专题04 猪蹄模型与铅笔模型压轴题真题（原卷版）
模型一：猪蹄与锯齿模型
【模型结论】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；
②∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P；
③∠A+∠B+∠P+…+P＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
模型二：铅笔模型
【模型结论】
如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝ 180°；
如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；
如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。
1．（雅礼）已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．
（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．
（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．
（提示：注意适当添加辅助线！）
2．（2021春 天心区校级月考）如图，已知直线MN∥EF．C是这两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系．
3．（2022·全国）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．
【问题解决】
(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
4．（2022春·云南玉溪·七年级统考期末）已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，的平分线相交于点M．
(1)求的度数；
(2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作的平分线相交于点，作的平分线相交于点，依此类推，作的平分线相交于点，请直接写出的度数．
5．（2021春·吉林)【阅读探究】如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作,∵,∴,
∴，
，
∴ ，
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ．
【方法运用】如图2，已知，点分别在直线上，点在两平线之间，求和之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数．
6．（2022春·福建莆田）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
7．（2022春·湖北十堰）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
8.（广益）已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，请直接写出和之间的数量关系；
（2）如图2，过点作，垂足为，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，作平分，交于，连接，若，且，求的度数．
9．（2022春·湖南长沙）如图，PQMN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足．
(1)a=________，b=________；
(2)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
10．（2019春·浙江）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转运的速度是，秒，射线转运的速度是/秒．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
（1）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
（2）若射线绕点顺时针先转动，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达 之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
（3）如图，射线和射线同时转动，在射线到达之前．若射线与射线交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，说明理由．
11．（师大）如图1，已知直线PQ∥MN，点A、B分别在直线MN、PQ上，射线AM绕点A以5°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与AN（或AM）重合后便立即回转，射线BQ绕点B以2°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与BP重合后便停止转动，旋转后的射线分别记为AM'和BQ'．
（1）若射线BQ先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线AM第一次到达AN之前，射线AM转动几秒后AM'∥BQ'；
（2）若射线AM，BQ同时转动t秒，在射线BQ停止转动之前，记射线AM'与BQ'交于点H，若∠AHB＝90°，求t的值；
（3）射线AM，BQ同时转动，在射线AM第一次到达AN之前，记射线AM'与BQ'交于点K，过K作KC⊥AK交PQ于点C，如图2，若∠BAN＝30°，则在旋转过程中，∠BAK与∠BKC有何数量关系？并说明理由．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于
（1）求三角形的面积．
（2）发过作交轴于，且分别平分，如图2，若，求的度数．
（3）在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在；请说明理由．
13．（2022春·重庆）直线AB//CD，点、分别在直线、上．
(1)如图1，、、的数量关系为：________；
(2)如图2，直线与、分别交于点、，连接，的平分线交于点．
①当MH//EF，PN//EF时，请判断与的数量关系，并说明理由；
②如图3，当保持PN//EF并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题04 猪蹄模型与铅笔模型压轴题真题（解析版）
模型一：猪蹄与锯齿模型
【模型结论】
如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；
②∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P；
③∠A+∠B+∠P+…+P＝∠P+∠P+∠P+…+∠P
模型二：铅笔模型
【模型结论】
如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝ 180°；
如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；
如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。
1．（雅礼）已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．
（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．
（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．
（提示：注意适当添加辅助线！）
【解答】解：（1）图1，∠A+∠P+∠C＝360°，图2，∠A+∠C＝∠APC，
证明图1：过P作PE∥AB，∴∠A+∠APE＝180°，又∵AB∥CD，∴CD∥PE，
∴∠C+∠CPE＝180°，∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C＝360°；
（2）图3：∠PCD＝∠PAB+∠APC，图4：∠PAB＝∠PCD+∠CPA．
2．（2021春 天心区校级月考）如图，已知直线MN∥EF．C是这两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数；
（2）如图2，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，∴∠1＝∠ACG，∠2＝∠BCG，
∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；∵∠ACB＝100°，∴∠ADB＝50°；
（2）如图，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，∴∠1＝∠MAC，∠2＝∠CBF，
∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．∴∠ADB＝90°﹣ACB．
3．（2022·全国·七年级假期作业）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．
【问题解决】
(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
【解答】解：(1)解：∠APC=∠BAP+∠PCD；过P作PM∥AB，∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，
∴∠PCD=∠MPC，∵∠APC=∠APM+∠MPC，∴∠APC=∠BAP+∠PCD．
(2)（2）∠AEC=∠APC，理由如下：过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．
根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，
∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．∴∠AEC=∠APC．
(3)解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，∴∠APC+3∠AEC=360°，故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．
4．（2022春·云南玉溪·七年级统考期末）已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，的平分线相交于点M．
(1)求的度数；
(2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作的平分线相交于点，作的平分线相交于点，依此类推，作的平分线相交于点，请直接写出的度数．
