专题 圆周运动的临界问题 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·高一校考期末）如图所示，在水平转台上放一个质量M=2.0kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm=6.0N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O（为光滑的）悬吊一质量m=1.0kg的小球，当转台以ω=5.0rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是（ ）
A．4cm B．8cm C．30cm D．34cm
【答案】BC
【详解】木块在水平面内转动时，平台对木块的支持力与Mg相平衡，拉力与平台对木块的静摩擦力的合力提供向心力，设木块到转台中心的距离为R，木块以角速度转动所需向心力为M2R，若M2RTmg
此时平台对木块的摩擦力为零。
若R1R，则有M2R1mg
平台对木块的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律fmgM2R1
当f为最大值fm时，R1最大。所以，木块到转台的最大距离为
若R2
故木块至O的距离R的范围为0．08mR0.32m。故AD错误，BC正确。故选BC。
2．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）如图所示，用细线悬吊着一个质量为的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为，线长为，下列说法中正确的是（ ）
A．小球受重力、拉力、向心力 B．小球受重力、拉力
C．小球的向心力大小为 D．小球的向心力大小为
【答案】BC
【详解】AB．对小球进行受力分析可知，小球受重力和拉力的作用，二者的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，故A错误，B正确；
C．合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则有
因此向心力大小为
故C正确，D错误。故选BC。
3．（2022·辽宁沈阳·高一期中）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B．如图b，一圆锥摆，若保持圆锥的高不变，增大，则圆锥摆的角速度也跟着增大
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则小球在A位置处所受筒壁的支持力大于B位置处的支持力
D．如图d，火车转弯若超过规定速度行驶时，外轨对火车轮缘会有挤压作用
【答案】D
【详解】A．如图a，汽车通过拱形桥的最高点时，加速度竖直向下，则处于失重状态，故A错误；
B．如图b，是一圆锥摆，则由牛顿第二定律
解得
则增大，保持圆锥的高不变，圆锥摆的角速度不变，故B错误；
C．如图c，根据受力分析知两球受力情况相同，若设侧壁与竖直方向的夹角为θ，则支持力
FN=mgsinθ
小球在A、B位置所受支持力大小相同，故C错误；
D．如图d，火车按规定速度拐弯时，弹力与重力的合力提供向心力，超过规定速度所需向心力增大，弹力与重力的合力不足提供向心力，需要向外挤压外轨产生弹力，外轨对火车轮缘会有挤压作用，故D正确。故选D。
4．（2020·湖南师大附中高一期末）如图，完全相同的可视为质点的甲、乙两个金属小球，在置于水平地面的内壁光滑的碗形容器内，先后沿着不同半径在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．甲运动时所需向心力大，甲运动时碗对地面的压力会大于乙运动时碗对地面的压力
B．甲运动时所需向心力大，两种情况下碗对地面的压力一样大
C．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，甲运动时碗对地面的压力小于乙运动时碗对地面的压力
D．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，两种情况下碗对地面的压力一样大
【答案】B
【详解】
金属小球受重力和支持力作用，两者的合力提供向心力，由几何关系可知，向心力为
由图可知
所以甲运动时所需向心力大，碗对球的支持力为
其竖直分力为
所以两种情况下碗对地面的压力一样大，都是碗的重力加小球的重力，故ACD错误，B正确。
故选B。
5．（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F-v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0，-b），斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为
B．小球运动的轨迹半径为
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合力为零
D．当v2=c时，小球的向心加速度为g
【答案】AB
【详解】AB．小球在最高点时受到的拉力为F，有
解得
结合题图乙可知
即
斜率为
解得
故AB正确；
C．图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合力等于重力时的情况，故C错误；
D．根据向心加速度公式可知，当时
故D错误。故选AB。
6．（2023·高一课时练习）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BD
【详解】AB．小球在最高点时，由于管道内侧能提供支持力，其通过的速度可以为零，A错误，B正确；
CD．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力与小球的重力在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，即
因此，外侧管壁对球一定有作用力，此时内侧管壁对球一定无作用力，C错误，D正确。故选BD。
7．（2021·安徽·合肥市第八中学高二阶段练习）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一质量m=1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。若转动过程中小物体始终存在离心的趋势，则该物块转至圆心等高处A点时所受摩擦力大小可能为（ ）
A．2.5N B．6.5N C．10.5N D．14.5N
【答案】C
【详解】
题中情境存在2个临界，在最高点时
在最低点时
所以，在A点时
代入数据可得
而A点处
又
所以
故ABD错误，C正确。
故选C。
二、多选题
8．（2021·吉林·长春市第二十中学高三阶段练习）如图所示，小球紧贴竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】AC
