利用导数研究恒(能)成立问题
用导数解决不等式“恒成立”“能成立”或“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题．
考法1 分离参数法求参数范围
【例1】已知函数.若对恒成立，求a的取值范围.
【解题指导】分离参数→构造函数→函数求导→分析在上的单调性→求的最小值解不等式求a的范围
【解析】由对恒成立，
得对恒成立.
【卡壳点】分离参数，构造函数
设，则.
当时，；当时，.
【易错点】注意定义域要求
所以，
则，解得，
故a的取值范围是.
【例2】(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
【解题指导】移项化简→分类讨论x→当分离参数→构造函数→求导，分析单调行参数的取值范围
【解析】由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立，
即－mln x≥0恒成立，∴≥mln x.
【提醒】注意自变量的取值范围
当x＝1时，≥mln x恒成立，
当x>1时，≥m；
当0
【技巧】分离参数，构造函数
当0
∴x→0时，→0，∴m≥0.
当x>1时，令g′(x)＝0，得x＝，
∴当1
∴g(x)≥g()＝e，∴m≤e.
综上知0≤m≤e.
【解题技法】一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．
【跟踪训练】(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】由f(1)≥0，得a≥＞0，
则f(x)≥0对任意的x＞0恒成立可转化为≥对任意的x＞0恒成立．
设函数F(x)＝(x＞0)，
则F′(x)＝－.
当0＜x＜1时，F′(x)＞0；
当x＞1时，F′(x)＜0，
所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以F(x)max＝F(1)＝.
于是≥，解得a≥.
故实数a的取值范围是.
考法2 等价转化法求参数范围
【例3】已知函数，
证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【解题指导】有解
令
→函数求导→的单调性→列出不等式化简→说明有解
【解析】不等式 等价于 ，
所以只需证 的最大值大于1， 因为
【卡壳点】等价转化，目的使不等式一侧为常数或是常见函数
，，
又，所以，时等号成立，
所以 ，
【注意点】利用三角函数有界性再放缩
设函数 ， ，
，，单调递增，
，，单调递减，
因为 ，
所以存在，使不等式 有解.
【提醒】不等式“存在性”问题与“恒成立”问题的求解是“互补”关系.含参不等式有解问题可转化为最值问题来解决，注意与恒成立问题的区别.
【例4】已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)，若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【解题指导】移项化简→构造函数→函数求导→说明有解
令→函数求导→的单调性→列出不等式化简→说明有解
【解析】f(x)≥ln x－a＋1可化为
ex－1－ax＋a－1≥0，x>0，
令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1，
则当x∈[1，＋∞)时，φ(x)min≥0，
∵φ′(x)＝ex－1－a，
①当a≤时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立，
∴a≤符合题意．
②当a>时，令φ′(x)＝0，得x＝ln a＋1.
当x∈(0，ln a＋1)时，φ′(x)<0，
当x∈(ln a＋1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，ln a＋1)上单调递减，
在(ln a＋1，＋∞)上单调递增．
当ln a＋1≤1，即
∴
∴φ(x)min＝φ(ln a＋1)<φ(1)＝0与φ(x)≥0矛盾．故a>1不符合题意．
综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．
【解题技巧】根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围.
【跟踪训练】
设函数f(x)＝(1－x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
【解析】令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，
令x＝0，可得g(0)＝0.
g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，
令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，
则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，
当x≥0时，h′(x)＜0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，
故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，
要使f(x)－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，
即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.
综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．
考点3 拆解法求参数的取值范围
【例5】设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【解题指导】函数恒成立求导
确定在上单调性求→转化为恒成立→构造函数→函数求导，→利用单调性求→列不等式求参
【解析】对任意的s，t∈有f(s)≥g(t)，则f(x)min≥g(x)max.
【卡壳点】将恒成立或有解问题进行等价转化
g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)，
令g′(x)＝0，得x＝0或x＝，
知当x∈时，g(x)max＝g(2)＝1，
∴当x∈时，f(x)＝＋xln x≥1恒成立，
即a≥x－x2ln x恒成立．
【注意点】将不等式恒成立问题等价转化分离参数
令h(x)＝x－x2ln x，x∈，
∴h′(x)＝1－2xln x－x，
令φ(x)＝1－2xln x－x，
∴φ′(x)＝－3－2ln x<0，
h′(x)在上单调递减，又h′(1)＝0，
∴当x∈时，h′(x)≥0，
当x∈[1,2]时，h′(x)≤0，
∴h(x)在上单调递增，在[1,2]上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝1，故a≥1.
∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．
【例6】（2022·湖南娄底一中高三模拟）设，g(x)=x3-x2-3.
（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.
【解题指导】（1）构造函数
求导数，分析单调性求→得到结论
（2）函数恒成立根据（1）求恒成立恒成立→构造函数→函数求导，利用单调性求→列不等式求参
【解析】（1）存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M.
由g(x)=x3-x2-3，得g′(x)=3x2-2x=3x(x-).
令g′(x)>0得x<0或x>，
令g′(x)<0得0
所以g(x)在区间[0，]上单调递减，在区间[，2]上单调递增，
所以g(x)min=g()=，
又g(0)=-3，g（2）=1，
所以g(x)max=g（2）=1.
故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=≥M，
则满足条件的最大整数M=4.
（2）对于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，
等价于在区间[，2]上，函数f(x)min≥g(x)max，
由（1）可知在区间[，2]上，g(x)的最大值为g（2）=1.
在区间[，2]上，f(x)=+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x2lnx恒成立.
【注意点】将不等式恒成立问题等价转化分离参数
设h(x)=x-x2lnx，
h′(x)=1-2xlnx-x，
令m(x)=xlnx，由m′(x)=lnx+1>0得x>.
即m(x)=xlnx在(，+∞)上是增函数，
可知h′(x)在区间[，2]上是减函数，
又h′（1）=0，
所以当1
即函数h(x)=x-x2lnx在区间(，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，
所以h(x)max=h（1）=1，
所以a≥1，
即实数a的取值范围是[1，+∞).
【解题技巧】“双变量”的恒(能)成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有
(1) x1，x2∈D，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(3) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【跟踪训练】
（2022·四川广安·模拟预测）已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝(x∈R)，
所以f′(x)＝(x∈R)，
因为a>0，所以令f′(x)>0，得0
所以f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)和(3，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减，
所以f(x)在[0,4]上的最大值是f(3)＝.
又f(0)＝－a<0，f(4)＝11ae－4>0，
所以f(0)
若 x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，
则需f(x)max－f(x)min<1在x∈[0,4]上恒成立，即f(3)－f(0)<1，
即＋a<1，解得a<.
又a>0，所以0
1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若为正整数，对任意的都有成立，求的最小值.
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；
(2)构造函数，求导判断单调性得最大值；再构造函数，进而求得当时，，问题得解.
【详解】（1）由，
得.
令，解得，令，解得，
函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
故函数的极大值是，函数无极小值.
（2）设，
则
.
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
.
令，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
又，
当时，，满足题意.
故的最小值为1.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
2．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；
（2）设，可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：的定义域为，当时，，
，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递减，
当，，单调递增.
所以，，则对任意的恒成立，
所以，函数的单调递增区间为，无递减区间.
（2）解：当时，恒成立等价于在上恒成立，
设，
则，
设，
则图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当时，，在单调递增，且，
所以，，即，则函数在上单调递增，
又因为，所以在恒成立，满足题意；
当时，，，
所以方程有两相异实根，设为、，且，则，
当时，，，在上单调递减，
又因为，故当时，，
所以，在上不恒成立，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，注意到，由此将问题转化为考查函数在上的单调性来处理，只需对实数的取值进行分类讨论，结合单调性来求解.
3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若对，，求实数的取值范围.
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值；
（2）由题意可得：对，构建，由恒成立问题可得，利用导数分类讨论求的最大值即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，
令，得，令，得，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
故有极小值，无极大值.
（2）若对，即对，
令，则，
①当时，，函数在上单调递增，
则，符合题意；
②当时，令, 解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
若在恒成立, 只需满足，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数的图象与x轴有两个交点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设点，满足，且恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求定义域，根据分析时，零点的个数，当时，运用全分离，有两个不同的零点，即，有两个不同的交点，对求导，分析其函数图象性质，列出不等式解出即可；
（2）根据题意建立之间的等式，根据为零点，建立等式，找到之间的等式，求出将上述等式代入，换元令后，得到关于的不等式，构造新函数，分类讨论单调性进而求出范围即可.