【解答】解：（1）解：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE，∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°，∴∠M=180°-90°=90°；
（2）结论：∠M1=∠M；理由：过点M1作M1J∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，M1J∥AB，∴M1J∥CD，∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM，∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1，
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°；∴∠EM1F=∠M；
（3）由（2）可知，∠M1=×90°，同法可知，∠M2=∠M1=∠M，∠Mn=（）n×90°，
当n=2022时，∠M2022=（）2022×90°．
5．（2021春·吉林)【阅读探究】如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作,∵,∴,
∴，
，
∴ ，
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ．
【方法运用】如图2，已知，点分别在直线上，点在两平线之间，求和之间的数量关系．
【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数．
【详解】解：[阅读探究]过点M作MN∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN=∠AEM=45°，∠FMN=∠CFM=25°，
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=∠AEM+∠CFM，故答案为：∠EMF=∠AEM+∠CFM；
[方法运用]过点M作MN∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，∵∠BEM=180°-∠AEM，∠DFM=180°-∠CFM，
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=180°-∠AEM+180°-∠CFM=360°-∠AEM-∠CFM，
∴∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系为：∠EMF=360°-∠AEM-∠CFM；
[应用拓展]
∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线，∴∠AEP=∠AEM，∠CFP=∠CFM，
过点P作PH∥AB，如图3所示：
∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠EPH=∠AEP，∠FPH=∠CFP，
∴∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP=∠AEM+∠CFM=（∠AEM+∠CFM），
由[方法运用]得：∠EMF=360°-∠AEM-∠CFM，∴∠AEM+∠CFM=360°-∠EMF=360°-60°=300°，
∴（∠AEM+∠CFM）=×300°=150°，∴∠EPF=150°．
6．（2022春·福建莆田）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，解得，x=60，
∠H的4系补周角的度数为60°，故答案为：60；
（2）解：①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠D=60°，∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，即∠B+60°=∠BED，∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°-3∠B，∴∠B+60°=360°-3∠B，∴∠B=75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
7．（2022春·湖北十堰）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【详解】证明：（1）如图，过点作，
，，，，即，，；
（2）如图，过点作，
，，，，即，
，，，，
；
（3）如图，过点作，延长至点，
，，，，平分，平分，
，由（2）可知，，
，又，
．
8.（广益）已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，请直接写出和之间的数量关系；
（2）如图2，过点作，垂足为，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分，交于点，作平分，交于，连接，若，且，求的度数．
【解答】解：（1）结论：∠ECD＝90°+∠ABE．理由：如图1中，从BE交DC的延长线于H．
∵AB∥CH，∴∠ABE＝∠H，∵BE⊥CE，∴∠CEH＝90°，∴∠ECH＝180°﹣∠CEH﹣∠H＝180°﹣90°﹣∠H＝90°﹣∠H，∴∠ECD＝180°﹣∠ECH＝180°﹣（90°﹣∠H）＝90°+∠H，
∴∠ECD＝90°+∠ABE．
（2）如图2中，作EM∥CD，
∵EM∥CD，CD∥AB，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，∵EF⊥CD，
∴∠F＝90°，∴∠FEM＝90°，∴∠CEF与∠CEM互余，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，
∴∠BEM与∠CEM互余，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠CEF＝∠ABE．
（3）如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．
∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，∵EG平分∠CEF，∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，∴∠ABE＝∠CEF＝2α，
∵AB∥CD∥EM，∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ED平分∠BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，
∵∠BEC＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，∵∠ABK＝180°，∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，
即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15°，
∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．
9．（2022春·湖南长沙）如图，PQMN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN=45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足．
(1)a=________，b=________；
(2)若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
(3)若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
【解答】(1)解：，且，解得，将代入得，故答案为：；
(2)解：设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直，
如图所示，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∵PQMN，∴∠ABQ+∠BAM=180°，∴∠OBQ+∠OAM=90°，又∵∠OBQ=t°，∠OAM=5t°，∴t°+5t°=90°，∴t=15（s）；
(3)解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，如图所示，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18×5=90°，分两种情况：
①当9＜t＜18时，∠QBQ'=t°，∠M'AM''=5t°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ，∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM''=∠M'AM''-∠M'AB=5t-45°，当∠ABQ'=∠BAM''时，BQ'AM''，此时，45°-t°=5t-45°，解得t=15；
②当18＜t＜27时，∠QBQ'=t°，∠NAM''=5t°-90°，
∠BAM''=∠M'AM''-∠M'AB=5t-45°，∵∠BAN=45°=∠ABQ，∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM''=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM''时，BQ'AM“，此时，45°-t°=135°-5t，解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
10．（2019春·浙江）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转运的速度是，秒，射线转运的速度是/秒．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
（1）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
（2）若射线绕点顺时针先转动，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达 之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
（3）如图，射线和射线同时转动，在射线到达之前．若射线与射线交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，说明理由．
【详解】(1)设射线AM和射线BQ同时旋转t秒时，射线AM和射线BQ相互垂直，如图所示：
依题意知，,,，，
射线AM和射线BQ相互垂直，,故：
(2) 设射线BQ同时旋转t秒时，射线AM和射线BQ相互平行，如图所示：
依题意知，,,,，，
，即，故：；
(3)与的数量关系会发生变化，设射线转动时间为t秒，则,，
①当时，如图：
，，
②当时，如图：
，，
，；
③当时，如图：
，，
设BC交MN于E，，,即＝，
，
；
综上所述：①当时，，；
②当时，，；
③当时，，.
