第七章 万有引力与宇宙航行 综合测试
本试卷共4页，15小题，满分100分，考试用时75分钟。
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 把火星和地球都视为质量均匀分布的球体，已知地球半径约为火星半径的倍，地球质量约为火星质量的倍，由这些数据可推算出( )
A. 地球和火星的第一宇宙速度之比为：
B. 地球和火星的第一宇宙速度之比为：
C. 地球表面和火星表面的重力加速度之比为：
D. 地球表面和火星表面的重力加速度之比为：
2. 年月日，我国成功发射第颗北斗导航卫星，标志着北斗三号系统颗地球同步轨道卫星全部发射完毕．人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则（ ）
A. 卫星在轨道Ⅱ上过点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过点的速率小
B. 若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为、、，则
C. 卫星在点通过减速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ
D. 该卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度大于
3. 北斗地图预计年月日上线，其导航功能可精确到米以内，能够清晰定位到具体车道。如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知、、三颗卫星均做圆周运动，其中是地球同步卫星，和轨道半径相等，则( )
A. 卫星的角速度小于的角速度
B. 卫星的加速度大于的加速度
C. 卫星的运行速度大于第一宇宙速度
D. 卫星的周期大于
4. 在地球上不同的地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一个质量分布均匀的球体，己知地球半径为，地球自转的周期为，则地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为（ ）
A. B. C. D.
5. 假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，已知地球自转的周期为，引力常量为，则地球的质量为( )
A. B. C. D.
6. 一宇航员在一星球上以速度竖直上抛一物体，经秒钟后物体落回手中，已知星球半径为，使物体不再落回星球表面，物体抛出时的速度至少为 ( )
A. B. C. D.
7. 一位爱好天文的同学结合自己所学设计了如下实验：在月球表面附近高处以初速度水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为，通过查阅资料知道月球的半径为，引力常量为，若物体只受月球引力的作用，则月球的质量是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8. 牛顿在年出版的自然哲学的数学原理中设想，物体抛出的速度很大时，就不会落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图所示，将物体从一座高山上的点水平抛出，抛出速度一次比一次大，落地点一次比一次远，设图中，，，，是从点以不同的速度抛出的物体所对应的运动轨道．已知是圆形轨道，，是椭圆轨道，在轨道上运动的物体将会克服地球的引力，永远地离开地球，空气阻力和地球自转的影响不计，则下列说法正确的是( )
A. 物体从点抛出后，沿轨道运动落到地面上，物体的运动可能是平抛运动
B. 在轨道上运动的物体，抛出时的速度大小为
C. 使轨道，上物体的运动轨道变为圆轨道，这个圆轨道可以过点
D. 在轨道上运动的物体，抛出时的速度一定等于或大于第三宇宙速度
9. 年月日，中国“天问一号”探测器发射升空并成功进入预定轨道，开启了火星探测之旅，我国迈出了自主开展行星探测的第一步。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，地球表面的重力加速度为。下列说法中正确的是( )
A. 火星表面的重力加速度约为
B. 火星的平均密度为
C. 火星探测器环绕火星做圆周运动的最大速度约为地球第一宇宙速度的倍
D. 火星探测器的发射速度应介于地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
10. 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过年，该行星会运行到日地连线的延长线上相距最近，如图所示．该行星与地球的公转半径之比为，公转周期之比为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共2小题，每空2分，共16分。
11. 宇宙速度均指发射速度，是将人造卫星送入预定轨道运行在地面附近必须具有的初速度．由于发射过程中要克服地球的引力做功，所以发射速度越大，卫星就离地面越高，但在轨道上的绕行速度却越小．地球的第一宇宙速度的大小为______，是卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的______绕行速度，是______的发射速度．第二宇宙速度大小为______第三宇宙速度大小为______．
12. 一宇宙飞船飞近某一行星并进入靠近行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在该行星上．已知宇航员在绕行时测得绕行周期为，着陆后测得质量为的砝码在星球表面的重力为，万有引力常量为，由测量的量可得该星球的质量________，该星球的密度________，该星球的半径________．
四、计算题：本题共3小题，13题12分，14题12分，15题14分，共38分。
13. 若嫦娥三号卫星在离月球表面为的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期为若月球半径，引力常量为试推导：
