第三单元 因数与倍数解决问题（提升卷）
2023年春五年级数学下册期中重难点易错题专项突破
一、解答题
1．姜堰城区至海险城区公交车，901路每8分钟发一辆车，路每20分钟发一辆车，这两路车第一次同时发车时间是早上，第二次同时发车是什么时候？（先列表，再回答）
901路
路
2．李小明家卫生间的地面是一个长300厘米，宽240厘米的长方形，如果给卫生间的地面铺上地砖，选择下面哪种规格的地砖能正好铺满？请简要说明理由。
3．一包糖果在100粒以内，每3粒一数余1粒，每4粒一数也余1粒，每5粒一数还余1粒，请问这包糖果共有多少粒？
4．每名工人一天可以生产4件上衣，每名工人一天可以生产7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套衣服。 如果你是服装厂的老板，最少招多少名工人比较合适？怎么安排？
5．同学们做了60朵红花和75朵黄花。把这些花分成相同的若干束，要求每束里的红花的朵数一样多，每束里的黄花的朵数也一样多。想一想，这些花最多可以分成几束？每束里的红花和黄花各有多少朵？
6．要把50粒苹果装在7个盘子里，且每个盘子里的苹果的个数只能是奇数。你能解决这个问题吗？
7．六年级学生参加义务劳动，若6人一组多3人，若8人一组多5人，六年级至少有多少人参加了义务劳动？
8．一筐苹果，3个3个数，最后多1个，5个5个数，最后多1个，7个7个数，最后也多1个。这筐苹果最少有多少个？
9．某班男女生分别列队参加活动，男生24人，女生18人，要使每排人数相同，每排最多有几人？男、女生分别能排几排？
10．甲、乙两地原来每隔36米安装一根电线杆，现在改成每隔54米安装一根电线杆。在安装过程中除了两端的两根电线杆不需要移动外，途中还有14根不需要移动。那么，甲、乙两地相距多少米？
11．育英小学五年级举行“汉字听写大赛”。35名学生要分成两个小组。如果第一小组人数为奇数，第二小组人数为奇数还是偶数？如果第一小组人数为偶数呢？
12．某公共汽车站有两条不同路线，1路车每6分钟发一辆车，2路车每10分钟发一辆车，两路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？
13．五年级有36名同学报名参加植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于3，小于10，可以分成几组？
14．钵池山荷兰花海是现在的网红景点，景区商店准备用90朵红色郁金香和72朵蓝色郁金香扎成花束出售给游客，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的蓝色朵数也都相等，这些郁金香最多可以扎成多少束？每个花束里有几朵花？
15．商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
16．五年级（1）同学参加劳动，男同学有24名，女同学有30名，现把男、女同学混合编组，各组中男生人数相等，女生人数也相等，最多可编多少组？每组中男、女同学各多少人？
17．李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元。如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？（她们购买芒果的单价和数量都是整数）
18．李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元。如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？写出思考过程。（她们购买芒果的单价和数量都是整数）
19．男生有36人，女生有48人，男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？男、女生分别有几排？
20．某校准备把45套图书和37个益智玩具分别平均分给数学竞赛一等奖获得者，结果图书剩3套，益智玩具剩2个，那么最多有多少位同学获得一等奖？
21．把30厘米和48厘米的两根彩带剪成每段一样长的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成多少段？
22．食品店运来一些面包，如果每2个装一袋，每3个装一袋，每5个装一袋，都能正好装完，这些面包可能有多少个？（面包个数在50－80之间）
23．“时代新人”宣传版面是一块长120厘米，宽80厘米的长方形，现准备将版面分成若干个相同的正方形小版面，而且没有剩余。每个正方形版面的边长最长是多少厘米？可以分成多少个这样的正方形小版面？
