广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2021-2022学年高二下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高二下·温州期中） （ ）
A．55 B．57 C．100 D．110
2．（2022高二下·龙岗期中）双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017高二下·友谊开学考）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
4．（2022高二下·龙岗期中）已知随机变量X，Y满足 ，且 ，则 （ ）
A．2.4 B．3.4 C．4.2 D．4.4
5．（2022高二下·龙岗期中）良好的睡眠是保证高中学生学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠情况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时）．经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间 ，则每天的睡眠时间为 小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（ ）
（附：若 ，则 ， ， ）
A．63 B．51 C．26 D．20
6．（2022高二下·龙岗期中）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
7．（2022高二下·龙岗期中） 的展开式中 的系数为（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
8．（2022·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）.
A．8 B．12 C．16 D．20
二、多选题
9．（2022高二下·龙岗期中）关于正态密度曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线 对称
B．曲线的峰值为
C． 越大，曲线越“矮胖”
D．对任意 ，曲线与 轴围成的面积总为1
10．（2022高二下·龙岗期中）已知二项式 的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共4项
11．（2022高二下·龙岗期中）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若、两人站在一起有种方法
B．若、不相邻共有种方法
C．若在左边有种排法
D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法
12．（2021高三上·唐山期末）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
三、填空题
13．（2022高二下·龙岗期中）曲线 在点 处的切线方程为 .
14．（2022高二下·龙岗期中）某工厂的某种型号的机器的使用年限 和所支出的维修费用 （万元）有下表的统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
根据上表可得回归直线方程 ，则 = .
15．（2022高二下·龙岗期中）如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下．当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是 ．
16．（2022高二下·龙岗期中）已知等差数列 ，对任意 都有
成立，则数列 的前 项和 ．
四、解答题
17．（2022高二下·龙岗期中）在等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．（2022高二下·龙岗期中）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的人物，或者设计师单独设计出来的玩偶，由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A，B，C三种样式，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.据统计，有50％的人购买了该盲盒.在这些购买者中，女生占 ；而在未购买者中，男生女生各占50％.
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请根据以上信息填写下表，并判断是否有95％的把握认为购买该盲盒与性别有关？
女生 男生 合计
购买者
未购买者
合计
（2）在购买者中按照性别分层抽样抽取5名，再从这5名中随机抽取2人，求抽取的这两人恰好是女生的概率.
19．（2022·通州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点．
（1）求证：；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
20．（2022高二下·龙岗期中）已知椭圆 ： 的焦距为2，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆 上的两个动点， 为坐标原点，且直线 ， 的倾斜角互补，求 面积的最大值.
21．（2022·茂名模拟）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
22．（2022高二下·龙岗期中）设函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 在区间 单调递增，求整数 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】 ，
故答案为：B.
【分析】根据排列、组合数公式求解.
2．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，
则
则渐近线为，即 .
故答案为为：A
【分析】由双曲线的标准方程求得a，b，即可得渐近线方程.
3．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
4．【答案】D
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：∵ ，
∴E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4，
又 ，
∴Y=8-X，
∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2，
∴D(X)+E(Y)=2.4+2=4.4，
故答案为：D
【分析】由二项分布求得E(X)，D(X)，再由期望的性质求得E(Y)=8-E(X)，得答案.
5．【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：因为 1200名学生每天的睡眠时间 ，
所以μ=8，σ2=1，
所以P(5≤x≤11)≈0.9973，P(6≤x≤10)≈0.9545，
所以P(5≤x≤6)，
所以每天的睡眠时间为 小时的学生人数约为1200×0.0214≈26.
故答案为：C
【分析】由正态分布可知μ=8，σ= 1，可确定P(5≤x≤6)=P(μ-3σ≤X<μ≤2σ)，再结合正态分布曲线的对称性计算可求对应概率，结合频数=总数x频率即可求解.
6．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，
根据题意得：，，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件求概率公式、条件概型求概率公式，进而得出第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率。
7．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 相当于4个相乘，
所以当有其中两个括号提供x3，一个括号提供，一个括号提供-1，
则展开式中项为，
故所求系数为-12.
故答案为：B
【分析】根据二项式定理的应用，结合组合知识求解.