【详解】（1）解：由题意知有两个不同的零点，
定义域为，，
当时，，在单调递增，
此时至多只有1个零点，不合题意；
若，则有两个不等实根，
即为有两不等实根，
即，在上有两个不同的交点，
因为，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以在处取极大值，即为最大值，
因为，且时，，时，，
若，在上有两个不同的交点成立，
只需即可，即；
（2）由得，
，由题，不妨设，
则，设，
所以，因为，
所以
恒成立，
又因为，所以，即恒成立，
设，恒成立，
，
因为，所以，
①当时，，所以，
故在上单调递增，所以恒成立，
因为，所以符合题意；
②当时，因为，所以时，
，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以时，，不满足恒成立，故舍，
综上：．
【点睛】思路点睛：此题考查函数与导数的综合应用，属于难题，关于双变量问题的思路有：
（1）根据题意建立关于的等式或不等式；
（2）构造关于或的一元函数，或令构造关于的一元函数；
（3）应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到不等式的证明或求范围.
5．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若，，求实数a的取值范围.
【分析】(1)利用导数，分类讨论当、时的单调性，即可求解；
(2)令，利用二次求导讨论函数的单调性即可证明；
(3)原不等式可化为.当时利用导数证明、，进而证明，再次利用导数讨论函数的单调性即可求解；易知当时，不符合题意.
【详解】（1），则，
当时，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2）令，则，
设，则，
所以函数单调递增，有，
所以函数在上单调递增，有，
所以当时，，即证；
（3），即，
即，令，
则，
若，当时，，，
令，则，
则函数单调递增，且，即；
令，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
则，即，
所以，则，
所以函数在上单调递增，且，
即恒成立.
当时，，
存在实数，使得均有，
则函数在上单调递减，且，不符合题意，
所以当时，不符合题意.
综上，a的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
6．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明函数只有一个零点.
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的单调性，结合零点存在性定理得到在存在唯一零点，证明出结论；
（2）二次求导，分，和三种情况，当时，由函数隐零点得到，构造函数，证明出时，，并由单调性得到，当时，结合第一问，得到，当时，举出反例.
【详解】（1）定义域为R，
当时，，
令，得；令，得，
所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
又当时，，可得，
当时，，，
由零点存在性定理可知：在存在唯一零点，
综上，函数只有一个零点.
（2）定义域为R，，
令，则，
令，得；
令，得，
所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
当时，时，，又，
由零点存在性定理可得，使，
且时，当时，
因此函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
，且，
设，，
所以在上为减函数，
又，
故时，，
存在，使不等式成立，
因为在区间上为减函数，在区间上为增函数，
所以在上单调递增，故，
当时，由（1）得在上是减函数，在上是增函数，
故，
所以不存在，使不等式成立；
当时，取，即，
所以，
所以存在，使不等式成立.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
7．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.
【分析】（1）对a分类讨论，由导数法求函数单调性；
（2）法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数，对a分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论；
【详解】（1）当时，，的定义域为，，
当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可知：
当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）法一：分离变量可得：，令，，则
，
易得当时，，且，从而，
所以在单调递减，于是.
即a的取值范围为.
法二：当时，，令，，则，即为，
而在上单调递减，所以当时，，
又，
i. 当，即时，，符合题意；
ii. 当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使；
iii. 当时，由于时，，所以，
令，则，所以在上是增函数，最大值为，
又，所以，此时恒有，
因此不存在，使.
综上可知，，即a的取值范围为.
【点睛】函数不等式恒成立或可能成立问题，一般可用分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；或采用分类讨论法，由导数法研究函数单调性及最值，得出结论；
8．（2023·四川成都·成都七中校考二模）已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在，且时，.
【分析】（1）要使，即，对求导，得到的单调性和最值，即可求出实数a的值；
（2）对求导，则，设，再对求导，利用导数性质推导出是在的唯一极大值点，即可证明.
【详解】（1）显然的定义域为，且.
因为，且，故只需.
又，则，∴.
若，则.显然当时，，此时在上单调递减；
当，，此时在（1，+∞）上单调递增.
所以是的唯一极小值点，
故.综上，所求的值为1.
（2）由（1）知.
设，则
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，
在上单调递增.
所以在有唯一零点，在上有唯一零点1，
且当时，；当时；
因为，所以是的唯一极大值点.
