7.3复数的三角表示 同步训练
一、单选题
1．（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．欧拉公式 (为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为（ ）
A． B． C． D．
4．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
5．设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
6．若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
7．如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 D．辐角主值为
8．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数的值为 B．为纯虚数
C．复数的模长等于 D．
三、填空题
9．若复数（为虚数单位），则___________.
10．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，则∠AOB＝_________.
11．将复数化为代数形式为___________
12．1的所有四次方根为______．
四、解答题
13．计算：．
14．如图，若与分别表示复数Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判断的形状.
15．设复数，求函数的最大值以及对应的值．
16．把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
参考答案：
1．A
【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.
【详解】分别是复数的辐角，
于是题中代数式为复数的辐角的正弦值，为1．
故选：A.
2．B
【分析】设，根据辐角的定义得到方程组，解得即可；
【详解】解：设，
因为的辐角为，所以
因为的辐角为，所以
解得，所以
故选：B
3．B
【分析】根据欧拉公式及特殊角的三角函数化简，再根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】解：因为，所以；
故选：B.
4．C
【分析】根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1·z2·z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.
【详解】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.
5．C
【分析】首先利用诱导公式将复数化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数，即可求出其共轭复数；
【详解】解：因为
所以
所以的共轭复数是，
故选：C
6．D
【分析】先将复数z化简为复数的标准形式，然后判断其在复平面内的所在象限即可.
【详解】已知，得，所以，所以其在复平面内对应的点为，在第四象限；
故选:D
7．ACD
【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．
【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：ACD．
8．CD
【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．
【详解】由于，所以A错误；
为实数，故B错误；
复数的模长为，故C正确；
，D正确．
故选：CD
9．##
【分析】根据复数，可知其实部和虚部，即可求得答案.
【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限
故幅角的正切值，由于，则，
故答案为：
10．
【分析】根据复数乘除法的几何意义以及其三角形式的表示可得答案.
【详解】∵α≠0，β＝(1＋i)α
∴＝1＋i＝，∴∠AOB＝.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数乘除法的几何意义和复数的三角表示，属于基础题.
11．
【分析】直接写出三角函数值再化简即得解.
【详解】由题得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的三角形式化代数形式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
12．
【分析】根据四次方根的定义在复数范围内求解即可.
【详解】解：设1的四次方根为，则，所以解得或，则或.
故1的所有四次方根为.
故答案为：.
13．
【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可
【详解】原式
故答案为：
14．∠Z2OZ1=，为直角三角形.
【分析】利用复数的乘除运算以及复数的三角表示可得∠Z2OZ1=，由可得为直角三角形.
【详解】
=(1+i)
=，
∴∠Z2OZ1=，且.
∴为直角三角形.
【点睛】本题考查了复数的乘除运算、复数模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
15．当时，y取得最大值
【分析】根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】由，可得，
因为，所以，于是，
当且仅当时取等号，则当时取等号，即当时取等号，因此有，因此函数的最大值为，此时.
16．（1）（2）
【解析】（1）分别求出 再整理为 的形式.
（2）分别求出 再整理为 的形式.
【详解】（1）.
（2）.
【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
