曲靖市第二中学2022-2023学年高二上学期期末考试
数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；
则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）
A．甲、丙 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙
5．函数 的部分图象大致是（ ）
A.B.C. D.
6．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则( )
A． B．a=e，b=1 C． D．，
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个
选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．平面平面
C．与BN所成角
D．平面ADM
10.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）
A．两件都是一等品的概率是； B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是； D．两件中至少有1件是一等品的概率是
11. 给出下列四个选项，正确的有（ ）
A．当为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在轴上的抛物线的标准方程是；
B．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是；
C．抛物线的准线方程为；
D．已知双曲线 ，其离心率，则的取值范围是.
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角垛）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
已知函数，则________．
若数列、都等差数列，且有，则 ．
15. 棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ．
16. 中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.
17． 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求的值.
18．若数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前项和为，求证：.
19．曲靖二中团委组织了“文明礼仪，爱我校园”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．
（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；
（2）求这次考试平均分的估计值；
（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
20．如图，三棱柱中，侧面是菱形，，，点在平面上的投影为棱的中点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留1位小数，，)
22．已知点与点的距离比它到直线的距离小2．
（1）求点的轨迹方程；
（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．曲靖市第二中学2021级高二上学期期末考试
数学试卷答案（高翔）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B，再利用交集的定义求出.
【详解】，，则，故选D.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.
2．复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A. D. C. B.
【答案】B
【解析】，故复数的虚部为2
3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．【答案】D
【解析】设直角三角形三边分别为，，，可知，解得，
故直角三角形三边分别为，，，故，，
．
4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；
②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；
则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）
A．甲、丙 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙
4．【答案】A
【解析】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，
所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，
故甲同学数学成绩优秀，故①成立；
在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，
可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，
故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；
在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，
设，
则，
∴，
∴，
∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，
∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．
5．函数 的部分图象大致是（ B ）
A.B.C. D.
6．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．【答案】C
【解析】在中，由正弦定理及，
得，∴，
又，∴，
由正弦定理及，得，
∴由余弦定理得，即，∴．
7．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则( D )
A． B．a=e，b=1 C． D．，
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．【答案】C
【解析】假设点位于轴的上方，由可得，
所以，，
所以，所以，即，
所以，解得，
因为，则，故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个
选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．A、M、N、B四点共面 B．平面平面
C．与BN所成角 D．平面ADM
【答案】BC
对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故四点不共面，故A错误；
对于B，由题意平面，平面，故平面平面，故B正确；
对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知为等边三角形，且四边形为矩形，所以与BN所成角，故C正确；
对于D，平面，显然BN与平面ADM不平行，故D错误；
故选：BC．
10.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）
A．两件都是一等品的概率是；B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是；D．两件中至少有1件是一等品的概率是
【答案】BD
由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，
从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；
对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于B，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于C，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.
故选：BD.
11. 给出下列四个选项，正确的有：
A．当为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在轴上的抛物线的标准方程是；
B．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是；
C．抛物线的准线方程为；
D．已知双曲线 ，其离心率，则的取值范围是.
11.【答案】ABCD．
【解析】
【分析】A先由直线方程求出点P坐标，进而可得出所求抛物线方程；即可判断①的真假；
B根据双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程得到的值，进而可得出所求双曲线方程；判断出②的真假；C.由抛物线方程直接得到准线方程，从而可得C的真假；D根据双曲线方程与离心率范围，求出的取值范围，即可判断出D的真假.
【详解】对于A.因为直线可化为，由得，即，设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，由抛物线过点，可得，所以，故所求抛物线的方程为；故A正确；
对于B.因为双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，所以，又，所以，故所求双曲线的方程为；故B正确；
C.抛物线的标准方程为，所以其准线方程为；故C正确；
D.因为为双曲线，所以，又离心率为，
所以，解得，故D正确.
故答案为ABCD
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的综合，熟记圆锥曲线的方程与简单性质即可，属于常考题型.
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角垛）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．BCD
【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
二、填空题
已知函数，则________．
13．【答案】
【解析】．
14.若数列、都等差数列，且有，则
解：设等差数列、的前项和分别为
由
15.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ;
15、答案
16. 中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率
考点：椭圆离心率
三、解答题
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求的值.
解：（1）
故最小正周期为.........................................5分
（2），可求得
由三角形面积公式，且，可得
由余弦定理，可得............10分
18. 若数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，
∴．........................6分
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，
∴.....................12分
19. 曲靖二中团委组织了“文明礼仪，爱我校园”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．
（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；
（2）求这次考试平均分的估计值；
（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义可得第四小组的频率：；（2）根据频率分布直方图的意义可得这次考试平均分的估计值为：；（3）成绩在和的人数分别为，将成绩在的人分别记为，成绩在的人分别记为，从成绩在和的学生中任选两人的结果共种，成绩在同一分组区间的结果共种，
利用古典概率计算公式即可得出所求概率．
试题解析：（1）由题意得成绩在的频率为，
频率分布直方图如图所示；........................4分
（2）由题意可得这次考试平均分的估计值为：
；.....8分
由题意可得，成绩在的人数为，
记他们分别是，成绩在的人数为，
记他们分别是，则从成绩在和的学生中任选两人的结果分别是，共15种，他们的成绩在同一分组区间的结果是，共6种．
所以他们的成绩在同一分组区间的概率为．........................12分
20. 如图，三棱柱中，侧面是菱形，，，点在平面上的投影为棱的中点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为平面，所以，
又因为，，，所以，
因此，所以，
因此平面，所以，
从而，即四边形为矩形． ......6分
（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
所以，，，．
平面的法向量，设平面的法向量为，
由，由，
令，，即，
所以，
所以二面角的余弦值是． ......12分
21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留1位小数，，)
【答案】（1）到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化；（2）万立方米．
【解析】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，
由题意知数列是等差数列，且首项，公差．
设第n年后可以使绿化任务完成，则有，解得．
所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化．........................6分
（2）因为年造林数量为，
设到年年底木材总量为万立方米，
由题意得
．
令①，
两边同乘以，得②．
②①，得
．
所以，所以．
故到年年底共有木材万立方米．........................12分
22.已知点与点的距离比它到直线的距离小2．
（1）求点的轨迹方程；
（2）是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
【答案】（1）
（2）直线过定点.
【答案】（1）
（2）直线过定点.
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解；
（2）法一：设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解；法二：设出定点坐标为，根据、、三点共线，结合向量共线定理，即可求解.
【小问1详解】
（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，
即动点到的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，
则点的轨迹方程为；........................5分
【小问2详解】
（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，
设直线的方程为，，
联立方程，消去，可得，即，
，，
由题意知，即，则，
故， ，，直线的方程为，
故直线过定点，且定点坐标为；........................12分
法二：假设存在定点，设定点，
， ， 故，
在抛物线上，即代入上式，可得，
故，三点共线， ，，
假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．........................12分
【点睛】本题考查了根据定义求抛物线轨迹，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线垂直转化为向量垂直计算是解题的关键.
