剑阁县中2022-2023学年高二下学期第一次质量检测
数学理科
时间120分钟 满分: 150分
一 单项选择题（每题5分，12道小题，共计60分）为坐标原点,为的焦点, 若, 则直线斜率的绝对值为（ ）
1. 已知 是的分位数, 在, 11 中随机取两个数, 这两个数都小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 为抛物线上在第一象限内的一个动点,
A. B. C. D.
3. 已知向量 , 则实数（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.或 1
4. 已知圆 , 过点作圆的切线, 则的方程为 ( )
A. B.
C.或 D.或
5.在 中, 若, 则形状为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6. 如图所示, 在正方体 的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等, 则动点所在曲线的形状为 ( )
A. B.
C. D.
7.某家族有 两种遗传性状, 该家族某成员出现性状的概率为, 出现性状的概率为两种性状都不出现的概率为, 则该成员两种性状都出现的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 , 则（ ）
A. B. C. D.
9.已知数列 满足, 若存在实数, 使单调递增, 则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.已知两点 在双曲线的右支上, 点与点关于原点对称,交轴于点, 若, 则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.已知 成等比数列, 且. 若, 则（ ）
A. B.
C. D.
12直角 中,是斜边上的一动点, 沿将翻折到, 使二面角为直二面角, 当线段的长度最小时, 四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题 （每题5分，共4道小题，共计20分）
13. 若 的展开式中的系数与的系数相等, 则___________.
14. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案 彝族漆器图案 彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若, 则的值为____________.
15. 在平面直角坐标系 中,为两个定点, 动点在直线上, 动点满足, 则的最小值为___________.
16. 在三棱锥 中, 已知, 则三棱锥体积的最大值是___________.
三 解答题（6道小题，共计70，写出必要的计算过程，演算步骤和文字说明）
17. 解答题（10分）在 中, 边所在的直线方程为, 其中顶点的纵坐标为 1 , 顶点的坐标为.
(1) 求 边上的高所在的直线方程;
(2) 若 的中点分别为, 求直线的方程.
18. 解答题（12分）如图, 渔船甲位于岛屿 的南偏西方向的处, 且与岛屿相距mile, 渔船乙以mile/h 的速度从岛屿出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙, 刚好用追上.
（1）求渔船甲的速度; （2）求 .
19. 解答题（12分）如图, 在四棱锥 中, 点都在以为直径的圆上,平面为的中点.
（1）证明: 平面;
（2）若 是正三角形,, 求平面与平面夹角的余弦值.
20. 解答题（12分）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为 , 射进小门的概率依次为, 假设各次进球与否互不影响.
（1）求这 3 人中至少有 2 人射进大门的概率;
（2）记这 3 人中得到“拉伊卜”的人数为 , 求的分布列及期望.
21. 解答题（12分）已知数列 满足是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列.
（1）求 的通项公式; （2）求数列 的前项和.
22. 解答题（12分）已知圆 , 过点的直线与圆交于两点, 过点作的平行线交直线于点.
（1）求点 的轨迹的方程;
（2）若直线 (不与轴垂直) 与轨迹交于另一点关于轴的对称点为, 求证: 直线过定点.
参考答案及解析
1. 【答案】C 【解析】因为 ，所以，
8 个数中有 6 个数小于 9 ，所以随机取两个数，
这两个数都小于 的概率为.故选: C
2. 【答案】B 【解析】设 ，则，解得或，
所以 或，
又 ， 所以 或，
所以 ，
故选: B.
3. 【答案】D 【解析】由已知向量 ,
可得 ,,
由 可得, 即, 解得,
故选: D.
4. 【答案】C 【解析】将圆 化为标准方程， 则圆心，
当切线的斜率不存在时，切线的方程为，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，
即 ，由题意知，. 解得，
此时切线的方程为.
综上，切线的方程为或.
故选: C.
5. 【答案】C 【解析】因为 , 所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ，可得或，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为等边三角形. 故选: C.
6. 【答案】C 【解析】因为 平面平面, 所以，
所以点 到定点的距离等于点到直线的距离,
所以点 到定点的距离等于点到直线的距离，
所以点 所在曲线的形状为以为焦点,为准线且过点的抛物线在侧面的部分.故选:C.
7. 【答案】B
【解析】设该家族某成员出现 性状为事件, 出现性状为事件, 则两种性状都不出现为事件, 两种性状都出现为事件,
所以, ,
所以, ,
又因为 ,
所以, , 故选: B.
8. 【答案】A 【解析】.故选: A.
9. 【答案】A 【解析】由 单调递增, 可得,
由 , 可得, 所以
时, 可得①
时, 可得, 即②
若 , ②式不成立, 不合题意;
若 , ②式等价为, 与①式矛盾, 不合题意. 排除 B,C,D, 故选 A.
