2022-2023学年浙教版八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如下所示：
人员 经理 厨师 会计 服务员
人数 1 2 1 3
工资数 16000 6000 5200 3400
则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（ ）
A．3400，5200 B．5200，3400 C．340，5600 D．5600，3400
3．（3分）关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
4．（3分）化简二次根式得（ ）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．30
5．（3分）如图，下列结论中，不正确的是（ ）
A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大
C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大
6．（3分）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x≤2且x≠﹣1 D．x≥2且x≠﹣1
7．（3分）若＝a，＝b，则可以表示为（ ）
A． B． C．a2b D．ab
8．（3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣kx+k﹣2＝0（其中k≠﹣1，且为常数）的根的情况，描述正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根
9．（3分）某校2023年捐款2万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2025年三年共捐款9.5万元．若设该校捐款的平均年增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）2＝9.5
B．2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5
C．2（1+x%）2＝9.5
D．2+2（1+x%）+2（1+x%）2＝9.5
10．（3分）在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1、x2，那么x1+x2＝，x1 x2＝，则若关于x的方程2x2﹣（k﹣1）x+k+1＝0的两个实数根满足关系式|x1﹣x2|＝1，则k的值为（ ）
A．11 B．﹣1 C．11或﹣1 D．11或﹣1或1
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）当x＝﹣4时，代数式的值为 ．
12．（4分）有一组数据：1，2，2，4，4，5，这组数据的方差是 ．
13．（4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的判别式的值为 ．
14．（4分）若x，y满足条件：y≤++，化简代数式+3＝ ．
15．（4分）在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程2x（x﹣3）＝（x+2）（x+4）﹣28其中一个解，那么这个直角三角形的面积是 ．
16．（4分）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根x1、x2，若[2+x1（1+x1）] [3﹣2x2（1+x2）]＝3，则k的值为 ．
三、解答题（共7个大题，共66分）
17．（6分）有一组数据：3，x2+1，5，2x﹣3，4，它们的平均数是4，求x的值．
18．（8分）按要求解答下列各小题
（1）化简 +﹣×；
（2）已知：a＝﹣2，b＝+2，求代数式a2+ab+b2的值．
19．（8分）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长米，坡度i＝3：2．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
20．（10分）关于x的方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0（k为常数）
（1）该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由，如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值；
（2）求k＝1时方程的解；
（3）求出一个k（k≠1）的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的其中一个解相同．（本小题只需要求一个k的值就可以了）
21．（10分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分．
（1）请算出三人的民主评议得分；
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用；（精确到0.01）
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
22．（12分）目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块个长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）．
（1）用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积；
（2）若a，b满足代数式＝×﹣，求a：b；
（3）若已知a：b值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．
（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．
（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．
（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；
B、的被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式．
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（3分）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如下所示：
人员 经理 厨师 会计 服务员
人数 1 2 1 3
工资数 16000 6000 5200 3400
则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（ ）
A．3400，5200 B．5200，3400 C．340，5600 D．5600，3400
【分析】把所有员工的工资按从小到大的顺序排列，然后根据众数和中位数的定义求解．
【解答】解：把数据按从小到大的顺序排列为：3400，3400，3400，5200，6000，6000，16000，
则众数为：3400，
中位数为：5200．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
3．（3分）关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得：
a2﹣1≠0，
解得a≠±1．
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4．（3分）化简二次根式得（ ）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．30
【分析】利用二次根式的意义化简．
【解答】解：＝＝5．故选B．
【点评】本题考查了二次根式的运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算．
5．（3分）如图，下列结论中，不正确的是（ ）
A．a组数据的标准差较大 B．a组数据的方差较大
C．b组数据比较稳定 D．b组数据的标准差较大
【分析】标准差和方差都可以衡量数据稳定性，数据越稳定，方差和标准差越小．由此可得答案．
【解答】解：由图中可以看出，b数据比较稳定，即其标准差较小．
故D的说法错误
答案选D．
【点评】本题涉及方差和标准差的相关概念，难度一般．
6．（3分）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2 C．x≤2且x≠﹣1 D．x≥2且x≠﹣1