8．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为：
．
故答案为：D．
【分析】通过题意可确定8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，和0，借助计算原理即可求解。
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，根据正态密度曲线 ， 可知 ，，故f(x+μ)=f(μ-x)，所以曲线关于直线x=μ对称，A正确；
对于B，当x=u时， f(x)的峰值为 ，故B不正确；
对于C，当σ越大时，f(x)的峰值越小， 所以曲线形状“矮胖”， 故C正确；
对于D，由正态曲线的特点知，曲线与x轴围成的面积总为1，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 二项式 的展开式中共有8项， 所以n=7，
选项A：所有项的二项式系数和为27= 128，故A正确；
选项B：令x= 1，则 ，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；
选项D：二项式展开式的通项为
当r=0，2，4， 6时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】二项式的展开式中共有8项， 得n=7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案.
11．【答案】A,C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，
一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A符合题意；
对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，
所以共有种，所以B不正确；
对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，
所以A在B的左边的排法有种，所以C符合题意；
对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，
另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，
然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，
即，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合排列数公式求计数问题的方法、插空法、全排列的方法和分类加法计数原理，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为，
，，
故的分布列为：
1 11
，
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则，
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需要，
即，即，即，
又，，，
。
故答案为：CD
【分析】设混合检测分式，再利用已知条件，得出样本需要检测的总次数可能取值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量Y的分布列，再结合二项分布的分布列结合数学期望的公式，进而求出随机变量Y的数学期望的值，设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，再利用已知条件结合数学期望公式得出的值，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需要，即，即，再利用，所以，进而结合交集的运算法则，从而求出p的取值范围，进而找出满足要求的p的值。
13．【答案】3x-y+3=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由f(x)=x3+ 1，得f'(x)= 3x2，所以f'(-1)=3，
又当x=-1时，a=x3+1=-1+1=0，
所以f(x)=x3+1在点(-1，a)处的切线方程为：y=3(x+1)，即 3x-y+3=0 .
故答案为： 3x-y+3=0
【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.
14．【答案】0.08
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
因为回归直线过点（4，5），
所以 ，
解得 = 0.08.
故答案为：0.08
【分析】根据表格中的数据求出，将点（）代入回归直线求出a即可.
15．【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路图，以此类推，小球所有的路线情况如下：
01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34， 01-12-23-33，01-12-23-34，
01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，
02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16种情况，
其中落入2号位置的有4种，
所以每个球落入2号位置的概率为，
所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为.
故答案为：
【分析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率.
16．【答案】
【知识点】数列的求和；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：设等差数列 的公差为d，则an=a1+(n-1)d，
因为
又，
所以a1·2n+nd·2n-1=n·2n+1，所以2a1+n(d-4)=0对n∈N*恒成立，
所以a1=0，d=4，
所以等差数列{an}的通项公式an=4(n- 1)，
所以，
则数列 的前 项和为.
故答案为：
【分析】根据二项式的性质化简可得a1·2n+nd·2n-1=n·2n+1，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.
17．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，又 ， ，
.
（2）解：由（1）得： ，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式，列出关于a1与d的方程，求an即可；
（2）结合（1），得 ， 利用分组求和法，由等差、等比数列的求和公式求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得 列联表：
女生 男生 总计
购买 60 40 100
未购买 50 50 100
总计 110 90 200
零假设为 ：购买该盲盒与性别无关。
由以上表格中的数据，计算得到 ．
因为 ，
所以没有 把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；
（2）解：购买者中女生和男生的比例为 ，所以抽取的5人中女生3人，男生2人
所以抽取的这两人恰好是女生的概率为
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题意，完成 列联表，再代入数据即可求得K2，再对比数据，即可得结论；
（2）由分层抽样，确定抽取的5人中女生3人，男生2人，再由古典概型概率计算公式求解.