即是在的最大值点，所以成立.
9．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数，．
(1)求的单调区间与最值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）对求导后研究的正负， 确定的单调性与最值；
（2）设由题意知有解，分类讨论的单调性并求最大值即可.
【详解】（1），
所以在，上，，单调递增，
在,，,上，，单调递减，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为,，,．
，
.
（2）设
当，即时，，在上单调递增，
，，所以成立；
当，即时，，在上单调递减，，即，所以；
当时，，
当，单调递增，
当，单调递减，
所以
，
令，
，所以，成立．
综上，a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：函数求导后的计算方向：
（1）求导后不要急于求的根，因为有时候会无根，无根的原因是出现恒正或恒负，所以要先考虑会不会出现恒正或恒负的情况，这时候要看的最大值小于等于零或最小值大于等于零.
（2）当有正有负时才会有根可求，求根时可以直接解方程，或者猜根，或者使用零点存在定理证明有根.
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.
【分析】（1）求解导函数，对进行分解变形得，结合余弦函数的取值范围确定的符号，即可得函单调性；
（2）求解导函数，得，令，设，分类讨论判断的符号，从而确定函数的单调性，再满足，即可求得正实数a的取值范围.
【详解】（1）若，则，
所以，
当时，，所以 ，，则，
则恒成立，所以在上单调递增.
（2）当时，，所以.
因为恒成立，即，令，设，
①若，即，当时，，当时，，记，则，，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，易知当时，，
所以，
又，所以，所以恒成立，即满足题意.；
②若，即，则在上恒成立，
即当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以恒成立，即满足题意.
③若，即，当时，，当时，，记，则，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以当，即时，，所以恒成立，即满足题意；
当，即时，，不满足题意，即不满足题意.
④若，即，当时，；当时，，
即当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，不满足题意，即不满足题意.
综上，正实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查函数单调性，函数极值与最值与导数综合应用，属于难题.解决本题的关键是，在含有三角函数的导数问题中，需要利用三角函数图象性质分区间讨论导函数的正负从而确定函数的单调性与最值，在本题中由于，需令，引入新函数，结合二次函数与余弦函数的取值范围分段处理导数符号与函数最值问题，从而得正实数a的取值范围.
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母题呈现
模拟训练
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利用导数研究恒(能)成立问题
用导数解决不等式“恒成立”“能成立”或“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题．
考法1 分离参数法求参数范围
【例1】已知函数.若对恒成立，求a的取值范围.
【解题指导】分离参数→构造函数→函数求导→分析在上的单调性→求的最小值解不等式求a的范围
【例2】(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
【解题指导】移项化简→分类讨论x→当分离参数→构造函数→求导，分析单调行参数的取值范围
【解题技法】一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．
【跟踪训练】(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
考法2 等价转化法求参数范围
【例3】已知函数，
证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【解题指导】有解
令
→函数求导→的单调性→列出不等式化简→说明有解
【例4】已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)，若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【解题指导】移项化简→构造函数→函数求导→说明有解
令→函数求导→的单调性→列出不等式化简→说明有解
【解题技巧】根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围.
【跟踪训练】
设函数f(x)＝(1－x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
考点3 拆解法求参数的取值范围
【例5】设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
【解题指导】函数恒成立求导
确定在上单调性求→转化为恒成立→构造函数→函数求导，→利用单调性求→列不等式求参
【例6】（2022·湖南娄底一中高三模拟）设，g(x)=x3-x2-3.
（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围.
【解题指导】（1）构造函数
求导数，分析单调性求→得到结论
（2）函数恒成立根据（1）求恒成立恒成立→构造函数→函数求导，利用单调性求→列不等式求参
【解题技巧】“双变量”的恒(能)成立问题可以拆解求参数，进行等价变换，常见的拆解转换有
(1) x1，x2∈D，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(3) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【跟踪训练】
（2022·四川广安·模拟预测）已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．
1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若为正整数，对任意的都有成立，求的最小值.
2．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
3．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若对，，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数的图象与x轴有两个交点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设点，满足，且恒成立，求实数的取值范围．
5．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若，，求实数a的取值范围.
6．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明函数只有一个零点.
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
7．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.
8．（2023·四川成都·成都七中校考二模）已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在，且时，.
9．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数，．
(1)求的单调区间与最值；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若，判断的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.
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