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【解答】解：根据题意，得
，
解得x≤2且x≠﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x的值．
7．（3分）若＝a，＝b，则可以表示为（ ）
A． B． C．a2b D．ab
【分析】首先化简二次根式，进而得出答案．
【解答】解：∵＝a，＝b，
∴可以表示为：3＝（）2×＝a2b．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣kx+k﹣2＝0（其中k≠﹣1，且为常数）的根的情况，描述正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根
【分析】根据Δ＝b2﹣4ac的符号来判断一元二次方程（k+1）x2﹣kx+k﹣2＝0（其中k≠﹣1，且为常数）的根的情况．
【解答】解：∵a＝k+1，b＝﹣k，c＝k﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝5k2﹣4（k+1）（k﹣2）
＝5k2﹣4k2+4k+8
＝k2+4k+8
＝（k+2）2+4，
∵（k+2）2≥0，
∴＝（k+2）2+4＞0，
∴关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣kx+k﹣2＝0（其中k≠﹣1，且为常数）有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．
9．（3分）某校2023年捐款2万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2025年三年共捐款9.5万元．若设该校捐款的平均年增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2（1+x）2＝9.5
B．2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5
C．2（1+x%）2＝9.5
D．2+2（1+x%）+2（1+x%）2＝9.5
【分析】2024年的捐款是2（1+x）万元，2025年的捐款数是2（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年共捐款9.5万元，列出方程即可．
【解答】解：设该校捐款的平均年增长率为x．
则：2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5，
故选：B．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
10．（3分）在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是x1、x2，那么x1+x2＝，x1 x2＝，则若关于x的方程2x2﹣（k﹣1）x+k+1＝0的两个实数根满足关系式|x1﹣x2|＝1，则k的值为（ ）
A．11 B．﹣1 C．11或﹣1 D．11或﹣1或1
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1 x2＝，再把|x1﹣x2|＝1两边平方后利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1 x2＝1，则（）2﹣4 ＝1，整理得k2﹣10k﹣11＝0，解方程得k1＝11，k2＝﹣1，然后利用根的判别式确定k的取值．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝1，
∴（x1﹣x2）2＝1，
∴（x1+x2）2﹣4x1 x2＝1，
∴（）2﹣4 ＝1，
整理得k2﹣10k﹣11＝0，解得k1＝11，k2＝﹣1，
当k＝11时，方程变形为2x2﹣10x+12＝0，即x2﹣5x+6＝0，Δ＝25﹣4×6＞0，方程有两个不相等的实数解；
当k＝﹣1时，方程变形为2x2+2x＝0，即x2+x＝0，Δ＝1＞0，方程有两个不相等的实数解；
∴k的值为11或﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了根的判别式．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）当x＝﹣4时，代数式的值为 ．
【分析】根据求代数式的值的两个步骤：先“代入”再“计算”，但要注意书写格式要规范．
【解答】解：当x＝﹣4时，，
故答案为：．
【点评】考查了代数式求值，本题直接代入即可，注意原式中的运算顺序不变．
12．（4分）有一组数据：1，2，2，4，4，5，这组数据的方差是 2 ．
【分析】结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可．
【解答】解：平均数为：（1+2+2+4+4+5）÷6＝3，
S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．
13．（4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的判别式的值为 1 ．
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝，b＝﹣2，c＝3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4××3＝4﹣3＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式Δ＝b2﹣4ac．
14．（4分）若x，y满足条件：y≤++，化简代数式+3＝ 5 ．
【分析】根据非负数的性质可得出x＝2，再求得y的取值范围，代入化简即可．
【解答】解：∵2﹣x≥0，x﹣2≥0，
∴x＝2，
∴y≤，
∴原式＝+3
＝﹣1+6
＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及二次根是有意义的条件，被开方数大于等于0．
15．（4分）在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程2x（x﹣3）＝（x+2）（x+4）﹣28其中一个解，那么这个直角三角形的面积是 24或6 ．
【分析】求出已知方程的解得到最长边或最短边，即可确定出三角形的面积．
【解答】解：方程2x（x﹣3）＝（x+2）（x+4）﹣28，
整理得：x2﹣12x+20＝0，即（x﹣2）（x﹣10）＝0，
解得：x＝2或x＝10，
当x＝2时，直角三角形最短边为2，此时直角三角形面积为×6×2＝6；
当x＝10时，直角三角形最长边为10，根据勾股定理得：另一直角边为＝8，此时直角三角形面积为×6×8＝24，
综上，这个直角三角形面积为24或6．
故答案为：24或6．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（4分）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根x1、x2，若[2+x1（1+x1）] [3﹣2x2（1+x2）]＝3，则k的值为 1 ．
【分析】先根据判别式的意义得到k≥﹣，再根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣k，把两根之和变形得x1+1＝﹣x2，x2+1＝﹣x1，然后利用整体代入把[2+x1（1+x1）] [3﹣2x2（1+x2）]＝3变形为（2﹣x1 x2）（3+2x1 x2）＝3，再两根之积代入得（2+k）（3﹣2k）＝3，解此得k1＝﹣，k2＝1，最后根据k的范围确定k的值．
【解答】解：根据题意得Δ＝1﹣4 （﹣k）≥0，解得k≥﹣，
x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣k，
∴x1+1＝﹣x2，x2+1＝﹣x1，
∵[2+x1（1+x1）] [3﹣2x2（1+x2）]＝3，
∴（2﹣x1 x2）（3+2x1 x2）＝3，
∴（2+k）（3﹣2k）＝3，
整理得2k2+k﹣3＝0，解得k1＝﹣，k2＝1，
而k≥﹣，
∴k的值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
三、解答题（共7个大题，共66分）
17．（6分）有一组数据：3，x2+1，5，2x﹣3，4，它们的平均数是4，求x的值．
【分析】由平均数的定义可得x的方程，解方程可得．
【解答】解：由题意可得3+x2+1+5+2x﹣3+4＝4×5，
整理，得x2+2x﹣10＝0，
解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
即所求x的值为﹣1+或﹣1﹣．
【点评】本题考查平均数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．本题是基础题．
