2023年陕西省榆林市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共5小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数为( )
A. B. C. D.
2. 添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是( )
A. B. C. D.
3. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是( )
A. B. C. D.
4. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是( )
A. B. C. D.
5. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
6. 计算：______．
7. 已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： ．
8. 在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．按此比例设计一座高度为米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是______米．结果精确到米
9. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ．
10. 如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11. 本小题分
计算：．
12. 本小题分
化简：．
13. 本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点的顶点，的坐标分别为，．
请在图中建立适当的直角坐标系．
画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标．
14. 本小题分
一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为 ；
甲从中取出两个球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率．
15. 本小题分
某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度如图如图，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处即，从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处即，从处观察点，、、三点也成一线已知、、、、在同一直线上，，，，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
16. 本小题分
如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家如图中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系．
小明家与图书馆的距离为 ，小明骑自行车速度为 ；
求小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式；
当小明离家的距离为时，求的值．
17. 本小题分
为了解学生参加体育锻炼活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育锻炼活动的时间是多少？”共有个选项：小时以上；小时；小时；小时以下．
请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
本次一共调查了多少名学生？
在条形统计图中将选项B的部分补充完整；
若该校有名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育锻炼的时间在小时以下．
18. 本小题分
如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
若点在上，且满足的周长为，则的值为 ；
若点在的平分线上，求此时的值；
运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形．
19. 本小题分
现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．
求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点、处分别安装照明灯．已知点、到的距离均为，求点、的坐标．
20. 本小题分
我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
如图，在“对顶三角形”与中，，则
如图，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的倒数为．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，故选项A、、不符合题意；
：对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B符合题意．
故选：．
由正方形的判定、矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了正方形的判定、矩形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：过作于，如图所示：
则，
四边形是正方形，
正方形的面积，，，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，菱形的面积，
菱形与正方形的面积之比，
故选：．
过作于，求出正方形的面积，再由含角的直角三角形的性质得，，然后求出菱形的面积，即可求解．
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：把代入得，
解得，即点坐标为，
所以二元一次方程组的解为．
故选：．
先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
5.【答案】
【解析】解：抛物线，
对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
当，，时，，
故选：．
首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．
本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．
7.【答案】
【解析】解：由数轴可得，
，，，
原式
．
故答案为：．
先根据数轴上各点的位置确定、、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点，根据数轴上各点的位置对、、的符号作出判断是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设该雕像的下部设计高度是米，
由题意得：
，
，
该雕像的下部设计高度约是米，
故答案为：．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：有一个根是，
，
解得，
故答案为：．
把方程的根代入方程即可求解．
本题考查方程的解的问题，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于，
线段恰好平分矩形的面积，
是矩形的对称中心，
，
作，，
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
同理可得，
，
，
，
由得，
，
∽，
，
，
，
在中由勾股定理得，
，
，
故答案为：，
先判断过矩形的对称中心，作，，证明∽，从而求出，进而求得．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键．
11.【答案】解：原式
．
【解析】根据有理数的除法，二次根式的性质，负整数指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键．
12.【答案】解：
．
【解析】根据分式混合运算的法则计算即可．
本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13.【答案】解：建立直角坐标系如下图所示：
画出关于轴对称的如下图所示：
由图可知点的坐标为．
【解析】选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可；
先找出、、、三点关于轴对称的对称点、、，连接三点画出三角形，并由此得到点的坐标．
本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为，
故答案为：；
列表如下：
阳 过 阳 康
阳 阳过 阳阳 阳康
过 过阳 过阳 过康
阳 阳阳 阳过 阳康
康 康阳 康过 康阳
由表知，共有种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有种结果；
甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率．
直接由概率公式求解即可；
列表得出共有种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的有种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】解：设，由题意可知，
，，
∽，∽，
，，
，
，
，
解得：，
则，即，
解得：，
答：该古建筑的高度为．
【解析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于的方程，即可求出建筑物的高度．
本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由图象可得，
小明家与图书馆的距离为，小明步行的速度为：，
故答案为：，；
小明从图书馆回到家用的时间为：，
，
小明从图书馆返回家的过程中，设与的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
．
解得．
即小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式为；
小明从图书馆返回家的过程中，当时，
，
解得，
即当小明离家的距离为时，的值为．
小明从食堂出来后，设与的函数解析式为，
将代入，得，
解得：
，当时，．
根据图象中的数据，可以直接写出小明家与图书馆的距离，然后根据图象中的数据，即可计算出小明步行的速度；
先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与轴的交点，再设出函数解析式，根据点和图象与轴的交点，即可计算出与的函数解析式；
令中的函数值等于，求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】解：人，
故本次一共调查了名学生；
类人数为：人，
补充统计图如下：
名，
估计全校可能有名学生平均每天参加体育锻炼的时间在小时以下．
【解析】类有人，占即可求得总人数；
减去其它三个部分的人数即可算得类人数，进而在条形统计图中将选项B的部分补充完整；
用样本估算总体即可；
本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决问题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，，，
由勾股定理得，
如图，连接，
的周长为，
，三角形周长公式，
，
，
，
，
在中根据勾股定理得，
，
即，
解得，
故答案为：；
解：如图，过作于，连接，
点在的平分线上，，，，
角平分线的性质，
，
，
，
，
，
；
解：如图所示，当点在上，，
为等腰三角形，
则等腰三角形性质，
解得；
如图所示，
当点在上，，
为等腰三角形，
，
；
如图所示，
当点在上，，
为等腰三角形，过点作于，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
；
如图所示，
当点在上，，为等腰三角形时，过点作于，则为的中点，
线段中点的定义，
，
，
，
，
，
；
综上所述，当为或或或时，为等腰三角形．
根据的周长为，可得，，在中根据勾股定理列出方程可求得的值；
过作于，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出；
分类讨论：当点在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到的值，当点在上，，为等腰三角形时，根据移动的路程易得的值；当点在上，，为等腰三角形时，过点作于，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点在上，，为等腰三角形时，过点作于，则为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
本题考查三角形综合题，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决的关键．
19.【答案】解：由题意抛物线的顶点，
可以假设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
抛物线的解析式为；
令，得，
解得，，
，．
【解析】设抛物线的解析式为，把代入，可得，即可解决问题；
把，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
20.【答案】
【解析】解：由对顶三角形可得，
在中，，
；
故答案为：；
、分别平分和，
，，
又，
，
，
，
，
由图知与为对顶三角形，
，
又比大，
，
联立得，
解得：，
．
由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理可得到，进而得到，由图知与为对顶三角形得出，由题意知比大，联立方程组即可解得答案．
本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
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