24．把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸（如图）裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，可以裁多少个？（先在图中画一画，再解答）
25．小青家客厅长4.8米，宽4.2米，用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？
参考答案
1．表见详解
6时40分
【分析】由于901路汽车每8分钟发车一次，k6路汽车每20分钟发车一次，两个车都是6点出发，那么把两个车发车的时间依次写出来，然后找第二次能够相同出发的时间即可。
【详解】由分析可知：
901路
路
答：第二次同时发车是在6时40分。
本题主要考查最小公倍数的找法，解题的关键是把它们发车的时间依次列出。
2．边长60cm的地砖正好铺满，理由见解析。
【分析】根据题意可以计算出卫生间的总面积，除以地砖面积，没有余数说明正好铺满，有余数说明不能正好铺满。
【详解】300×240＝72000（平方厘米）
50×50＝2500（平方厘米）
72000÷2500＝28（块）……2000（平方厘米）
边长为50厘米时，有余数，不能正好铺满。
60×60＝3600（平方厘米）
72000÷3600＝20（块）
边长为50厘米时，没有余数，能正好铺满。
答：边长60cm的地砖正好铺满。需要用20块。
此题还可以从另一个角度思考：装好铺满，说明地砖的边长是300和240的公因数，据此可以推断正好铺满的是边长60厘米的地砖。
3．61粒
【分析】由题意可知：糖果的数量是3、4、5的公倍数＋1
【详解】3、4、5的最小公倍是60
60＋1＜100
所以这包糖果共有61粒。
答：这包糖果共有61粒。
本题主要考查公倍数的实际应用。
4．11名；安排7名工人生产上衣，4名工人生产裤子。
【分析】根据题目可知，只有加工的上衣和裤子的数量同样多，是比较合适的，由于工人加工裤子一天能生产7条，加工上衣一天能生产4件，即找4和7的公倍数，由于要求的是最少招多少名工人，则相当于求4和7的最小公倍数，之后再根据加工的数量除以一天加工的量即可知道人数的安排。
【详解】4的因数：1、2、4；7的因数1、7。
由此即可知道4和7是互质数。
则4和7的最小公倍数：4×7＝28
生产上衣的人数：28÷4＝7（人）
生产裤子的人数：28÷7＝4（人）
4＋7＝11（人）
答：最少招11名工人比较合适，7人生产上衣，4人生产裤子。
本题主要考查最小公倍数问题，要仔细分析题目，再进行求解。
5．15束；红花4朵、黄花5朵
【分析】由题意知：60朵红花和75朵黄花。把这些花分成相同的若干束，就是求这两个数的最大公因数。求得最大公因数后，用两种花的朵数除以最大公因数即可得每束里的花的朵数。据此解答。
【详解】60＝2×2×3×5
75＝5×5×3
60和75的最大公因数是：3×5＝15
每束红花的朵数：60÷15＝4（朵）
每束黄花的朵数：75÷15＝5（朵）
答：这些花最多可以分成15束，每束里的红花有4朵，黄花有5朵。
掌握求两个数的最大公因数的方法是解答本题的关键。
6．这件事不能办到，这是因为：
奇数＋奇数＝偶数，而偶数＋偶数＝偶数；
由于每盘都是奇数个，前6个盘的和一定是偶数；
又由于偶数＋奇数＝奇数；
那么前6盘再加上第7盘一定有奇数个苹果；
而50是偶数，得不到和是偶数，所以不可能每盘都放奇数个。
【分析】本题看成7个数相加的和得到50，由于每个盘子里面都是奇数个，所以就是7个奇数相加的和，由于奇数＋奇数＝偶数，而奇数＋偶数＝奇数，从而判断能否得到和是50即可。
【详解】这件事不能办到，这是因为：
奇数＋奇数＝偶数，而偶数＋偶数＝偶数；
由于每盘都是奇数个，前6个盘的和一定是偶数；
又由于偶数＋奇数＝奇数；
那么前6盘再加上第7盘一定有奇数个苹果；
而50是偶数，得不到和是偶数，所以不可能每盘都放奇数个。
运用反证法，根据两个自然数和奇偶性，得出7个奇数的和不可能是偶数，从而得解。
7．21人
【分析】6人一组多3人，8人一组多5人，也就是无论6论组还是8人一组，都少3人。求出6和8的最小公倍数再减去3即可。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24
则至少有24－3＝21（人）
答：六年级至少有21人参加了义务劳动。
本题主要考查最小公倍数的实际应用，明确无论6论组还是8人一组，都少3人是解题的关键。
8．106个
【分析】由题意知：如果从这筐苹果里去掉一个，则苹果的个数是3、5、7的最小公倍数。据此解答。
【详解】3、5、7是互质数，它们的最小公倍数是：
3×5×7
＝15×7
＝105
苹果最少有：105＋1＝106（个）
答：这筐苹果最少有106个。
掌握求几个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
9．6人；男生能排4排，女生能排3排
