2022-2023学年人教五四新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．一个非零数与其倒数之积为1
B．若两个数的积为1，则这两个数互为倒数
C．一个数与其相反数商为﹣1
D．若两个数的商为﹣1，则这两个数互为相反数
2．下列正方体的表面展开图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a2 2a3＝6a6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．（﹣3ab2）3＝﹣27ab6 D．（﹣3）（+3）＝﹣4
4．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（点C与点A不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点，当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．小刚带了面值为2元和5元的人民币若干，去超市买学习用品，共花了29元，如果正好给收银员29元，则小刚的付款方式有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
6．在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．极差为3 C．平均数为96 D．中位数为97
7．关于x、y的方程组的解为，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
10．在△ABC中，已知tanA＝tanB，则下列说法不正确的是（ ）
A．边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离
B．边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴
C．△ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部
D．如果△ABC的周长是l，那么BC＝1﹣2AB
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．2020年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为 元．
12．使有意义的x的取值范围是 ．
13．已知关于x的一元二次方程x2+ax+nb＝0（1≤n≤3，n为整数），其中a是从2、4、6三个数中任取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件An（n＝1，2，3），当An的概率最小时，n的所有可能值为 ．
14．关于x的方程＝1+无解，则m的值为 ．
15．如图，点D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在边BC上点F处，如果∠B＝55°，则∠BDF＝ ．
16．若圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，则其侧面展开图面积为 ．
17．如图，直线l：y＝﹣x，点A1坐标为（﹣3，0）．经过A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2021的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）（1）计算：﹣2tan60°；
（2）因式分解：﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4．
19．（5分）解方程（x﹣3）2＝6﹣2x．
20．（8分）如图AB为⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）若sin∠BAD＝，⊙O直径为5，求DF的长．
21．（10分）为了节约资源，保护环境，某中学课外实践小组的同学，利用业余时间对本城区居民家庭使用超薄塑料袋的情况进行了抽样调查．统计情况如图所示，其中A为“不再使用”，B为“明显减少了使用量”，C为“没有明显变化”
（1）本次抽样的样本容量是 ；
（2）图中a＝ （户），c＝ （户）；
（3）若被调查的家庭占全城区家庭数的10%，则该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数约为 ．
22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息2分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 米/分，点D的坐标为 ．
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
（3）甲、乙同时出发m分钟后，甲在返回过程中与乙距A地的路程相等．请直接写出m的值．
23．（12分）Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示，其中AC＝2，BC＝6，DE＝3，∠D＝30°，其中，Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动．
（1）当Rt△DEF在起始时，求∠AMF的度数；
（2）设BC的中点的为P，当△PBM为等腰三角形时，求t的值；
（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围．
24．（14分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m﹣2（m为常数）．
（1）证明：抛物线与x轴有两个不相同的交点；
（2）若抛物线与x轴交点为A、B（其中点A在点B的左边），试分别求出点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点C的纵坐标yC（用含m的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、一个非零数与其倒数之积为1，故本选项正确；
B、若两个数的积为1，则这两个数互为倒数，故本选项正确；
C、若这个数为0，则一个数与其相反数商为﹣1不成立，故本选项错误；
D、若两个数的商为﹣1，则这两个数互为相反数，故本选项正确．
故选：C．
2．解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
3．解：3a2 2a3＝6a5，故A不正确，不符合题意；
