2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》专题提升训练
1．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
4．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．
（1）填空：OA的长是 ，∠ABO的度数是 度；
（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．
①求证：四边形AMHN是平行四边形；
②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；
（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK＝DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK＝45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC＝8，OE＝17，抛物线y＝x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．
（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．
①点B的坐标为（ 、 ），BK的长是 ，CK的长是 ；
②求点F的坐标；
③请直接写出抛物线的函数表达式；
（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1 S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．
（1）填空：点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．
7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．
（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
（2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM＝AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n．
①如图2，当n＜AC时，求证：△PAM≌△NCP；
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；
③若PM的长为，当二次函数y＝﹣x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．
9．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET＝45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC＝AB，抛物线y＝﹣x2+mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF＝∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ＝AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c与x轴正半轴交于点F（16，0），与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合）．设点A的坐标为（m，n）（m＞0）．
①当PO＝PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
③当n＝7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
12．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴，y轴上的B，C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为D，连接CD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求该抛物线的对称轴和D点坐标；
（3）点F，G是对称轴上两个动点，且FG＝2，点F在点G的上方，请直接写出四边形ACFG的周长的最小值；
（4）连接BD，若P在y轴上，且∠PBC＝∠DBA+∠DCB，请直接写出点P的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣5，0），B（﹣，）两点，连接AB，BO．
（1）求抛物线表达式；
（2）点C是第三象限内的一个动点，若△AOC与△AOB全等，请直接写出点C坐标 ；
（3）若点D从点O出发沿线段OA向点A做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）．过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，以DF为边，在DF左侧作等边三角形DGF（当点D运动时点G、点F也随之运动）．过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LM＝HL，以HM为边，在HM的右侧作等边三角形HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）．当点D运动t秒时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心，直接写出此刻t的值 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C，且与x轴交于另一点A，连接AC，点D在BC上方的抛物线上，设点D的横坐标为m，过点D作DH⊥BC于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）线段DH的长为 （用含m的代数式表示）；
（3）点M为线段AC上一点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转60°得线段ON，连接CN，当CN＝，m＝6时，请直接写出此时线段DM的长．
