河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷
一、单选题
1．（2023高二上·信阳期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】直线化为斜截式为，
斜率为－1，倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】根据直线方程求得斜率为，进而求得直线的倾斜角.
2．（2023高二上·信阳期末）已知数列为等比数列，若，，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】，∴，又，∴，所以，
故答案为：C
【分析】根据题意，结合等比数列的性质，结合，即可求解.
3．（2023高二上·信阳期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，
由，所以，
所以，抛物线方程为.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的标准方程为，根据题意求得，即可得到抛物线的方程.
4．（2023高二上·信阳期末）直线l的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；向量语言表述线面的垂直、平行关系；向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】若，则与共线，错误；
若，则，即，错误；
若，则与垂直，即，正确；
若，则与共线，错误，
故答案为：C.
【分析】由，得到与共线，可判定错误；由，得到，可判定错误；由，得到与垂直，可判定正确；由，得到与共线，可判定错误.
5．（2023高二上·信阳期末）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】依题意，每段圆弧的圆心角为，第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.，
所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为.
故答案为：D.
【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列1，2，3，…，n，结合等差数列的求和公式，即可求解.
6．（2023高二上·信阳期末）方程（m，n为常数）不能表示的曲线是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若，，方程表示直线；
若，，方程表示椭圆或圆；
若，，方程表示双曲线；
由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线.
故答案为：D.
【分析】根据，和，，以及，，结合直线、圆、椭圆和双曲线的方程，即可求解.
7．（2023高二上·信阳期末）直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由配方得，
所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，
所以，.
故答案为：C.
【分析】求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.
8．（2023高二上·信阳期末）已知正三棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，则直线与侧面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解法1：如图，取的中点D，连接AD，，则由正三棱柱的性质可知平面，∴为直线与侧面所成角，在中，，故答案为：A.
解法2：取的中点，连接，则由正三棱柱的性质可知平面.设AC的中点为D，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则，，平面的法向量，又，
设与平面所成角为，则.
故答案为：A.
【分析】解法1：取的中点D，连接AD，，得到为直线与侧面所成角，在中，结合，即可求解；
解法2：取的中点，连接，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间坐标系，求得平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
9．（2023高二上·信阳期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线l：，由，
得，（※）
设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.
故答案为：A
【分析】设直线l：，联立方程组，结合根与系数的关系和，取得，再由，即可求解.
10．（2023高二上·信阳期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.
由，得，从而，∴.
∵，∴.
故答案为：B
【分析】由余弦定理化简得，又由，得到，化简得到，求得，即可求解.
11．（2023高二上·信阳期末）直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由曲线得，当时，；
当时，；直线恒过点，
所以直线与曲线的图象如图.
当直线与相切时，
此时，得，解得，
当直线与平行时，，
直线与曲线要恰有2个公共点，可得.
故答案为：A.
【分析】根据题意，画出曲线和直线的图象，分别求得直线与相切时，求得；直线与平行时，求得，进而得到答案.
12．（2023高二上·信阳期末）如图，过抛物线的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则（ ）
A． B． C．18 D．25
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设准线l与x轴交于点M，过A作，垂足为D，由抛物线定义知，
，由得，，
因为，所以，即，得，
所以抛物线方程为.
设，，则，所以.
设直线，联立，得到，
则，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过A作，垂足为D，根据题意求得，得到抛物线方程，根据，设直线，联立方程组得到，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
二、填空题
13．（2023高二上·信阳期末）若向量与向量共线，则 .
【答案】
【知识点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】当时，此时，，故不共线，
当时，向量，共线，所以，
∴.
故答案为：
【分析】当时，得到不共线；当时，根据题意得到，即可求解.
14．（2023高二上·信阳期末）双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线为，所以其渐近线方程是，
故答案为：.
【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解.
15．（2023高二上·信阳期末）引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为 .
【答案】
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设二面角为，由，得
，
∴，∵，∴.
故答案为：.
【分析】设二面角为，根据，利用向量的数量积的运算公式，列出方程求得，即可求解.
16．（2023高二上·信阳期末）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为 ；第n个图形的周长为 .
【答案】；
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】记第n个图形为，边长为，边数，周长为.
有条边，边长；有条边，边长；
有条边，边长；……分析可知，
即；，即.