【分析】根据“男女生分别列队”、“每排人数相同”、“每排最多”可知，就是求24和18的最大公因数，据此求出每排的人数即可；用男、女生各自的总人数除以每排的人数即可求出男、女生分别能排几排。
【详解】24＝2×2×2×3；
18＝2×3×3；
24和18的最大公因数为2×3＝6；
答：每排最多有6人；
24÷6＝4（排）；
18÷6＝3（排）；
答：男生能排4排，女生能排3排。
根据题目中的关键信息“每排人数相同”、“每排最多”确定是求24和18的最大公因数是解答本题的关键。
10．1620米
【分析】原来每隔36米安装一根电线杆，现在改为每隔54米安装一根，那么任意两根不要移动的电线杆之间的距离一定是36和54的公倍数。因为36和54的最小公倍数是108，所以每两根不要移动的电线杆相距108米。因此甲、乙两地相距列式为：108×（14＋1），解答即可。
【详解】36＝2×2×3×3
54＝2×3×3×3
所以36和54的最小公倍数是：2×2×3×3×3＝108
108×（14＋1）
＝108×15
＝1620（米）
答：甲、乙两地相距1620米。
这个问题主要考查了学生利用最小公倍数解决实际问题的能力。先找到36和54的最小公倍数，也就是最少相隔多远有一根电线杆不需要移动，再乘以它们不需要移动的间隔即为甲乙两地相距的米数。
11．偶数；奇数
【分析】根据奇数与偶数的性质“奇数＋偶数＝奇数，奇数－偶数＝奇数，奇数－奇数＝偶数“进行解答，35名学生要分成两个小组，35是奇数，如果第一小组人数是奇数，那么第二小组人数是偶数；如果第一小组人数是偶数，那么第二小组人数是奇数。
【详解】根据奇数与偶数的性质：奇数＋偶数＝奇数
答：如果第一小组人数为奇数，那么第二小组人数为偶数；如果第一小组人数为偶数，那么第二小组人数为奇数。
本题主要考查了奇数与偶数的性质。
12．8点30分
【详解】根据题意：两车再次同时出发，经过的时间即是6的倍数，又是10的倍数，至少再到什么时候，就是求6和10的最小公倍数。据此解答。
6＝2×3
10＝2×5
6和10的最小公倍数是：2×3×5＝30
8点＋30分＝8点30分
答：至少再到8点30分又可以同时发车。
本题考查了两个数的最小公倍数应用。掌握两个数的最小公倍数的方法是解答本题的关键。
13．4组、6组、9组
【分析】根据题干可知：分成人数相等的若干小组（组数和每组人数都不少于3），只要求出36的因数中大于3的即可解决问题。
【详解】组数大于3，小于10：
36＝3×12
36＝4×9
36＝6×6
36＝9×4
因为组数大于3，小于1组，所以可以分成4组、6组、9组。
答：可以分成4组、6组、9组。
此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
14．18束；9朵
【分析】把这些花分成相同的若干束，就是分得的红色郁金香和蓝色郁金香把束相同，既是90的因数也是72的因数，即是90和72的公因数，要求最多就是求90和72的最大公因数，因此求出90和72的最大公因数就是最多可以分成几束；用红色郁金香和蓝色郁金香的数量分别除以它们的最大公因数，就是每束里红色郁金香和蓝色郁金香各几朵，再相加即可。。
【详解】90＝2×3×3×5；
72＝2×2×2×3×3；
90和72的最大公因数是2×3×3＝18；
90÷18＝5（朵）；
72÷18＝4（朵）；
5＋4＝9（朵）
答：郁金香最多可以扎成18束，每个花束里有9朵花。
解答本题的关键明确每束里的花的颜色和数量都相同，就是求90和72的公因数。
15．能；36是6的倍数
【分析】根据题意，求如果每6瓶装一箱，能不能正好装完，就看36能不能被6整除，即看36是不是6的倍数，据此解答。
【详解】36÷6＝6（箱）
答：36是6的倍数，则能正好装完，能装6箱。
本题考查倍数的应用。根据倍数的意义即可解答。
16．6组；男同学4人、女同学5人
【分析】求出男女生人数的最大公因数就是最多可编的组数，人数÷组数＝每组人数，据此分析。
【详解】24＝2×2×2×3
30＝2×3×5
2×3＝6（组）
24÷6＝4（人）
30÷6＝5（人）
答：最多可编6组，每组中男、女同学各4人、5人。
全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
17．8元
【分析】根据题意可知，求芒果的单价最高，就是求16和24的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；据此解答。
【详解】16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
所以16和24的最大公因数是：2×2×2＝8（元）
答：这种芒果的单价最高是8元。
利用求两个数的最大公因数的方法进行解答。
