6.2.1 向量的加法运算
例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量．
例2 长江两岸之间没有大桥地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
练习
1. 如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
2. 当向量满足什么条件时，（或）？
3. 根据图示填空：
（1）_______；
（2）_______；
（3）_______；
（4）________．
4. 如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）
（1）．（ ）
（2）．（ ）
（3）．（ ）
5. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．
变式练习题
6. 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）；
（2）
（3）．
7. 在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？
8. 请用平行四边形法则作出．
9. 已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
10. 如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
6.2.1 向量的加法运算 答案
例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量．
作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，.则．
作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，.以，邻边作，连接，则．
例2 长江两岸之间没有大桥地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
解：（1）如图6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度.
（2）在中，，，于是
.
因为，所以利用计算工具可得.
因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°.
练习
1. 如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
将的起点移到的终点或将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.
【详解】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.
如图所示，．
（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
2. 当向量满足什么条件时，（或）？
【答案】反向
【解析】
【分析】
当反向时，对与的大小进行讨论.
【详解】当反向且时，；
当反向且时，，
所以，当反向时，（或）．
【点睛】本题考查向量共线时的方向、模的大小关系，求解时注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若要取等号则需共线.
3. 根据图示填空：
（1）_______；
（2）_______；
（3）_______；
（4）________．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】
在图形中寻找三角形回路，两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接.
【详解】因为两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接，
所以；；；．
故答案为：；；；.
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.
4. 如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）
（1）．（ ）
（2）．（ ）
（3）．（ ）
【答案】 ①. × ②. √ ③. ×
【解析】
【分析】
（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；
【详解】对（1），因为，故（1）错误；
对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；
对（3），，故（3）错误.
故答案为：(1) ×；(2) √；(3) ×
【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.
5. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．
【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．
【解析】
【分析】
作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度.
【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．
设E为渡口A在对岸对应的点，则，．
在中，∵，∴．
∴E与D重合，．
∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．
【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小.
变式练习题
6. 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）；
（2）
（3）．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒
【小问1详解】
因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．
【小问2详解】
因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．
【小问3详解】
因为与是一对相反向量，所以．
7. 在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？
【答案】渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.
【解析】
【分析】
画图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.由向量加法的平行四边形法则，可知四边形为平行四边形，在中，求解，即可.
【详解】如图，
设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.
因为，所以四边形为平行四边形.
在中，，
，，
所以，
即渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量的模，属于中档题.
8. 请用平行四边形法则作出．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】三个向量用平行四边形法则求和，则先求和其中两个，再用和向量与第三个向量求和﹒
【详解】解：在平面内任取一点，作．
如图，以为邻边作□．再以为邻边作□，则．
9. 已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.
【详解】①;
②;
③;
④.
故答案为：①④.
10. 如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据向量运算得到，，，相加得到证明.
【详解】如图，连接DE， EF， FD,
因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，将①②③式相加，
.