当第1个图中的三角形的边长为1时，即，，
所以.
当时，.
故答案为：，
【分析】记第n个图形为，边长为，边数，周长为，利用归纳法得到和，在由等差、等比数列的通项公式，即可求解.
三、解答题
17．（2023高二上·信阳期末）设等差数列的前n项和为，若，.
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）解：设数列的公差为d，则，解得.
∴.
（2）解：，
当且仅当或时，取最小值，的最小值为.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1） 设数列的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得的通项公式；
（2）由等差数列的求和公式，求得 ，结合二次函数的性质，即可求解.
18．（2023高二上·信阳期末）已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，，圆M：.
（1）求C与M的标准方程；
（2）过C上的点P作圆M的切线l，当l的倾斜角为时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：由抛物线定义可知，，∴，所以C的方程为.
将配方，得，
圆心，即圆M的标准方程.
（2）解：设切线l：，由，得，或.
所以，切线l：，或.
联立，，得点P的坐标为或；
联立，，得，此方程无解.
综上，所求点P的坐标为或.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由抛物线定义得到，求得，得到C的方程为，进而得到圆的标准方程；
（2） 设切线l：，根据圆心到直线的距离等于半径，求得或，得出切线方程为或，联立方程组，即可求解.
19．（2023高二上·信阳期末）如图，四棱锥中，为等边三角形，，，，E为CD的中点，平面平面ABCD.
（1）求点E到平面PBC的距离；
（2）求平面PBC与平面PBE的夹角.
【答案】（1）解：取AB的中点O，连接OP，因为，为等边三角形，所以.
因为，平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD.
又，E为CD的中点，∴，∵，∴.
分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面PBC的法向量为，则
，即.
令，得平面PBC的一个法向量为.
又，
所以点E到平面PBC的距离.
（2）解：又，
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，
令，得平面PBC的一个法向量为.
则.
故平面PBC与平面PBE夹角为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取AB的中点O，连接OP，根据题意证得和，以O建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量和，结合向量的距离公式，即可求解；
（2） 由（1）知平面PBC的一个法向量，再求得平面PBE的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
20．（2023高二上·信阳期末）已知双曲线C与双曲线的渐近线相同，且点在C上，直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ关于直线对称.
（1）求C的方程；
（2）求直线l的斜率.
【答案】（1）解：设双曲线C的方程为，将点的坐标代入得，
∴，所以，双曲线C：，即C：；
（2）解：易知直线l的斜率存在，设直线l：，设，，
联立，可得，
所以，，
，
由直线AP，AQ关于直线对称，知，
可得，
即，
即，
所以，
化简得，即，
所以或，
当时，直线l：过点，与题意不符，舍去，
故.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设双曲线C的方程为，将点的坐标代入方程，求得，即可得到双曲线的方程；
（2） 设直线l：，联立方程组求得，，由直线AP，AQ关于直线对称，得到，得出，化简得到，求得的值，即可求解.
21．（2023高二上·信阳期末）已知数列前n项和为，，.
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明：由题知，
即，
即，∵，∴，
∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，
∴，∴；
（2）解：，
∴，①
∴，②
①－②得，
，
∴.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1） 根据题意，利用，化简得到，进而得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（2）由（1）求得 ，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前n项和 .
22．（2023高二上·信阳期末）已知椭圆C：过点，点N为其左顶点，且MN的斜率为.
（1）求曲线C的方程；
（2）设，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，证明：直线BD恒过定点.
【答案】（1）解：根据题意，把点代入椭圆得到①，
设，又，
∴，代入①式，求得，
∴椭圆C的方程为.
（2）证明：设，，，显然直线AP斜率不为0，
设直线AP方程为，
联立，消去x并整理得
，
由，
由韦达定理可得，，
直线BD的方程是，
化简得：
，
∵，
∴当时，.
∴直线BD过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）把点代入椭圆得到，设，根据题意求得，进而求得，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线AP方程为，联立方程组，求得，，结合BD的方程是，化简得，当时，求得，即可求解.