18．8元
【分析】本题实质上是求16和24这两个数的最大公因数，也就是这两个数的公有质因数的连乘积。
【详解】实质上是求16和24这两个数的最大公因数，
16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
故16和24的最大公因数是
2×2×2
=4×2
＝8
答：这种芒果的单价最高是8元。
考查了求几个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答。
19．12人；3排；4排
【分析】由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；求这时男、女生分别有几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数即可。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
所以48和36的最大公因数是：2×2×3＝12，即每排最多有12人。
男生排数：36÷12＝3（排）
女生排数；48÷12＝4（排）
答：每排最多有12人，这时男有3排，女生有4排。
本题考查了公因数应用题，解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数。
20．7位
【分析】由题意可知，图书和益智玩具如果分的没有剩余，则图书有45－3＝42（套），益智玩具有37－2＝35（个），要想每人分得的数量相等，最多有多少位同学获得一等奖，就是求42和35的最大公因数。据此解答。
【详解】45－3＝42
37－2＝35
42和35的最大公因数是7
答：最多有7位同学获得一等奖。
此题考查的是最大公因数的应用，求两个数的最大公因数的方法是把两个数共有的因数相乘。
21．6厘米；13段
【分析】每段彩带最长的长度应是30厘米和48厘米的最大公因数，先把30和48进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；然后分别求出两根彩带分成的段数，进而把两根彩带分成的段数相加即可。
【详解】30＝2×3×5
48＝2×2×2×2×3
所以30和48的最大公因数是2×3＝6，即每段彩带最长的长度应是6厘米。
30÷6＋48÷6
＝5＋8
＝13（段）
答：每段短彩带最长是6厘米，一共可以剪成13段。
此题考查了求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答．
22．60个
【分析】根据题意，如果每2个装一袋，每3个装一袋，每5个装一袋，都能正好装完，就是求2、3、5的公倍数，而且在50－80之间。
【详解】2×3×5＝30（个）
30×2＝60（个）
答：这些面包可能有60个。
本题主要考查公倍数的求法及运用。
23．40厘米；6个
【分析】根据题意，求出120厘米和80厘米的最大公因数，就是每个正方形版的边长；再用长方形的长和宽分别除以最大公因数，得到的商再相乘，即可解答。
【详解】120＝2×2×2×3×5
80＝2×2×2×2×5
120和80的最大公因数是：2×2×2×5
＝4×2×5
＝8×5
＝40
每个正方形版的边长最长是40厘米；
120÷40＝3（个）
80÷40＝2（个）
3×2＝6（个）
答：每个正方形版面的边长是最长是40厘米，可以分成6个这样的正方形小版。
本题考查最大公因数的求法，两个公有质因数的连乘积是最大公因数。
24．；6个
【分析】裁成同样大小，且没有剩余，就是裁成的小正方形的边长是18和12的公因数，要求面积最大的正方形就是以18和12的最大公因数为小正方形的边长，然后用长方形纸片的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形纸片的长边最少可以裁几个，宽边最少裁几个，最后把它们乘起来即可；据此解答。
【详解】
18＝2×3×3；12＝2×2×3
最大公因数：2×3＝6，即小正方形的边长是6厘米。
（18÷6）×（12÷6）
＝3×2
＝6（个）
答：可以裁6个。
本题关键是理解：裁成同样大小，且没有剩余，就是裁成的小正方形的边长就是18和12的公因数。
25．6分米；56块
【分析】由题意可知：地砖边长最大是客厅长、宽的最大公因数；分别求出长、宽有几块，再求积即可；据此解答。
【详解】4.8米＝48分米
4.2米＝42分米
48＝2×2×2×2×3
42＝2×3×7
所以48和42的最大公因数是2×3＝6，即边长最大是6分米。
48÷6＝8（块）
42÷6＝7（块）
8×7＝56（块）
答：正方形的地砖边长最大是6分米，一共需要56块这样的地砖。
本题主要考查最大公因数的实际应用，明确地砖边长最大值是客厅长、宽的最大公因数是解题的关键。