所以在转动过程中，与的数量关系会发生变化.
11．（师大）如图1，已知直线PQ∥MN，点A、B分别在直线MN、PQ上，射线AM绕点A以5°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与AN（或AM）重合后便立即回转，射线BQ绕点B以2°/秒的速度按顺时针开始旋转，旋转至与BP重合后便停止转动，旋转后的射线分别记为AM'和BQ'．
（1）若射线BQ先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线AM第一次到达AN之前，射线AM转动几秒后AM'∥BQ'；
（2）若射线AM，BQ同时转动t秒，在射线BQ停止转动之前，记射线AM'与BQ'交于点H，若∠AHB＝90°，求t的值；
（3）射线AM，BQ同时转动，在射线AM第一次到达AN之前，记射线AM'与BQ'交于点K，过K作KC⊥AK交PQ于点C，如图2，若∠BAN＝30°，则在旋转过程中，∠BAK与∠BKC有何数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）由题意当5t＝60+2t时，BQ′∥AM′，∴t＝20s时，BQ′∥AM′．
（2）∵点Q的运动时间t＝＝90（秒），分三种情形：①射线AM第一次到达AN之前：如图1中，
当∠NAM′+∠QBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，则有2t+180°﹣5t＝90°，解得t＝30（秒），
②射线AM返回途中：如图2中，
当∠MAM′+∠PBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，则有180°﹣2t+180°﹣（5t﹣180°）＝90°，
解得t＝（秒），
③射线AM第二次到达AN之前，如图2中，当∠MAM′+∠PBQ′＝90°时，∠AHB＝90°，
则有180°﹣2t+（5t﹣360°）＝90°，解得t＝90（秒），
④到达AN再返回途中，如图1，5t﹣180+2t＝90 t＝ 秒；
综上所述，满足条件的t的值为30秒或秒或90秒或秒．
（3）如图3中，设∠KAB＝x，∠BKC＝y．设直线CK交MN于G．
∵AK⊥KC，∴∠AKG＝90°，∴∠KAG+∠AGK＝90°，∵PQ∥MN，∴∠AGK＝∠QCK，
∴180°﹣5t+2t+y＝90°，∴t＝30°﹣y，∵x＝30°﹣（180°﹣5t），∴x＝5t﹣150°，
∴x＝5（30°﹣y）﹣150°，∴x＝y，∴∠KAB＝∠BKC．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于
（1）求三角形的面积．
（2）发过作交轴于，且分别平分，如图2，若，求的度数．
（3）在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在；请说明理由．
【详解】解：（1）由题意知：a＝ b，a b＋4＝0，解得：a＝ 2，b＝2，
∴ A（ 2，0），B（2，0），C（2，2），∴S△ABC＝；
（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，
过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，
∴∠AED＝∠1＋∠2＝×90°＝45°；
（3）存在．理由如下：设P点坐标为（0，t），|t 1| 2＋|t 1| 2＝4，解得t＝3或 1，
∴P点坐标为（0，3）或（0， 1）．
13．（2022春·重庆）直线AB//CD，点、分别在直线、上．
(1)如图1，、、的数量关系为：________；
(2)如图2，直线与、分别交于点、，连接，的平分线交于点．
①当MH//EF，PN//EF时，请判断与的数量关系，并说明理由；
②如图3，当保持PN//EF并向左平移，在平移的过程中猜想、与的数量关系，请直接写出结论．
【详解】（1）如图1中，过点P作PTAB，∵ABCD，PTАВ，∴ABPTCD，
∴∠ AMP+ ∠MPT= 180°，∠PND =∠TPN，∴∠AMP + ∠MPN - ∠PND=∠AMP+∠MPT+∠TPN－∠PND= 180°，故答案为：∠AMP+∠MPN-∠PND=180°；
（2）①∠EFD=∠PNM，理由如下：∵MHEF，∴∠EFD=∠MHN，∵ABCD，∴∠MHN=∠AMH，
∵MH平分∠AMN ，∴∠AMH=∠HMN，∴∠EFD=∠HMN，∵MHPN，∴∠HMN =∠PNM，∴∠EFD =∠PNM，故答案为∠EFD =∠PNM；
②如图，当点P在MN的右侧时，∵ABCD，∴∠MHD=∠AMH，∵MH平分∠AMN ，∴∠AMH=∠HMN，
∴∠MHD=∠HMN，∵PNEF，∴∠EFD=∠PND，∵∠MHN+∠HMN=∠PND+∠PNM，
∴2∠MHN =∠EFD+∠PNM，
当点P在MN的左侧时，∵ABCD，∴∠MHD=∠AMH，∵MH平分∠AMN ，∴∠AMH=∠HMN，
∴∠MHD=∠HMN，∵PNEF，∴∠EFD=∠PND，∵∠MHN+∠HMN=∠PND-∠PNM，
∴2∠MHN +∠PNM =∠EFD．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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