15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C是顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，线段DE是射线AC上的一条动线段（点D在点E的下方），且DE＝2，点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以DE为一边在AC上方作等腰Rt△DEF，其中∠EDF＝90°，设运动时间为t秒．
①点D的坐标是 （用含t的代数式表示）；
②当直线BC与△DEF有交点时，请求出t的取值范围；
（3）如图2，点P是△ABC内一动点，BP＝，点M，N分别是AB，BC边上的两个动点，当△PMN的周长最小时，请直接写出四边形PNBM面积的最大值．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与直线y＝+交于点A和点E，点A在x轴上．抛物线y＝ax2+x+c与x轴另一个交点为点B，与y轴交于点C（0，），直线y＝+与y轴交于点D．
（1）求点D的坐标和抛物线y＝ax2+x+c的函数表达式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，连接AC、CQ、PQ．
①当△APQ是以AP为底边的等腰三角形时，求t的值；
②在点P、Q运动过程中，△ACQ的面积记为S1，△APQ的面积记为S2，S＝S1+S2，当S＝时，请直接写出t的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）用配方法求点D的坐标；
（3）点P是线段OB上的动点．
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．
18．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A，与x轴交于点B（3，0）、C（﹣1，0）两点．
（1）求直线AB和抛物线的表达式；
（2）当点F为直线AB上方抛物线上一动点（不与A、B重合），过点F作FP∥x轴交直线AB于点P；过点F作FR∥y轴交直线AB于点R，求PR的最大值；
（3）把射线BA绕着点B逆时针旋转90°得到射线BM，点E在射线BM运动（不与点B重合），以BC、BE为邻边作平行四边形BCDE，点H为DE边上动点，连接CH，请直接写出CH+HE的最小值．
20．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，D是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BD，线段OC上点E关于直线l的对称点E'恰好在线段BD上，求点E的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线分别与BC交于点M，与x轴交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△AMN的面积相等，且线段PQ的长度最小？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，
∵点B（6，0）和点C（0，﹣3），
∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD，
∴OD＝3，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH＝30°，
∴OH＝OD＝，DH＝OH＝，
∴BH＝OB﹣OH＝，
∵tan∠HBD＝＝＝，
∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，
∴∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②∵△ODB的面积S2＝×OB×DH＝×6×＝，且S1＝S2，
∴S1＝×＝3，
∵△BMN是等边三角形，
∴S1＝MN2＝3，
∴MN＝2，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴MR＝NR＝，MN⊥OB，
∵∠MBH＝30°，
∴BR＝MR＝3，
∴OR＝3，
∵点M在第四象限，
∴点M坐标为（3，﹣）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．
由题意BE＝BF＝6，FK∥OB，
∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH＝a，
在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°，
∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（2+a）2+（a）2，
解得a＝或﹣2（不符合题意舍弃），
∴FG＝BG＝2，
∴∠GBF＝∠GFB＝30°，
∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时E与K重合，BG⊥KF，
∵KF∥x轴，
∴BG⊥x轴，
∴G（6，﹣2）．
2．解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；
（2）如图，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，
将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，
设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），
S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，
解得：x＝2或，
故点P（2，3）或（，）；
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），
过点M作A′M∥AN，过点A'作直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，
∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），
A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，
联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），
由中点坐标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，
联立①③并解得：x＝，即点M（，），
点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．
3．解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）
∴
解得：
∴抛物线C1：解析式为y＝x2+x﹣1
（2）∵动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2
（3）共分两种情况
①当∠ANM＝90°，AN＝MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）
∴AN＝t﹣（﹣2）＝t+2
∵MN＝t2+2
∴t2+2＝t+2
∴t1＝0（舍去），t2＝1
∴t＝1
②当∠AMN＝90°，AM＝MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）
∴AM＝t﹣（﹣2）＝t+2，
∵MN＝t2+2
∴t2+2＝t+2
∴t1＝0，t2＝1（舍去）
∴t＝0
故t的值为1或0
（4）由（3）可知t＝1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：
易得K（0，3），B、O、N三点共线
∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）
∴点K、P关于直线AN对称
设半径为1的⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）
∴Q2与点O关于直线AN对称
∴Q2是满足条件∠KNQ＝∠BNP．
则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ＝∠BNP．
由图形易得Q1（﹣1，3）
设点Q3坐标为（m，n），由对称性可知Q3N＝NQ1＝BN＝2
由∵⊙K半径为1
∴
解得，．
同理，设点Q4坐标为（m，n），由对称性可知Q4N＝NQ2＝NO＝
∴
解得
，．
∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）
4．解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8），
∴OB＝8，
当y＝0时，y＝﹣x2﹣x+8＝0，
x2+4x﹣96＝0，
（x﹣8）（x+12）＝0，
x1＝8，x2＝﹣12，
∴A（8，0），
∴OA＝8，
在Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝30°，
故答案为：8，30；
（2）①证明：∵DE∥AB，
∴，
∵OM＝AM，
∴OH＝BH，
∵BN＝AN，
∴HN∥AM，
∴四边形AMHN是平行四边形；
②点D在该抛物线的对称轴上，
理由是：如图1，过点D作DR⊥y轴于R，
∵HN∥OA，
∴∠NHB＝∠AOB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠DHB＝∠OBA＝30°，
∵Rt△CDE≌Rt△ABO，
∴∠HDG＝∠OBA＝30°，
∴∠HGN＝2∠HDG＝60°，
∴∠HNG＝90°﹣∠HGN＝90°﹣60°＝30°，
∴∠HDN＝∠HND，
∴DH＝HN＝OA＝4，
∴Rt△DHR中，DR＝DH＝＝2，
∴点D的横坐标为﹣2，
∵抛物线的对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，
∴点D在该抛物线的对称轴上；
（3）如图3中，连接PQ，作DR⊥PK于R，在DR上取一点T，使得PT＝DT．设PR＝a．
∵NA＝NB，
∴ON＝NA＝NB，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴△AON是等边三角形，
∴∠NOA＝60°＝∠ODM+∠OMD，
∵∠ODM＝30°，
∴∠OMD＝∠ODM＝30°，
∴OM＝OD＝4，易知D（﹣2，﹣2），Q（﹣2，10），
∵N（4，4），
∴DK＝DN＝＝12，
∵DR∥x轴，
，∴∠KDR＝∠OMD＝30°
∴RK＝DK＝6，DR＝6，
∵∠PDK＝45°，
∴∠TDP＝∠TPD＝15°，
∴∠PTR＝∠TDP+∠TPD＝30°，
∴TP＝TD＝2a，TR＝a，
∴a+2a＝6，
∴a＝12﹣18，
可得P（﹣2﹣6，10﹣18），
∴PQ＝＝12．
5．解：（1）如图1中，①∵抛物线y＝x2﹣3x+m的对称轴x＝﹣＝10，
∴点B坐标（10，0），
∵四边形OBKC是矩形，
∴CK＝OB＝10，KB＝OC＝8，
故答案分别为10，0，8，10．
②在RT△FBK中，∵∠FKB＝90°，BF＝OB＝10，BK＝OC＝8，
∴FK＝＝6，
∴CF＝CK﹣FK＝4，
∴点F坐标（4，8）．
③设OA＝AF＝x，
在RT△ACF中，∵AC2+CF2＝AF2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴点A坐标（0，5），代入抛物线y＝x2﹣3x+m得m＝5，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+5．
（2）不变．S1 S2＝289．
理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE＝EO＝17，ED＝8，
∴DG＝＝＝15，
∴CG＝CD﹣DG＝2，
∴OG＝＝＝2，
∵GP⊥OM，MH⊥OG，
∴∠NPM＝∠NHG＝90°，
∵∠HNG+∠HGN＝90°，∠PNM+∠PMN＝90°，∠HNG＝∠PNM，
∴∠HGN＝∠NMP，
∵∠NMP＝∠HMG，∠GHN＝∠GHM，
∴△GHN∽△MHG，
∴＝，
∴GH2＝HN HM，
∵GH＝OH＝，