【详解】
AB．因为管道的下表面可以对小球存在力的作用，所以小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A正确，B错误；
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 FN 与球重力mg在背离圆心方向的分力的合力提供向心力，因此外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，故C正确；
D．小球在水平线ab以上管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故D错误。
故选AC。
9．（2021·湖南·高三阶段练习）如图所示，将一质量为m的摆球（视为质点）用长为L的细绳吊起，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。若该圆锥摆摆动时摆绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（ ）
A．摆球受到细绳的拉力大小为
B．摆球运动时线速度大小为
C．摆球运动时周期为
D．摆球运动时加速度大小为
【答案】BC
【详解】
A．摆球受重力和绳子拉力两个力作用，重力和绳子拉力的合力提供向心力有
联立可得
A错误；
BCD．由向心力公式
由几何关系得
联立可得
D错误，BC正确。
故选BC。
10．（2021·黑龙江·延寿县第二中学高三期中）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为T=3μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】ABC
【详解】
A．两物体角速度相同，所以B所受向心力比A大，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B有背离圆心的离心趋势，A有指向圆心的近心趋势。设此时绳子的张力大小为T，对A、B分别应用牛顿第二定律有
两式联立解得T=3μmg
故A正确；
B．由上面分析可知
解得此时圆盘的角速度为
故B正确；
C．此时A有指向圆心的近心趋势，所受摩擦力方向沿半径指向圆外，故C正确；
D．A、B以角速度做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为
若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，故D错误。
故选ABC。
三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示，求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【答案】（1）rad/s；（2）2rad/s
【详解】
（1）若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线拉力，根据牛顿第二定律有
mgtanθ=mωlsinθ
解得 ω=
代入数据得ω0=rad/s
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律有mgtanα=mω′2lsinα
解得 ω′2＝
代入数据得ω′=2rad/s
12．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高点时，杆对球的拉力大小等于球的重力。重力加速度为g，求：
（1）小球在最高点的速度大小；
（2）当小球经过最低点时速度为，求杆对球作用力大小和向心加速度大小。
【答案】（1）；（2）7mg，6g
【详解】
（1）小球在最高点时，受重力mg和杆对它向下的拉力F1，合力提供向心力，由牛顿第二定律得
mg＋F1＝
依题意F1＝mg
联立解得
（2）小球在最低点时，受重力mg和杆对它向上的拉力F2，合力提供向心力，由牛顿第二定律得
F2－mg＝
解得F2＝mg＋
将v2＝，代入解得F2＝7mg
而球的向心加速度为
13．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，BC是半径 m且竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在细圆管的末端C连接倾角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面。一质量为m=0.5 kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出后，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5 N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面。(取g=10 m/s2)，不计空气阻力
(1)小球从A点水平抛出的初速度v0为多少；
(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少；
(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少。
【答案】(1)2 m/s (2)5 N (3) m
【详解】
(1)小球从A运动到B为平抛运动，有rsin 45°=v0t
在B点tan 45°=
联立以上两式解得v0=2 m/s
(2)在B点根据平抛运动的速度规律，有vB==2m/s
对小球受力分析，小球在管中受三个力的作用，因为重力与外加的力F平衡，所以小球所受的合力仅为管的外轨对它的压力，即小球在管中做匀速圆周运动，由圆周运动的规律知圆管对小球的作用力为
FN==5 N
根据牛顿第三定律得小球对圆管的压力FN′=FN=5N
(3)小球在CD上滑行到最高点的过程中，根据牛顿第二定律，有mgsin 45°＋μmgcos 45°=ma
解得a=8 m/s2
因为小球在圆管中做匀速圆周运动，所以小球运动到圆管末端C时的速度大小为vC=vB=2 m/s
根据匀变速直线运动的速度与位移的关系公式，有x==m
14．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，两绳系着一个质量为的小球C，上面绳长，两绳都拉直时与轴夹角分别为与。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？（g取）
【答案】
【分析】
当由零逐渐大时可能出现两个临界值；其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC恰好拉直，但不受拉力，设两种情况下的转动角速度分别为和，小球受力情况如图所示。
【详解】