月球的质量表达式；
月球表面的重力加速度；
月球的第一宇宙速度．
14. 假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面处由静止释放一个小球引力视为恒力，阻力可忽略，经过时间落到地面．已知该行星半径为，自转周期为，引力常量为求：
该行星的平均密度；
如果该行星有一颗同步卫星，其距行星表面的高度为多少
15. 为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳升降机能达地球上，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速度，地球半径，地球自转周期为，求：
某人在地球表而用体重计称得重，站在升降机中，当升降机以加速度为地球表面处的重力加速度垂直地面上升，在某一高度时此人再一次用同一体重计称得重为，忽略地球公转的影响，求升降机此时距地面的高度；
如果把绳的一端搁置在同步卫星上，绳的长度至少为多长？结果用、、表达
答案解析
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. ； 最大 ； 最小 ； ；
12. ； ；
13. 解：嫦娥三号围绕月球做圆周运动时，有：
解得：
根据万有引力等于重力得：
解得：
根据重力提供向心力得：
解得：
14. 解：设行星表面的重力加速度为，对小球，有：，解得：，
在该行星“北极”，对行星表面的物体，有：，
故行星质量：，
故行星的密度：；
同步卫星的周期与该行星自转周期相同，均为，设同步卫星的质量为，由牛顿第二定律有：，
联立解得同步卫星距行星表面的高度：。
15. 解：由题意可知人的质量为：
根据牛顿第二定律得：对人：
根据万有引力等于重力得：
，
解得：
即为：。
同步卫星围绕行星做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力列出等式：
为地球自转周期，结合得：
【解析】
1. 【分析】
根据万有引力提供向心力求出第一速度的大小，从而得出第一宇宙速度之比；
根据万有引力等于重力得出重力加速度的表达式，从而得出重力加速度之比。
解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个理论，并能灵活运用。
【解答】
根据万有引力提供向心力为：，第一宇宙速度公式有：，，故A正确，B错误．
根据得重力加速度公式为：，，故CD错误
故选A。
2. 【分析】
本题是关于卫星变轨问题的常考题目，同时也是一个易错题，同学们要多加强练习。
【解答】
B.设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的轨道半径或半长轴分别为、、，由开普勒第三定律可知，B正确；
A.设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为、，在轨道Ⅱ上过点和点速率分别为、在点加速，则，在点加速，则，又因，故有，A错误；
C.卫星在点通过加速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ，C错误；
D.环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是，在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于，D错误。
故选B。
3. 【分析】
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，并能灵活运用。
根据万有引力提供向心力得出加速度、角速度与轨道半径的关系，从而比较角速度和加速度的大小。第一宇宙速度是卫星做圆周运动的最大环绕速度。同步卫星的周期为，根据轨道半径的大小比较、的周期，从而得出卫星的周期大小。
【解答】
A、根据得，，卫星的轨道半径大于卫星的轨道半径，则卫星的角速度小于的角速度，故A正确。
B、根据得，，卫星、的轨道半径相等，则、的加速度大小相等，故B错误。
C、第一宇宙速度是卫星做圆周运动的最大环绕速度，可知卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故C错误。
D、根据得，，、的轨道半径相等，则周期相等，可知卫星的周期等于，故D错误。
故选A。
4. 【分析】
在两极地球表面上引力等于重力：；
在赤道上，根据向心加速度表达式，和牛顿第二定律。即可求解重力加速度；
解答此题的关键是弄清赤道上的物体万有引力提供重力的同时还提供物体的向心力。
【解答】
在地球两极，万有引力等于重力，则有：，解得：；
根据向心加速度表达式，则知赤道上物体加速度：，由牛顿第二定律：，解得，
则地球两极处的重力加速度与赤道处的重力加速度之差为，故D正确；
故选：。
5. 【分析】
该题考查天体质量的计算相关知识。根据在两极，引力等于重力，在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，应用牛顿第二定律可求解地球质量。
【解答】
解：在两极，引力等于重力，则有：
由此可得地球质量
在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：
由解得：地球的质量为，故B正确，ACD错误。
故选B。
6. 【分析】
以初速度竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，根据匀变速直线运动的速度时间关系公式可以求出该星球表面的重力加速度；为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，卫星将绕星球表面做匀速圆周运动，重力提供向心力，据此列式可得卫星运行的线速度。
认清竖直上抛运动的本质，根据匀减速直线运动规律求出物体的重力加速度，卫星运行的速度根据重力提供圆周运动的向心力列式求解即可。
【解答】