∴HN HM＝17，
∵S1 S2＝ OG HN OG HM＝（ 2）2 17＝289．
6．解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1（舍去），
∴B（﹣3，0），C（1，0），
由y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），
故答案为：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；
（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），
∵PE＝PC，
∴﹣n2﹣n+2＝1﹣n，解得n1＝﹣，n2＝1（舍去），
∴当n＝﹣时，1﹣n＝，
∴E（﹣，），
②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，
根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣，
∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，
∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，
根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，
∴EF＝或；
（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，
如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，
此时△PQR的周长PQ+QR+PR＝EF，
∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），
∴AB＝＝，AC＝＝，
∵S△AOB＝×OE×AB＝OA OB，
∴OE＝，
∵△OEM∽△ABO，
∴＝＝，即＝＝，
∴OM＝，EM＝
∴E（﹣，），
同理求得F（，），
即△PQR周长的最小值为EF＝＝．
7．（1）答：（﹣9，0），（9，0）．
解：B、C为抛物线与x轴的交点，故代入y＝0，得y＝﹣x2+12＝0，
解得 x＝﹣9或x＝9，
即B（﹣9，0），C（9，0）．
（2）①证明：∵AB∥CN，
∴∠MAP＝∠PCN，
∵MN∥BC，
∴四边形MBCN为平行四边形，
∴BM＝CN，
∵AP＝BM，
∴AP＝CN，
∵BO＝OC，OA⊥BC，
∴OA垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴AM＝AB﹣BM＝AC﹣AP＝CP．
在△PAM和△NCP中，
，
∴△PAM≌△NCP（SAS）．
②解：1．当n＜AC时，如图1，
，
∵四边形MBCN为平行四边形，
∴∠MBC＝∠QNC，
∵AB＝AC，MN∥BC，
∴∠MBC＝∠QCB＝∠NQC，
∴∠NQC＝∠QNC，
∴CN＝CQ，
∵△MAP≌△PCN，
∴AP＝CN＝CQ，
∵AP＝n，AC＝＝＝15，
∴PQ＝AC﹣AP﹣QC＝15﹣2n．
2．当n＝AC时，显然P、Q重合，不符合题意．
3．当n＞AC时，如图2，
∵四边形MBCN为平行四边形，
∴∠MBC＝∠QNC，BM＝CN
∵AB＝AC，MN∥BC，
∴∠MBC＝∠QCB＝∠NQC，
∴∠NQC＝∠QNC，
∴BM＝CN＝CQ，
∵AP＝BM，
∴AP＝CQ，
∵AP＝n，AC＝15，
∴PQ＝AP+QC﹣AC＝2n﹣15．
综上所述，当n＜AC时，PQ＝15﹣2n；当n＞AC时，PQ＝2n﹣15．
③或．
分析如下：
1．当n＜AC时，如图3，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F．
此时△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ＝15﹣2n．
∵PM＝PN，
∴ME＝EN＝MN＝BC＝9，
∴PE＝＝＝4，
∵OC：OA：AC＝3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，
∴PQ＝5，
∴15﹣2n＝5，
∴AP＝n＝5，
∴PC＝10，
∴FC＝6，PF＝8，
∵OF＝OC﹣FC＝9﹣6＝3，EN＝9，EF＝PF﹣PE＝8﹣4＝4，
∴P（3，8），N（12，4）．
设二次函数y＝﹣x2+12平移后的解析式为y＝﹣（x+k）2+12+h，
∴，
解得 ，
∴y＝﹣（x﹣6）2+12﹣＝﹣x2+x+4．
2．当n＞AC时，如图4，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F．
此时△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ＝2n﹣15．
∵PM＝PN，
∴ME＝EN＝MN＝BC＝9，
∴PE＝＝＝4，
∵OC：OA：AC＝3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，
∴PQ＝5，
∴2n﹣15＝5，
∴AP＝n＝10，
∴PC＝5，
∴FC＝3，PF＝4，
∵OF＝OC﹣FC＝9﹣3＝6，EN＝9，EF＝PF+PE＝4+4＝8，
∴P（6，4），N（15，8）．
设二次函数y＝﹣x2+12平移后的解析式为y＝﹣（x+k）2+12+h，
∴，
解得 ，
∴y＝﹣（x﹣12）2+12﹣＝﹣x2+x﹣12．
8．解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y＝x2+bx+c，得：
，
解得：．
∴y＝x2x+．
（2）当∠BDA＝∠DAC时，BD∥x轴．
∵B（1，），
当y＝时，＝x2x+，
解得：x＝1或x＝4，
∴D（4，）．
（3）①四边形OAEB是平行四边形．
理由如下：抛物线的对称轴是直线x＝，
∴BE＝﹣1＝．
∵A（，0），
∴OA＝BE＝．
又∵BE∥OA，
∴四边形OAEB是平行四边形．
②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN＝﹣＝，BN＝1﹣＝．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝＝．