10. 【答案】C
【解析】如图, 不妨设 在第一象限, 设为的中点,
因为 为的中点, 故,
设 ，
在双曲线上, 则, 两式相减可得,
即 , 而, 故, 即；
又因为 , 则, 故, 即, 即, 即，
所以 ， 又, 则,
即,
故 , 所以, 而, 故, 故,
则双曲线 的离心率为,
根据双曲线的对称性可知, 当 在第四象限时, 同理可求得,
当 在双曲线的顶点时, 由于, 此时与双曲线相切, 不合题意,
故双曲线 的离心率为
故选: C
11. 【答案】B
【解析】令 , 则, 令, 得,
所以当 时,, 当时,, 因此,
若公比 , 则, 不合题意;
若公比 , 则,
但 ,
即 ， 不合题意;
因此 ,, 选 B.
12. 【答案】B
【解析】【分析】作 , 设, 则有, 从而求解即可.
作 ,
设 .
在 Rt 中,, 在 Rt中,,
，
当 时最小，
设 的外接圆半径分别为，
，
，,，
，
.
故选:B．
13. 【答案】或 0
【解析】的展开式通项为，
的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
展开式中的系数与的系数相等，
,即 ，解得 或，故答案为: 或 0 .
14. 【答案】
【解析】根据图 2 可知，动点 将圆周九等分，所以， 所以；
则
将 代入可得,
即 . 故答案为:
15. 【答案】5
【解析】设点 , 由得:,
即 , 即,
在以为直径的圆上, 不妨设,
则 ,
,
, 其中为辅助角,
令 , 则，
,
令 ,
在上单调递增,
故当 时,取得最小值,
再令 ,
显然 在上单调递增,
故 时,取得最小值,
综上, 当 时,取得最小值 25 .
故 的最小值为 5 , 故答案为：5．
16. 【答案】
【解析】过 作与垂直的平面, 交于, 过作的垂线, 垂足为, 如图所示:
, 则三棱雉的体积为
,
故 取最大值时, 三棱雉的体积也取最大值.
由 ,
可得 都在以为焦点的椭圆上,
因为平面 与线垂直,
所以三角形 与三角形全等, 即三角形为等腰三角形,
又 为定值, 所以取最大值时, 三棱锥的体积也取最大值.
在 中, 动点到两点的距离和为 10 ,
在以为焦点的椭圆上 (长轴、焦距分别为),
此时 ,
故 的最大值为,
此时 ,
故三棱锥 的体积的最大值是.
故答案为: .
17. 【答案】（1）边上的方程为:，（2）直线 的方程为:.
【解析】（1）边上的高过,
因为 边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直,
故其斜率为 3 , 方程为: ，
（2）由题 点坐标为, 所以的中点，
是的一条中位线, 所以,
直线 所在的直线为, 其斜率为:, 所以的斜率为，
所以直线 的方程为:化简可得:.
18. 【答案】（1）渔船甲的速度为 . （2）.
【解析】（1）依题意, 知 .
在 中, 由余弦定理,
得 ,
解得 , 甲船的速度为,
所以渔船甲的速度为 .
（2）在 中,，
由正弦定理, 得 , 即.
19. 【解析】（1）因为 平面平面,
所以 , 因为点在以为直径的圆上, 所以,
又因为 平面,所以 平面；
（2）由于 是正三角形,为圆的直径, 则,
以 为坐标原点,所在直线为轴、轴, 以过且平行于的直线为轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 , 故, 故,
由中点坐标公式可得 ，所以 ,
设平面 的法向量为,
则 , 令, 可得,
由 (1) 知 为平面的一个法向量,
设平面 与平面的夹角为,则 .
20. 【答案】(1) 3 人中至少有 2 人射进大门的概率为：;
（2）的分布列如下:
.
【解析】 (1) 设三人中射进大门的人数为 , 则,
;
（2）甲获得“拉伊卜”的概率 ,
乙、丙获得“拉伊卜”的概率
,
,
,
,
的分布列如下:
.
21. 【答案】（1）;（2）.
【解析】1）由题意得 ,
法一: 因为 , 即,
所以 是常数列,
所以 , 故.
法二: 当 时,,
等式两边分别相加, 得 ,
所以 ,
当 时, 也符合上式, 故;
（2）因为
所以 .
22. 【答案】
（1）点 的轨迹的方程为；
（2）直线 恒过定点，证明见详解.
【解析】（1）如图, .
，,,,
即 , 当互换位置时,,
当直线 与轴重合时无法作出, 故不在轴上，
点在以为焦点的双曲线上, 且,
故点 的轨迹的方程为；
（2）假设直线 的斜率不存在, 则不难发现点与重合, 不符合题意,
设 的方程为, 则,
将 的方程代入曲线, 整理得, 当时,
不满足直线 与曲线有两个交点, 舍去.
,
,,
直线过,
, 即,
, 整理得,
代入韦达定理得 , 整理得,
此时 , 解得,
直线 的方程为, 故直线恒过定点.