物体抛出后，在星球表面上做竖直上抛运动。
设星球对物体产生的“重力加速度”为，则 ，
设抛出时的速度至少为，物体抛出后不再落回星球表面，根据牛顿第二定律有：，
解得，故A正确，BCD错误。
故选A。
7. 【分析】
由平抛运动的规律，可得月球表面重力加速度，由月球表面万有引力等于重力，可得月球质量。对于在星体表面做平抛，或竖直上抛之类的运动，其目的一般都是让通过给定的运动求得星球表面的重力加速度，应注意这一规律。
【解答】
依题意可知，月球表面的物体做平抛运动，则在水平方向：
竖直方向：
故月球表面的重力加速度：
由，得月球质量：，故A正确，BCD错误。
故选：。
8. 【分析】
由平抛运动的定义及物体受到的万有引力可得到物体是否能做平抛运动，再根据第一、二宇宙速度的含义得到物体运动速度和运动轨迹的关系。对于天体运动的问题，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解，若是变轨问题则由能量守恒来求解。
【解答】
A、将物体从一座高山上的点水平抛出，且物体速度不大时，物体沿轨道运动落到地面上，若水平位移不大，则物体的运动是平抛运动，A正确；
B、在轨道上运动的物体，做匀速圆周运动，抛出时的速度大于第一宇宙速度，B错误；
C、使轨道、上物体的运动轨道变为圆轨道，可以在物体经过点时减小物体的速度，此时的圆轨道可以过点，C正确；
D、在轨道上运动的物体，将会克服地球的引力，抛出时的速度一定等于或大于第二宇宙速度，D错误．
故选AC。
9. 【分析】
本题考查了万有引力定律及其应用；解决本题的关键要掌握万有引力等于重力，以及万有引力等于向心力这两条思路进行列式分析。
根据万有引力等于重力列式，得到火星表面与地球表面重力加速度关系，从而求得火星表面的重力加速度；
根据，求解密度；
根据，求解第一宇宙速度之比；
根据宇宙速度的含义分析“天问一号”的发射速度。
【解答】
A.根据解得，则，所以，故A正确；
B.根据，故B错误；
C.根据，得第一宇宙速度为，则，解得，火星探测器环绕火星做圆周运动的最大速度约为地球第一宇宙速度的倍，故C正确；
D.地球的第一宇宙速度是指在地球表面运行的卫星做匀速圆周运动的速度，第二宇宙速度是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，火星探测器脱离地球引力的束缚，仍受太阳引力的束缚，故火星探测器的发射速度应介于地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故D 正确。
故选ACD 。
10. 解：、地球公转周期为，每过年行星会运行到日地连线的延长线上，即地球比行星多运动圈，有
，得
由题意，故B正确，C错误；
、根据开普勒第三定律，即
化简得，故D正确，A错误．
故选：
11. 解：第一宇宙速度大小是，第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，是最大的环绕速度，人造地球卫星不在地面附近绕地球转动的线速度一定小于第一宇宙速度．
第二宇宙速度大小是；
第三宇宙速度是物体逃离太阳的最小速度，大小是；
故答案为：，最大，最小，．
第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度．地球同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度．人造地球卫星运行时速度大于第二宇宙速度时，就脱离地球束缚．第三宇宙速度是物体逃离太阳的最小速度．
本题考查对宇宙速度的理解能力．对于第一宇宙速度不仅要理解，还要会计算．第一宇宙速度就近地卫星环绕地球做匀速圆周运动的速度，要强调卫星做匀速圆周运动．
12. 【分析】
本本题关键先要弄清。万有引力等于重力，及万有引力等于向心力。
【解答】
解：重力等于万有引力：
万有引力等于向心力：
由以上两式解得：----
-----
由牛顿第二定律
------
因而需要用计时表测量周期，用天平测量质量，用弹簧秤测量重力；
由三式可解得
，，
故答案为： 。
13. 根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出月球的质量．
根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．
根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论，万有引力提供向心力，、万有引力等于重力，并能灵活运用．
解：嫦娥三号围绕月球做圆周运动时，有：
解得：
根据万有引力等于重力得：
解得：
根据重力提供向心力得：
解得：
14. 解答此题要清楚行星“北极”的物体受到的重力等于万有引力，星球的同步卫星所受的万有引力提供向心力，恰当选取向心力表达式。
先根据自由落体运动的公式，求解重力加速度；在该行星“北极”，对行星表面的物体，根据万有引力等重力列式求解星球质量；最后根据密度的定义公式求解星球的密度；
对同步卫星，知道步卫星的周期与该行星自转周期相同，根据万有引力等于向心力列式求解。
解：设行星表面的重力加速度为，对小球，有：，解得：，
在该行星“北极”，对行星表面的物体，有：，
故行星质量：，
故行星的密度：；
同步卫星的周期与该行星自转周期相同，均为，设同步卫星的质量为，由牛顿第二定律有：，
联立解得同步卫星距行星表面的高度：。
15. 根据牛顿第二定律求出当时的重力加速度，根据万有引力等于重力，得出轨道半径，从而得出高度。
通过万有引力提供向心力，求出同步卫星的轨道半径，从而知道绳的长度。
此题考查了人造卫星的相关知识，卫星所受的万有引力等于向心力、万有引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解。
解：由题意可知人的质量为：
根据牛顿第二定律得：对人：
根据万有引力等于重力得：
，
解得：
即为：。
同步卫星围绕行星做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力列出等式：
为地球自转周期，结合得：
第1页，共1页