（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故B不正确，不符合题意；
（﹣3ab2）3＝﹣27a3b6，故C不正确，不符合题意；
（﹣3）（+3）＝﹣4，故D正确，符合题意；
故选：D．
4．解：作OH⊥CD于点H，
∴H为CD的中点，
∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，
∴OH为直角梯形的中位线，
∵弦CD为定长，
∴CF+DE＝y为定值，
故选：B．
5．解：设用了2元x张，5元y张，
由题意得，2x+5y＝29，
则正整数解为：，，，共3组．
故选：B．
6．解：∵97都出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是97，
按照从小到大的顺序排列：95，96，97，97，98，97，
∴中位数是＝97，
这组数据的平均数是：×（95+97+97+96+98+99）＝，
极差是：99﹣95＝4．
故选：D．
7．解：把代入方程组得，
，
得，a＝1，b＝﹣1；
所以，a+b＝1+（﹣1）＝0；
故选：C．
8．解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+××2m+×××2m＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
方法二：求出D的坐标可以求出FH＝2m，FC＝3m，OC＝4m，×4m×（）＝2k＝12，可得k＝6．
故选：B．
9．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故①正确；
当x＝时，抛物线有最大值，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2，BC＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣ t+2），
∴OP＝，
∴当t＝时，OP有最小值为，
故④正确；
故选：D．
10．解：在△ABC中，已知tanA＝tanB，
∴∠A＝∠B，
A、P为AB边上任意一点，作PE⊥BC交BC于E点，作PF⊥AC于F点，作BD⊥AC于D点，如图：
∴sinA＝，sinB＝，sinA＝，
∴PF＝PAsinA，PE＝PBsinB＝PBsinA，BD＝ABsinA，
∴PF+PE＝PAsinA+PBsinA＝（PA+PB）sinA＝ABsinA＝BD，
∴边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离；
B、∵∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∴边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴；
C、∵∠A＝∠B，
∴∠A，∠B均为锐角，
∴△ABC可能为锐角三角形，也可能为直角三角形，也可能为钝角三角形，
∴△ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部；
D、∵△ABC的周长是l，
∴AB+CA+CB＝1，
∵∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∴2BC+AB＝1，
∴BC＝≠l﹣2AB．
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．解：将6万亿＝6000000000000用科学记数法表示为：6×1012．
故答案为：6×1012．
12．解：根据题意得：，
解得：﹣2＜x≤3．
13．解：（1）当n＝1时，Δ＝a2﹣4b，
①a＝2，b＝1，Δ＝a2﹣4b＝4﹣4＝0，有实根，
②a＝2，b＝3，Δ＝a2﹣4b＝4﹣12＝﹣8＜0，无实根，
③a＝2，b＝5，Δ＝a2﹣4b＝4﹣20＝﹣16＜0，无实根，
④a＝4，b＝1，Δ＝a2﹣4b＝16﹣4＝12＞0，有实根，
⑤a＝4，b＝3，Δ＝a2﹣4b＝16﹣12＝4＞0，有实根，
⑥a＝4，b＝5，Δ＝a2﹣4b＝16﹣20＝﹣4＜0，无实根，
⑦a＝6，b＝1，Δ＝a2﹣4b＝36﹣4＝32＞0，有实根，
⑧a＝6，b＝3，Δ＝a2﹣4b＝36﹣12＝24＞0，有实根，
⑨a＝6，b＝5，Δ＝a2﹣4b＝36﹣20＝16＞0，有实根．
P（An）＝＝．
（2）当n＝2时，Δ＝a2﹣8b，
①a＝2，b＝1，Δ＝a2﹣8b＝4﹣8＝﹣4＜0，无实根，
②a＝2，b＝3，Δ＝a2﹣8b＝4﹣24＝﹣20＜0，无实根，
③a＝2，b＝5，Δ＝a2﹣8b＝4﹣40＝﹣36＜0，无实根，
④a＝4，b＝1，Δ＝a2﹣8b＝16﹣8＝8＞0，有实根，
⑤a＝4，b＝3，Δ＝a2﹣8b＝16﹣24＝﹣8＜0，无实根，
⑥a＝4，b＝5，Δ＝a2﹣8b＝16﹣40＝﹣24＜0，无实根，
⑦a＝6，b＝1，Δ＝a2﹣8b＝36﹣8＝28＞0，有实根，
⑧a＝6，b＝3，Δ＝a2﹣8b＝36﹣24＝12＞0，有实根，
⑨a＝6，b＝5，Δ＝a2﹣8b＝36﹣40＝﹣4＜0，无实根．
P（An）＝＝．
（3）当n＝3时，Δ＝a2﹣12b，
①a＝2，b＝1，Δ＝a2﹣12b＝4﹣12＝﹣8＜0，无实根，
②a＝2，b＝3，Δ＝a2﹣12b＝4﹣36＝﹣32＜0，无实根，
③a＝2，b＝5，Δ＝a2﹣12b＝4﹣60＝﹣56＜0，无实根，
④a＝4，b＝1，Δ＝a2﹣12b＝16﹣12＝4＞0，有实根，
⑤a＝4，b＝3，Δ＝a2﹣12b＝16﹣36＝﹣20＜0，无实根，
⑥a＝4，b＝5，Δ＝a2﹣12b＝16﹣60＝﹣44＜0，无实根，
⑦a＝6，b＝1，Δ＝a2﹣12b＝36﹣12＝24＞0，有实根，
⑧a＝6，b＝3，Δ＝a2﹣12b＝36﹣36＝0，有实根，
⑨a＝6，b＝5，Δ＝a2﹣12b＝36﹣60＝﹣24＜0，无实根．
P（An）＝＝．
由以上三种情况可知：An的概率最小时，n的所有可能值为2或3．
14．解：去分母得：2x﹣1＝x+1+m，
整理得：x＝m+2，
当m+2＝﹣1，即m＝﹣3时，方程无解；
故答案为：﹣3
15．解：∵△DEF是△DEA沿过点D的直线翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝55°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70°．
16．解：∵圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，
∴其侧面展开图的面积＝cm2，
故答案为：6πcm2．