18．（8分）按要求解答下列各小题
（1）化简 +﹣×；
（2）已知：a＝﹣2，b＝+2，求代数式a2+ab+b2的值．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先计算出a+b＝2，ab＝﹣1，再把原式变形为（a+b）2﹣ab，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）原式＝2++1﹣
＝2++1﹣
＝2+1；
（2）∵a＝﹣2，b＝+2，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴原式＝（a+b）2﹣ab
＝（2）2﹣（﹣1）
＝13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
19．（8分）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长米，坡度i＝3：2．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
【分析】（1）根据勾股定理和坡度公式可求得BE的长．
（2）当坡角是45°时，作FH⊥AD于点H，连接AF，在直角△AFH中，求得AH的长，则HE即可求得．
【解答】解：（1）∵坡度i＝3：2，
∴设BE＝3x，则AE＝2x，
则AB2＝13x2＝（）2
解得：x＝，
则AE＝2，BE＝3；
（2）作FH⊥AD于点H，连接AF．
则FH＝BE＝3，
当∠FAH＝45°时，AH＝FH＝3，
则HE＝AH﹣AE＝3﹣2＝．
【点评】本题考查了坡度、坡角的定义，以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．
20．（10分）关于x的方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0（k为常数）
（1）该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由，如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值；
（2）求k＝1时方程的解；
（3）求出一个k（k≠1）的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的其中一个解相同．（本小题只需要求一个k的值就可以了）
【分析】（1）不一定，当k2+2k﹣2＝0时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；
（2）把k＝1代入方程计算即可；
（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．
【解答】解：（1）不一定是．
当k2+2k﹣2＝0时该方程为一元一次方程，
解得，
答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为；
（2）k＝1代入得：x2+2x﹣3＝0
解得x1＝1，x2＝﹣3；
（3）x＝1代入得k＝﹣4，
或x＝﹣3代入得，
答：k的值为﹣4或．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义、以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．
21．（10分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如图所示，每得一票记作1分．
（1）请算出三人的民主评议得分；
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用；（精确到0.01）
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据即可求得甲、乙、丙的民主评议得分；
（2）根据平均数的概念求得甲、乙、丙的平均成绩，进行比较；
（3）根据加权成绩分别计算三人的个人成绩，进行比较．
【解答】解：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：
200×25%＝50分，200×40%＝80分，200×35%＝70分；
（2）甲的平均成绩为：，
乙的平均成绩为：，
丙的平均成绩为：．
由于76.67＞76＞72.67，所以候选人乙将被录用；
（3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么
甲的个人成绩为：，
乙的个人成绩为：，
丙的个人成绩为：．
由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用．
【点评】本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式是解题的关键．
22．（12分）目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块个长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）．
（1）用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积；
（2）若a，b满足代数式＝×﹣，求a：b；
（3）若已知a：b值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？
【分析】（1）用人行横道的长乘以宽后相加减去重合部分的面积即可；
（2）对等式两边的各项分母有理化后利用等式的性质化简即可确定比值；
（3）根据求得的比，设出矩形的长和宽，然后利用面积为2204即可求得原矩形的长和宽．
【解答】解：（1）∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米，
∴人行横道的面积为：2a+2b﹣4；
（2）等式两边同时分母有理化得：＝×﹣，
整理得：2＝×，
∴a：b＝3：2；
（3）∵a：b＝3：2，
∴设a＝3x，则b＝2x，
根据题意得：（3x﹣2）（2x﹣2）＝2204
解答：x＝20或x＝﹣（舍去）
∴3x＝60，2x＝40，
答：原长方形的长与宽各为60米和40米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用的知识，正确的解答第二题是解决本题的关键．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．
（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．
（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．
（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）PC的长度分两种情况讨论：0≤t≤4，t＞4；AQ的长度分两种情况讨论：0≤t≤2，t＞2；
（2）分两种情况讨论：①2＜t≤4，②t＞4；根据△APQ面积为3cm2，列出方程即可求解；
（3）①过P点作PD⊥AB于D，根据勾股定理可求AB的长，再根据角平分线的性质可知PC＝PD，在Rt△PBD中，可求BP的长，可求t的一个解；
②根据一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，可求t的另外一个解．
【解答】解：（1）PC＝，
AQ＝；
（2）①当2＜t≤4时，（8﹣2t）（t﹣2）＝3，化简为t2﹣6t+11＝0，Δ＝36﹣44＝﹣8＜0，故方程无解；
②当t＞4时，（2t﹣8）（t﹣2）＝3，化简为t2﹣6t+5＝0，解得t1＝1（不合题意舍去），t2＝5．
故使△APQ面积为3cm2时相应的t的值为5．
（3）①过P点作PD⊥AB于D．
在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∵AP平分∠BAC，
∴PC＝PD，AC＝AD，
∴BD＝10﹣6＝4，
在Rt△PBD中，BP2＝42+（8﹣BP）2，解得BP＝5，
则t＝5÷2＝2.5s，
②∵一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，
∴3：6＝6：（2t﹣8），
解得t＝10．
故使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角时t的值为2.5或10．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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