19．【答案】（1）证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，
所以，
因为平面平面ABCD，
平面平面，
平面PAD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，
所以
（2）解：由（1）知，平面ABCD．
取BC中点F，连结EF，
因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，
所以，
所以EA，EF，EP两两垂直．
分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
则，，，，
所以，．
设平面PAC的法向量，
由，得，
令，得，，
所以，
平面ABCD的法向量可取．
设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角，
则，
所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用三角形△PAD为正三角形，E为AD中点，再利用正三角形三线合一，所以，再利用平面平面ABCD结合面面垂直证出线面垂直，所以平面ABCD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由（1）知，平面ABCD，取BC中点F，连结EF，利用底面ABCD为矩形，E为AD中点，
所以，所以EA，EF，EP两两垂直，分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合平面PAC与平面ABCD夹角为锐角，进而得出平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值。
20．【答案】（1）解：设椭圆的左、右焦点分别为 、 ，因为焦距为2，
所以 且 轴， 故
又由于 ，所以解得 ，
故椭圆 方程为 ；
（2）解：设 ， ，直线 的方程为 ，
由于直线 ， 的倾斜角互补，故
联立方程 ，整理得 ，
故 ，即
且 ，
，
所以 ，故 的方程为 ，且
所以弦长
原点到直线 ： 的距离为 ，
所以
故当且仅当 时， 的面积的最大值为 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求得a，b，进而求得椭圆的方程；
（2）根据直线MN与椭圆的位置关系，结合 直线 ， 的倾斜角互补， 求得直线MN的斜率K，再结合相交弦长与点到直线的距离公式，代入三角形面积公式，得，最后根据二次函数的性质计算最值即可.
21．【答案】（1）解：由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）解：X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出甲、乙两人所得分数相同的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
22．【答案】（1）解：当 时， （ ），则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为
（2）解：由 ，得 ，
因为 在区间 单调递增，所以 在 上恒成立
所以 ，令 ，则
，
当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 满足条件，
当 时，当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
记 ，则 （ ），所以 在 上递减，
因为 ，
，
所以 时满足条件，综上满足条件的整数 的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导得 ， 分别由f'(x)>0与f'(x)<0，得单调区间；
（2）根据导数与函数的单调性的关系，易得 在 上恒成立，构造函数 ， 即等价于g(x)min>0，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解.
广东省深圳市龙岗区龙城高级中学2021-2022学年高二下学期数学期中试卷
一、单选题
1．（2022高二下·温州期中） （ ）
A．55 B．57 C．100 D．110
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】 ，
故答案为：B.
【分析】根据排列、组合数公式求解.
2．（2022高二下·龙岗期中）双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，
则
则渐近线为，即 .
故答案为为：A
【分析】由双曲线的标准方程求得a，b，即可得渐近线方程.
3．（2017高二下·友谊开学考）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
4．（2022高二下·龙岗期中）已知随机变量X，Y满足 ，且 ，则 （ ）
A．2.4 B．3.4 C．4.2 D．4.4
【答案】D
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：∵ ，
∴E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4，
又 ，
∴Y=8-X，
∴E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2，
∴D(X)+E(Y)=2.4+2=4.4，
故答案为：D
【分析】由二项分布求得E(X)，D(X)，再由期望的性质求得E(Y)=8-E(X)，得答案.
5．（2022高二下·龙岗期中）良好的睡眠是保证高中学生学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠情况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时）．经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间 ，则每天的睡眠时间为 小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（ ）
（附：若 ，则 ， ， ）
A．63 B．51 C．26 D．20
【答案】C
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】解：因为 1200名学生每天的睡眠时间 ，
所以μ=8，σ2=1，
所以P(5≤x≤11)≈0.9973，P(6≤x≤10)≈0.9545，
所以P(5≤x≤6)，
所以每天的睡眠时间为 小时的学生人数约为1200×0.0214≈26.
故答案为：C
【分析】由正态分布可知μ=8，σ= 1，可确定P(5≤x≤6)=P(μ-3σ≤X<μ≤2σ)，再结合正态分布曲线的对称性计算可求对应概率，结合频数=总数x频率即可求解.
6．（2022高二下·龙岗期中）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，
根据题意得：，，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件求概率公式、条件概型求概率公式，进而得出第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率。
7．（2022高二下·龙岗期中） 的展开式中 的系数为（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 相当于4个相乘，
所以当有其中两个括号提供x3，一个括号提供，一个括号提供-1，
则展开式中项为，
故所求系数为-12.