河南省信阳市2022-2023学年高二上学期数学期末教学质量检测试卷
一、单选题
1．（2023高二上·信阳期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·信阳期末）已知数列为等比数列，若，，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．
3．（2023高二上·信阳期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·信阳期末）直线l的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023高二上·信阳期末）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·信阳期末）方程（m，n为常数）不能表示的曲线是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．（2023高二上·信阳期末）直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．（2023高二上·信阳期末）已知正三棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，则直线与侧面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高二上·信阳期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
10．（2023高二上·信阳期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二上·信阳期末）直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·信阳期末）如图，过抛物线的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若，且，则（ ）
A． B． C．18 D．25
二、填空题
13．（2023高二上·信阳期末）若向量与向量共线，则 .
14．（2023高二上·信阳期末）双曲线的渐近线方程是 .
15．（2023高二上·信阳期末）引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为 .
16．（2023高二上·信阳期末）“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为 ；第n个图形的周长为 .
三、解答题
17．（2023高二上·信阳期末）设等差数列的前n项和为，若，.
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值.
18．（2023高二上·信阳期末）已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，，圆M：.
（1）求C与M的标准方程；
（2）过C上的点P作圆M的切线l，当l的倾斜角为时，求点P的坐标.
19．（2023高二上·信阳期末）如图，四棱锥中，为等边三角形，，，，E为CD的中点，平面平面ABCD.
（1）求点E到平面PBC的距离；
（2）求平面PBC与平面PBE的夹角.
20．（2023高二上·信阳期末）已知双曲线C与双曲线的渐近线相同，且点在C上，直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ关于直线对称.
（1）求C的方程；
（2）求直线l的斜率.
21．（2023高二上·信阳期末）已知数列前n项和为，，.
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
22．（2023高二上·信阳期末）已知椭圆C：过点，点N为其左顶点，且MN的斜率为.
（1）求曲线C的方程；
（2）设，垂直于x轴的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AP和曲线C交于另一点D，证明：直线BD恒过定点.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】直线化为斜截式为，
斜率为－1，倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】根据直线方程求得斜率为，进而求得直线的倾斜角.
2．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】，∴，又，∴，所以，
故答案为：C
【分析】根据题意，结合等比数列的性质，结合，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，
由，所以，
所以，抛物线方程为.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的标准方程为，根据题意求得，即可得到抛物线的方程.
4．【答案】C
【知识点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；向量语言表述线面的垂直、平行关系；向量语言表述面面的垂直、平行关系
【解析】【解答】若，则与共线，错误；
若，则，即，错误；
若，则与垂直，即，正确；
若，则与共线，错误，
故答案为：C.
【分析】由，得到与共线，可判定错误；由，得到，可判定错误；由，得到与垂直，可判定正确；由，得到与共线，可判定错误.
5．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】依题意，每段圆弧的圆心角为，第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.，
所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为.
故答案为：D.
【分析】根据题意得到第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列1，2，3，…，n，结合等差数列的求和公式，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若，，方程表示直线；
若，，方程表示椭圆或圆；
若，，方程表示双曲线；
由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线.
故答案为：D.
【分析】根据，和，，以及，，结合直线、圆、椭圆和双曲线的方程，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由配方得，
所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离，
所以，.
故答案为：C.
【分析】求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】解法1：如图，取的中点D，连接AD，，则由正三棱柱的性质可知平面，∴为直线与侧面所成角，在中，，故答案为：A.
解法2：取的中点，连接，则由正三棱柱的性质可知平面.设AC的中点为D，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则，，平面的法向量，又，
设与平面所成角为，则.
故答案为：A.
【分析】解法1：取的中点D，连接AD，，得到为直线与侧面所成角，在中，结合，即可求解；
解法2：取的中点，连接，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间坐标系，求得平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线l：，由，
得，（※）
设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.
故答案为：A
【分析】设直线l：，联立方程组，结合根与系数的关系和，取得，再由，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.
由，得，从而，∴.
∵，∴.
故答案为：B
【分析】由余弦定理化简得，又由，得到，化简得到，求得，即可求解.
11．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由曲线得，当时，；
当时，；直线恒过点，
所以直线与曲线的图象如图.
当直线与相切时，
此时，得，解得，
当直线与平行时，，
直线与曲线要恰有2个公共点，可得.
故答案为：A.