17．解：∵点A1坐标为（﹣3，0），
∴OA1＝3，
在y＝﹣x中，当x＝﹣3时，y＝4，即B1点的坐标为（﹣3，4），
∴由勾股定理可得OB1＝＝5，即OA2＝5＝3×，
同理可得，
OB2＝，即OA3＝＝5×（）1，
OB3＝，即OA4＝＝5×（）2，
以此类推，
OAn＝5×（）n﹣2＝，
即点An坐标为（﹣，0），
当n＝2021时，点A2021坐标为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
三．解答题（共7小题，满分69分）
18．解：（1）原式＝3﹣4+1﹣2
＝﹣3；
（2）原式＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2．
19．解：方程整理得：（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
20．（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠DAB，∠ADO＝∠DOC，
又OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠BOC＝∠DAB＝∠ADO＝∠DOC，
在△ODC和△OBC中，
∴△ODC≌△OBC，（SAS）
又∵BC⊥AB，
∴∠B＝90°．
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：在△ADG中，sinA＝，
设DG＝4x，AD＝5x，
∵DF⊥AB，∴G为DF的中点，
∴AG＝3x，
又⊙O的半径为，
∴OG＝﹣3x，
∵OD2＝DG2+OG2，
∴（）2＝（4x）2+（﹣3x）2，
∴x＝，
∴DG＝4x＝，
∴DF＝2DG＝2×＝．
21．解：（1）样本容量＝B的数量除以B所占样本的比例，
故可得样本容量为：800÷×100%＝4000；
（2）由题意得，c＝4000×10%＝400；a＝4000（1﹣10%﹣20%）＝2800．
（3）全城家庭数为：4000÷10%＝40000，
所以该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数约为×70%＝28000（户）；
故答案为：4000、2800、400、28000．
22．解：（1）甲的速度为：1500÷66＝250（米/分）；
∵甲往返速度相同，
∴甲从B地到乙地所用时间为（18﹣2）÷2＝8（分），
∴18﹣8＝10（分），AB相距250×8＝2000（米），
∴点D的坐标为（10，2000）．
故答案为：250；（10，2000）．
（2）当10≤x≤18时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
将点（18，0），（10，2000）代入，
得，
解得．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣250x+4500（10≤x≤18）．
（3）设直线PQ的解析式为：y＝tx+s，
∵P（0，2000），Q（25，0），
∴，
解得．
∴直线PQ的解析式为：y＝﹣80x+2000．
令﹣80x+2000＝﹣250x+4500，
解得x＝．
∴m的值．
23．解：（1）在Rt△ABC中，tan∠B＝＝＝，
∴∠B＝30°，
在Rt△DEF中，∠D＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠FMB＝∠DFC﹣∠B＝30°，
∴∠AMF＝180°﹣∠FMB＝150°；
（2）∵BC＝6，点P为线段BC的中点，
∴BP＝3，
（ⅰ）若点M在线段AB上，
①当PB＝PM时，PB＝PM＝3，
∵DE＝3，∠D＝30°，
∴EF＝DE tan30°＝3，
∴此时t＝0；
②如右图（1）所示
当BP＝BM时，BP＝BM＝3，
∵∠B＝30°，∠DFE＝60°，
∴∠FMB＝30°，
∴△BMF为等腰三角形．
过点F作FH⊥MB于H，则BH＝BM＝，
在Rt△BHF中，∠B＝30°，
∴BF＝，
∴t＝3﹣；
③如右图（2）所示，
当MP＝MB时，∠MPB＝∠B＝30
∵∠MFP＝60°，
∴PM⊥MF，∠BMF＝30°
∴FB＝FM，
设FB＝x，则FM＝x，PF＝2x．
∴3x＝3，x＝1
∴t＝2；
（ⅱ）若点M在射线AB上，
如右图（3）所示，
∵∠PBM＝150°
∴当△PBM为等腰三角形时，有BP＝BM＝3
∵△BFM为等腰三角形，
∴过点F作FH⊥BM于H，则BH＝BM＝，
在Rt△BHF中，∠FBH＝30°
∴BF＝，
∴t＝3+，
综上所述，t的值为0，3﹣，2，3+．
（3）当0＜t≤3时，BE＝6﹣t，NE＝（6﹣t），
∴＝，
过点F作FH⊥MB于H，如右图（1）所示，
∵FB＝3﹣t
∴HF＝（3﹣t），HB＝（3﹣t），MB＝（3﹣t），
∴＝，
∴S＝S△BEN﹣S△BMF＝＝，
当3＜t≤6时，BE＝6﹣t，NE＝（6﹣t），如右图（4）所示，
∴S＝＝，
由上可得，当0＜t≤3时，S＝，
当3＜t≤6时，S＝，
即S＝．
24．（1）证明：a＝1，b＝﹣（2m﹣1），c＝m2﹣m﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m﹣2）＝9＞0，
∴抛物线与x轴有两个不相同的交点．
（2）解：当y＝0时，有x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m﹣2＝0，即[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+1）]＝0，
解得：x1＝m﹣2，x2＝m+1．
又∵点A在点B的左边，
∴xA＝m﹣2，xB＝m+1．
当x＝0时，y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m﹣2＝m2﹣m﹣2，
∴点C的纵坐标yC＝m2﹣m﹣2．
（3）解：∵A、B两点在y轴的同侧，
∴（m﹣2）（m+1）＝m2﹣m﹣2＞0，AB＝m+1﹣（m﹣2）＝3，
∴S△ABC＝AB yC＝（m2﹣m﹣2）．
∵△ABC的面积为6，
∴（m2﹣m﹣2）＝6，即m2﹣m﹣6＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝3．
当m＝﹣2时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4；
当m＝3时，抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4．
答：抛物线的解析式为y＝x2+5x+4或y＝x2﹣5x+4．
