必修第二册 4.2 对数与对数函数
一、选择题（共15小题）
1. 函数 （，且 ）的图象过定点
A. B. C. D.
2. 可以写成
A. B. C. D.
3. 若 ，，，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
4. 已知 ，，则 等于
A. B. C. D.
5. 若 ，则下列各式正确的是
A. B. C. D.
6. 设 ，则下列各式中正确的是
A.
B.
C.
D.
7. 若函数 在 上有 ，则
A. 在 上是增函数 B. 在 上是减函数
C. 在 上是增函数 D. 在 上是减函数
8. 若 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
9. 函数 在区间 上是严格增函数，则下列说法中正确的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 若 ，，且 ，则 的值
A. 等于 B. 等于
C. 等于 D. 不是与 ， 无关的常数
11. 如图，点 为坐标原点，点 ，若函数 （，且 ）及 的图象与线段 分别交于点 ，，且 ， 恰好是线段 的两个三等分点，则 ， 满足
A. B. C. D.
12. ，则 等于
A. B. C. D.
13. 已知函数 的值域为 ，若不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
14. 若 ，，则 等于
A. B. C. D.
15. 如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
二、填空题（共9小题）
16. 已知函数 ，，，直线 （）与这三个函数图象的交点的横坐标分别是 ，，，则 ，， 的大小关系是 ．
17. 设 ， 都是不等于 的正数，若 ，则 ．
18. 定义：设函数 的定义域为 ，若对于任意 ，存在 使 （ 为常数）成立．则称函数 在 上的“半差值”为 ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为 的函数是 （选出所有满足条件的序号）
①
②
③
④
19. （）若 ，则 ．
（）若 ，则 ．
（）若 ，则 ，， 之间的关系式是 ．
20. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为 ．
21. 若 ，，则 的值是 ．
22. 若函数 与 在区间 上都是减函数，则实数 的取值范围是 ．
23. ．
24. 已知 ，，，则 与 的大小关系是 ．
三、解答题（共8小题）
25. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
26. 已知结论：， 时，．设 ，
（1）判断 与 的大小关系，并证明，若两者可以取等，请写出取等条件；
（2）试根据（）中的结论，证明 ．
27. 已知 ，求证：．
28. 已知函数 ，
（1）求 ，， 的值；
（2）求 ，， 的值．
29. 若 ， 分别是方程 的两个实根，求 的值．
30. 已知函数 ．
（1）是否存在一个实数 ，使得函数 的图象关于某一条垂直于 轴的直线对称 若存在，求出这个实数 ；若不存在，说明理由，
（2）当 的最大值为 时，求实数 的值．
31. 已知 的三边长分别是 ，，，且满足 ，，试判断 的形状，并写出推理过程．
32. 已知函数 ．
（1）求此函数的定义域；
（2）若函数值都大于等于 ，求实数 的取值范围．
答案
1. D
【解析】令 ，得 ，此时 ．
2. C
3. D
【解析】；
．
4. B
5. B
6. D
7. C
8. B
9. A
10. C
11. A
【解析】由题意知 ，且 ， 恰好是线段 的两个三等分点，
所以 ，，
把 代入函数 ，即 ，解得 ，
把 代入函数 ，
即 ，即得 ，
所以 ．故选A．
12. A
【解析】因为 ，，
所以 ，，
又 ，
所以
13. A
14. B
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，联立解得
所以 ．
15. C
16.
17.
18. ①③
19. ，，
20.
21.
22.
23.
【解析】化简
24.
25. （1） ；
（2） ．
26. （1） ， 时，等号成立；
（2） 【提示】：记 ，
由（）中的不等式，
由已知结论，，
所以 ，
所以 ．
27. 略．
28. （1） ，，．
（2） ，，．
29. 根据题意，， 分别是方程 的两个实根．
由韦达定理得 ，，
30. （1） ．若存在，则这条直线应是 ，它必与 的对称轴 重合，由此产生矛盾，
所以不存在满足条件的实数 ；
（2） 由条件知， 的最大值为 ，又 ，然后分 ，， 三种情况讨论，最后得 ．
31. 直角三角形．
，，
，，（舍），
代入（），，
所以为直角三角形．
32. （1） 定义域 ．
（2） ，
．
所以实数 的取值范围 ．
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