【分析】根据题意，画出曲线和直线的图象，分别求得直线与相切时，求得；直线与平行时，求得，进而得到答案.
12．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设准线l与x轴交于点M，过A作，垂足为D，由抛物线定义知，
，由得，，
因为，所以，即，得，
所以抛物线方程为.
设，，则，所以.
设直线，联立，得到，
则，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过A作，垂足为D，根据题意求得，得到抛物线方程，根据，设直线，联立方程组得到，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
13．【答案】
【知识点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】当时，此时，，故不共线，
当时，向量，共线，所以，
∴.
故答案为：
【分析】当时，得到不共线；当时，根据题意得到，即可求解.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线为，所以其渐近线方程是，
故答案为：.
【分析】根据双曲线的几何性质，即可求解.
15．【答案】
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设二面角为，由，得
，
∴，∵，∴.
故答案为：.
【分析】设二面角为，根据，利用向量的数量积的运算公式，列出方程求得，即可求解.
16．【答案】；
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】记第n个图形为，边长为，边数，周长为.
有条边，边长；有条边，边长；
有条边，边长；……分析可知，
即；，即.
当第1个图中的三角形的边长为1时，即，，
所以.
当时，.
故答案为：，
【分析】记第n个图形为，边长为，边数，周长为，利用归纳法得到和，在由等差、等比数列的通项公式，即可求解.
17．【答案】（1）解：设数列的公差为d，则，解得.
∴.
（2）解：，
当且仅当或时，取最小值，的最小值为.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1） 设数列的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得的通项公式；
（2）由等差数列的求和公式，求得 ，结合二次函数的性质，即可求解.
18．【答案】（1）解：由抛物线定义可知，，∴，所以C的方程为.
将配方，得，
圆心，即圆M的标准方程.
（2）解：设切线l：，由，得，或.
所以，切线l：，或.
联立，，得点P的坐标为或；
联立，，得，此方程无解.
综上，所求点P的坐标为或.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由抛物线定义得到，求得，得到C的方程为，进而得到圆的标准方程；
（2） 设切线l：，根据圆心到直线的距离等于半径，求得或，得出切线方程为或，联立方程组，即可求解.
19．【答案】（1）解：取AB的中点O，连接OP，因为，为等边三角形，所以.
因为，平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD.
又，E为CD的中点，∴，∵，∴.
分别以OB，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面PBC的法向量为，则
，即.
令，得平面PBC的一个法向量为.
又，
所以点E到平面PBC的距离.
（2）解：又，
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，
令，得平面PBC的一个法向量为.
则.
故平面PBC与平面PBE夹角为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 取AB的中点O，连接OP，根据题意证得和，以O建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量和，结合向量的距离公式，即可求解；
（2） 由（1）知平面PBC的一个法向量，再求得平面PBE的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
20．【答案】（1）解：设双曲线C的方程为，将点的坐标代入得，
∴，所以，双曲线C：，即C：；
（2）解：易知直线l的斜率存在，设直线l：，设，，
联立，可得，
所以，，
，
由直线AP，AQ关于直线对称，知，
可得，
即，
即，
所以，
化简得，即，
所以或，
当时，直线l：过点，与题意不符，舍去，
故.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设双曲线C的方程为，将点的坐标代入方程，求得，即可得到双曲线的方程；
（2） 设直线l：，联立方程组求得，，由直线AP，AQ关于直线对称，得到，得出，化简得到，求得的值，即可求解.
21．【答案】（1）证明：由题知，
即，
即，∵，∴，
∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，
∴，∴；
（2）解：，
∴，①
∴，②
①－②得，
，
∴.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1） 根据题意，利用，化简得到，进而得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（2）由（1）求得 ，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前n项和 .
22．【答案】（1）解：根据题意，把点代入椭圆得到①，
设，又，
∴，代入①式，求得，
∴椭圆C的方程为.
（2）证明：设，，，显然直线AP斜率不为0，
设直线AP方程为，
联立，消去x并整理得
，
由，
由韦达定理可得，，
直线BD的方程是，
化简得：
，
∵，
∴当时，.
∴直线BD过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）把点代入椭圆得到，设，根据题意求得，进而求得，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线AP方程为，联立方程组，求得，，结合BD的方程是，化简得，当时，求得，即可求解.
