2n+1＝64，解得n＝5.
故n的值是5.
18．已知函数f（x）＝exsinx﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）因为f（x）＝exsinx﹣x+1，
所以f'（x）＝ex（cosx+sinx）﹣1，
又f（0）＝1，f'（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1．
（Ⅱ）当，f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣1，f″（x）＝2ex cosx≥0，
所以y＝f'（x）在区间上递增，
又f'（0）＝0，
故当，f'（x）＜f'（0）＝0，
所以y＝f（x）在上单减，
又当，f'（x）＞f'（0）＝0，
所以y＝f（x）在上单增．
所以f（x）min＝f（0）＝1，．
19.（1）解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0）.
选条件①：∵ S3＝6，a2，a4，a8成等比数列，
∴解得
故数列{an}的通项公式为an＝n.
选条件②：∵ S3＝6，S4＝5a2，
∴解得
故数列{an}的通项公式为an＝n.
选条件③：∵ S3＝6，（n+1）an＝nan+1，
∴解得
故数列{an}的通项公式为an＝n.
（2）证明：∵ bn＝＝，
∴ Kn＝+…+ ＝
＝<.
20.解：（1）∵f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）存在两个极值点，
∴f′（x）＝3x2+2ax+1＝0有两个不同的零点，
∴4a2﹣12＞0，解得或，即a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（2）∵x3+ax2+x≥xlnx+x在（0，+∞）上恒成立，即x3+ax2≥xlnx在（0，+∞）上恒成立 a≥（﹣x）max，x＞0．
令g（x）＝﹣x（x＞0），
则g′（x）＝﹣1＝（x＞0），
令t（x）＝﹣x2﹣lnx+1（x＞0），
则t′（x）＝﹣2x﹣＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上单调递减，
又t（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，t′（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝﹣1，
∴a≥﹣1，即a的最小值为﹣1．
21.（1）证明：因为，所以，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由知，所以，，
设等差数列的公差为d，，所以，
所以，
，
令，
，
两式相减，得 ，
所以，
.
22.（1）
函数在点处的切线的斜率
由题意可知，得
∴函数的解析式为
（2）由（1）知，
令，解得
令，解得
令，解得
列表：
0 2
0 0 0
1 19
从上表可知，，在区间上，
当时，取得最大值19，
当时，取得最小值是.
（3）方程有三个不同的实数根，即的图像与直线有三个交点.
由（2）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，而，，所以唐县第二高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考
数学试题3.16
第I卷（选择题）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知数列{an}满足（n+2）an+1＝（n+1）an，且a2＝，则an＝（ ）
A. B. C. D.
3．已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列的前n项和为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中有一道“两鼠穿墙”问题，大意为：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问两鼠相遇在（ ）
A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天
6.如图，在由开关组与组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有种( )
A. B. C. D.
7．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），满足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
8．已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有2个零点
C．不存在最小值
D．不等式对恒成立
10．已知等差数列满足，前3项和，则（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的公差为
C．数列的前项和为
D．数列的前20项和为
11. 有位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
12．已知定义在区间[a，b]上的函数y＝f（x），f（x）是f（x）的导函数，若存在ξ∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a）．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间（﹣2，2]上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝ex
C．f（x）＝ln（x+3） D．f（x）＝x3﹣x+1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．观察下面的数阵，第20行最左边的数是_____________.
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
…… …… …… …… ……
14．已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______.
15. 已知直线方程，若从，，，，，这六个数中每次取两个不同的数作为，的值，则可表示 条不同的直线．
16．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，f（x）为奇函数，且f（x）﹣f'（x）＞0．则不等式f（x2﹣3x+2）＞0的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知等比数列{an}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列.
（1）求{an}的通项公式.
（2）设{an}的前n项和为Sn，且Sn＝62，求n的值.
18.（12分）已知函数f（x）＝exsinx﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
19.（12分）问题：设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6， .
下列三个条件：①a2，a4，a8成等比数列；②S4＝5a2；③（n+1）an＝nan+1.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝，数列{bn}的前n项和为Kn，求证：Kn<.
20.（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x（a∈R）．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥xlnx+x在（0，+∞）恒成立，求a的最小值
21．（12分）已知数列是首项为的等差数列，数列满足，且，．
(1)证明是等比数列
(2)，求数列的前项和．
22.（12分）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值；
(3)方程有三个不同的实根，求实数的取值范围．