故答案为：B
【分析】根据二项式定理的应用，结合组合知识求解.
8．（2022·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）.
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为：
．
故答案为：D．
【分析】通过题意可确定8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，和0，借助计算原理即可求解。
二、多选题
9．（2022高二下·龙岗期中）关于正态密度曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线 对称
B．曲线的峰值为
C． 越大，曲线越“矮胖”
D．对任意 ，曲线与 轴围成的面积总为1
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，根据正态密度曲线 ， 可知 ，，故f(x+μ)=f(μ-x)，所以曲线关于直线x=μ对称，A正确；
对于B，当x=u时， f(x)的峰值为 ，故B不正确；
对于C，当σ越大时，f(x)的峰值越小， 所以曲线形状“矮胖”， 故C正确；
对于D，由正态曲线的特点知，曲线与x轴围成的面积总为1，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解.
10．（2022高二下·龙岗期中）已知二项式 的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共4项
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 二项式 的展开式中共有8项， 所以n=7，
选项A：所有项的二项式系数和为27= 128，故A正确；
选项B：令x= 1，则 ，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；
选项D：二项式展开式的通项为
当r=0，2，4， 6时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】二项式的展开式中共有8项， 得n=7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案.
11．（2022高二下·龙岗期中）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若、两人站在一起有种方法
B．若、不相邻共有种方法
C．若在左边有种排法
D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法
【答案】A,C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，
一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A符合题意；
对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，
所以共有种，所以B不正确；
对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，
所以A在B的左边的排法有种，所以C符合题意；
对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，
另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，
然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，
即，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合排列数公式求计数问题的方法、插空法、全排列的方法和分类加法计数原理，进而找出说法正确的选项。
12．（2021高三上·唐山期末）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【解答】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为，
，，
故的分布列为：
1 11
，
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则，
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需要，
即，即，即，
又，，，
。
故答案为：CD
【分析】设混合检测分式，再利用已知条件，得出样本需要检测的总次数可能取值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量Y的分布列，再结合二项分布的分布列结合数学期望的公式，进而求出随机变量Y的数学期望的值，设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，再利用已知条件结合数学期望公式得出的值，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需要，即，即，再利用，所以，进而结合交集的运算法则，从而求出p的取值范围，进而找出满足要求的p的值。
三、填空题
13．（2022高二下·龙岗期中）曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】3x-y+3=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由f(x)=x3+ 1，得f'(x)= 3x2，所以f'(-1)=3，
又当x=-1时，a=x3+1=-1+1=0，
所以f(x)=x3+1在点(-1，a)处的切线方程为：y=3(x+1)，即 3x-y+3=0 .
故答案为： 3x-y+3=0
【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.
14．（2022高二下·龙岗期中）某工厂的某种型号的机器的使用年限 和所支出的维修费用 （万元）有下表的统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
根据上表可得回归直线方程 ，则 = .
【答案】0.08
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
因为回归直线过点（4，5），
所以 ，
解得 = 0.08.
故答案为：0.08
【分析】根据表格中的数据求出，将点（）代入回归直线求出a即可.
15．（2022高二下·龙岗期中）如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下．当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是 ．
【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路图，以此类推，小球所有的路线情况如下：
01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34， 01-12-23-33，01-12-23-34，
01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，
02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16种情况，
其中落入2号位置的有4种，
所以每个球落入2号位置的概率为，
所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为.
故答案为：
【分析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率.
16．（2022高二下·龙岗期中）已知等差数列 ，对任意 都有
成立，则数列 的前 项和 ．
【答案】
【知识点】数列的求和；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：设等差数列 的公差为d，则an=a1+(n-1)d，
因为
又，
所以a1·2n+nd·2n-1=n·2n+1，所以2a1+n(d-4)=0对n∈N*恒成立，
所以a1=0，d=4，
所以等差数列{an}的通项公式an=4(n- 1)，
所以，
则数列 的前 项和为.
故答案为：
【分析】根据二项式的性质化简可得a1·2n+nd·2n-1=n·2n+1，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.
四、解答题
17．（2022高二下·龙岗期中）在等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
由 得： ，又 ， ，
.