当BC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
解得
当AC恰好拉直，但没有拉力存在时，有
解得
所以要使两绳始终张紧，必须满足的条件是专题 圆周运动的临界问题 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·河北石家庄·高一校考期末）如图所示，在水平转台上放一个质量M=2.0kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm=6.0N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O（为光滑的）悬吊一质量m=1.0kg的小球，当转台以ω=5.0rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是（ ）
A．4cm B．8cm C．30cm D．34cm
2．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）如图所示，用细线悬吊着一个质量为的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为，线长为，下列说法中正确的是（ ）
A．小球受重力、拉力、向心力 B．小球受重力、拉力
C．小球的向心力大小为 D．小球的向心力大小为
3．（2022·辽宁沈阳·高一期中）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B．如图b，一圆锥摆，若保持圆锥的高不变，增大，则圆锥摆的角速度也跟着增大
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则小球在A位置处所受筒壁的支持力大于B位置处的支持力
D．如图d，火车转弯若超过规定速度行驶时，外轨对火车轮缘会有挤压作用
4．（2020·湖南师大附中高一期末）如图，完全相同的可视为质点的甲、乙两个金属小球，在置于水平地面的内壁光滑的碗形容器内，先后沿着不同半径在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．甲运动时所需向心力大，甲运动时碗对地面的压力会大于乙运动时碗对地面的压力
B．甲运动时所需向心力大，两种情况下碗对地面的压力一样大
C．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，甲运动时碗对地面的压力小于乙运动时碗对地面的压力
D．两种情况下甲、乙所需向心力一样大，两种情况下碗对地面的压力一样大
5．（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F-v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0，-b），斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为
B．小球运动的轨迹半径为
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合力为零
D．当v2=c时，小球的向心加速度为g
6．（2023·高一课时练习）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
7．（2021·安徽·合肥市第八中学高二阶段练习）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一质量m=1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。若转动过程中小物体始终存在离心的趋势，则该物块转至圆心等高处A点时所受摩擦力大小可能为（ ）
A．2.5N B．6.5N C．10.5N D．14.5N
二、多选题
8．（2021·吉林·长春市第二十中学高三阶段练习）如图所示，小球紧贴竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
9．（2021·湖南·高三阶段练习）如图所示，将一质量为m的摆球（视为质点）用长为L的细绳吊起，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。若该圆锥摆摆动时摆绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（ ）
A．摆球受到细绳的拉力大小为
B．摆球运动时线速度大小为
C．摆球运动时周期为
D．摆球运动时加速度大小为
10．（2021·黑龙江·延寿县第二中学高三期中）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为T=3μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示，求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
12．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高点时，杆对球的拉力大小等于球的重力。重力加速度为g，求：
（1）小球在最高点的速度大小；
（2）当小球经过最低点时速度为，求杆对球作用力大小和向心加速度大小。
13．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，BC是半径 m且竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在细圆管的末端C连接倾角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面。一质量为m=0.5 kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出后，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5 N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面。(取g=10 m/s2)，不计空气阻力
(1)小球从A点水平抛出的初速度v0为多少；
(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少；
(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少。
14．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，两绳系着一个质量为的小球C，上面绳长，两绳都拉直时与轴夹角分别为与。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？（g取）
