2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点是（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（ ）
A．－100 B．100 C．－2 D．2
8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，．若，则实数（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
11．已知a，，且．当ab取最大值时，（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
13．四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行 B．与直线AD相交
C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线
14．在中，，，，则（ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
15．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ）
A．2 B． C． D．3
17．已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数，则的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
20．某校学生的体育与健康学科学年成绩s由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a，体质健康测试分数b和课堂表现分数c，计算方式为．学年成绩s不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：
a b c
甲 85 85 90
乙 90 85 80
丙 85 80 85
丁 85 80 90
则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁
第二部分（非选择题 共40分）
二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。
21．已知复数，，则______．
22．在中，，，则______．
23．某校初一年级共有三个班，为了解课外阅读情况，随机抽取部分学生调查他们一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据得到下表：
1班 8 9 10 11 11 15
2班 7 7 8 9 9 11 12
3班 5 7 9 9 9 10 14
①设样本中1班数据的均值为，2班数据的均值为，则______（填“＞”或“＜”）；
②设样本中2班数据的方差为，3班数据的方差为，则______（填“＞”或“＜”）．
24．如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：
①，；
②，；
③，与不垂直．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共4小题，共28分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
25．（本小题7分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值，并写出相应的一个x的值．
26．（本小题7分）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图象如图所示．
（1）求的值；
（2）补全的图象，并写出不等式的解集．
27．（本小题7分）阅读下面题目及其解答过程．
如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．
在中，E，F分别为，的中点，
所以，．
由题意知，四边形为 ① ．
因为D为BC的中点，所以，．
所以，．
所以四边形DCFE为平行四边形，
所以．
又 ② ，平面，
所以，平面．
（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．
又平面ABC，所以 ③ ．
因为，且，所以 ④ ．
又平面，所以．
因为 ⑤ ，所以．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．
空格序号 选项
① A．矩形 B．梯形
② A．平面 B．平面
③ A． B．
④ A．平面 B．平面
⑤ A． B．
28．（本小题7分）给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
（I1）当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）
（2）当时，写出一个具有性质P的集合A；
（3）当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷参考答案
一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）
1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A 9．C 10．C
11．C 12．B 13．D 14．D 15．A 16．B 17．A 18．A 19．D 20．D
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21． 22．4 23．＞ ＜ 24．①②③
三、解答题（共4小题，共28分）
25．（共7分）解：（1）的最小正周期．
（2）因为，所以，且．
所以的最大值为2，相应的一个x的值为．
26．（共7分）解：（1）由图可知，．
因为是偶函数，所以．
（2）的图象如图．不等式的解集为．
27．（共7分）解：（1）①A ②A （2）③B ④A ⑤B
28．（共7分）解：（1）A不具有性质P．
（2）．（答案不唯一）
（3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，
即任取A中两个不同元素，，
有，①
，，，中有且只有一个为2．②
设；则．
当时，由①得，不满足②，矛盾．
当时，由①得．
由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．
当时，由①得，不满足②，矛盾．
当或时，矛盾．
所以假设不成立，即A不具有性质P．