（2）解：由（1）得： ，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式，列出关于a1与d的方程，求an即可；
（2）结合（1），得 ， 利用分组求和法，由等差、等比数列的求和公式求解即可.
18．（2022高二下·龙岗期中）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的人物，或者设计师单独设计出来的玩偶，由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A，B，C三种样式，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.据统计，有50％的人购买了该盲盒.在这些购买者中，女生占 ；而在未购买者中，男生女生各占50％.
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请根据以上信息填写下表，并判断是否有95％的把握认为购买该盲盒与性别有关？
女生 男生 合计
购买者
未购买者
合计
（2）在购买者中按照性别分层抽样抽取5名，再从这5名中随机抽取2人，求抽取的这两人恰好是女生的概率.
【答案】（1）解：由题意可得 列联表：
女生 男生 总计
购买 60 40 100
未购买 50 50 100
总计 110 90 200
零假设为 ：购买该盲盒与性别无关。
由以上表格中的数据，计算得到 ．
因为 ，
所以没有 把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；
（2）解：购买者中女生和男生的比例为 ，所以抽取的5人中女生3人，男生2人
所以抽取的这两人恰好是女生的概率为
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据题意，完成 列联表，再代入数据即可求得K2，再对比数据，即可得结论；
（2）由分层抽样，确定抽取的5人中女生3人，男生2人，再由古典概型概率计算公式求解.
19．（2022·通州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，，．为等边三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点．
（1）求证：；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为△PAD为正三角形，E为AD中点，
所以，
因为平面平面ABCD，
平面平面，
平面PAD，
所以平面ABCD．
因为平面ABCD，
所以
（2）解：由（1）知，平面ABCD．
取BC中点F，连结EF，
因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，
所以，
所以EA，EF，EP两两垂直．
分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
则，，，，
所以，．
设平面PAC的法向量，
由，得，
令，得，，
所以，
平面ABCD的法向量可取．
设平面PAC与平面ABCD夹角大小为，可知为锐角，
则，
所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）利用三角形△PAD为正三角形，E为AD中点，再利用正三角形三线合一，所以，再利用平面平面ABCD结合面面垂直证出线面垂直，所以平面ABCD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由（1）知，平面ABCD，取BC中点F，连结EF，利用底面ABCD为矩形，E为AD中点，
所以，所以EA，EF，EP两两垂直，分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合平面PAC与平面ABCD夹角为锐角，进而得出平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值。
20．（2022高二下·龙岗期中）已知椭圆 ： 的焦距为2，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆 上的两个动点， 为坐标原点，且直线 ， 的倾斜角互补，求 面积的最大值.
【答案】（1）解：设椭圆的左、右焦点分别为 、 ，因为焦距为2，
所以 且 轴， 故
又由于 ，所以解得 ，
故椭圆 方程为 ；
（2）解：设 ， ，直线 的方程为 ，
由于直线 ， 的倾斜角互补，故
联立方程 ，整理得 ，
故 ，即
且 ，
，
所以 ，故 的方程为 ，且
所以弦长
原点到直线 ： 的距离为 ，
所以
故当且仅当 时， 的面积的最大值为 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求得a，b，进而求得椭圆的方程；
（2）根据直线MN与椭圆的位置关系，结合 直线 ， 的倾斜角互补， 求得直线MN的斜率K，再结合相交弦长与点到直线的距离公式，代入三角形面积公式，得，最后根据二次函数的性质计算最值即可.
21．（2022·茂名模拟）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】（1）解：由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）解：X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出甲、乙两人所得分数相同的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
22．（2022高二下·龙岗期中）设函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 在区间 单调递增，求整数 的最大值.
【答案】（1）解：当 时， （ ），则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为
（2）解：由 ，得 ，
因为 在区间 单调递增，所以 在 上恒成立
所以 ，令 ，则
，
当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 满足条件，
当 时，当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
记 ，则 （ ），所以 在 上递减，
因为 ，
，
所以 时满足条件，综上满足条件的整数 的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导得 ， 分别由f'(x)>0与f'(x)<0，得单调区间；
（2）根据导数与函数的单调性的关系，易得 在 上恒成立，构造函数 ， 即等价于g(x)min>0，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解.