∵∠BMF＝∠MFO，∠MFO＝∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM＝2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG＝BF＝，连接FG，则GN＝BG﹣BN＝1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG＝＝．
∵BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG．
又∵∠FBM＝∠BGF+∠BFG＝2∠BMF，
∴∠BFG＝∠BMF，又∵∠MGF＝∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴，即，
∴BM＝；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF＝OB＝FB＝，
∴∠FKB＝∠FBM＝2∠BMF，
又∵∠FKB＝∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF＝∠MFK，
∴MK＝KF＝，
∴BM＝MK+BK＝+1＝．
综上所述，线段BM的长为或．
9．解：（1）如图①，∵A（﹣2，0）B（0，2）
∴OA＝OB＝2，
∴AB2＝OA2+OB2＝22+22＝8
∴AB＝2，
∵OC＝AB
∴OC＝2，即C（0，2）
又∵抛物线y＝﹣x2+mx+n的图象经过A、C两点
则可得，
解得．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°
又∵∠BEO＝∠BAO+∠AOE＝45°+∠AOE，
∠BEO＝∠OEF+∠BEF＝45°+∠BEF，
∴∠BEF＝∠AOE．
（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论
①当OE＝OF时，∠OFE＝∠OEF＝45°
在△EOF中，∠EOF＝180°﹣∠OEF﹣∠OFE＝180°﹣45°﹣45°＝90°
又∵∠AOB＝90°
则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立．
②如图2，当FE＝FO时，
∠EOF＝∠OEF＝45°
在△EOF中，
∠EFO＝180°﹣∠OEF﹣∠EOF＝180°﹣45°﹣45°＝90°
∴∠AOF+∠EFO＝90°+90°＝180°
∴EF∥AO，
∴∠BEF＝∠BAO＝45°
又∵由（2）可知，∠ABO＝45°
∴∠BEF＝∠ABO，
∴BF＝EF，
EF＝BF＝OB＝×2＝1
∴E（﹣1，1）
③如图③，当EO＝EF时，过点E作EH⊥y轴于点H
在△AOE和△BEF中，
∠EAO＝∠FBE，EO＝EF，∠AOE＝∠BEF
∴△AOE≌△BEF，
∴BE＝AO＝2
∵EH⊥OB，
∴∠EHB＝90°，
∴∠AOB＝∠EHB
∴EH∥AO，
∴∠BEH＝∠BAO＝45°
在Rt△BEH中，∵∠BEH＝∠ABO＝45°
∴EH＝BH＝BEcos45°＝2×＝
∴OH＝OB﹣BH＝2﹣∴E（﹣，2﹣）
综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（﹣1，1）或E（﹣，2﹣）．
（4）假设存在这样的点P．
当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（﹣，2﹣）．
如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH＝FH＝2﹣．
由OE＝EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE＝EF，
过点F作FN∥x轴，交PG于点N．
易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN＝S△EDG，
依题意，可得
S△EPF＝（2+1）S△EDG＝（2+1）S△EFN，
∴PE：NE＝（2+1）：1．
过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST＝TM＝2﹣．
∵FN∥EH，
∴PT：ST＝PE：NE＝（2+1）：1，
∴PT＝（2+1） ST＝（2+1）（2﹣）＝3﹣2；
∴PM＝PT+TM＝2，即点P的纵坐标为2，
∴﹣x2﹣x+2＝2，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
∴P点坐标为（0，2）或（﹣1，2）．
综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍；
点P的坐标为（0，2）或（﹣1，2）．
10．解法一：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴
∴b＝﹣2
∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝3．
∵A点在B点左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y＝kx+m，
则，
∴
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3；
（3）①∵AB＝4，PQ＝AB，
∴PQ＝3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM＝，
∵对称轴是直线x＝1，
∴P到y轴的距离是，
∴点P的横坐标为，
∴P（，）
∴F（0，），
∴FC＝3﹣OF＝3﹣＝
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE＝2FC＝
∵点D在直线BC上，
∴当x＝1时，y＝﹣2，则D（1，﹣2），
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG＝1，CG＝1，
∴GE＝CE﹣CG＝﹣1＝．
在Rt△EGD中，tan∠CED＝．
②P1（1﹣，﹣2），P2（1﹣，﹣）．
设OE＝a，则GE＝2﹣a，
当CE为斜边时，则DG2＝CG GE，即1＝（OC﹣OG） （2﹣a），
∴1＝1×（2﹣a），
∴a＝1，
∴CE＝2，
∴OF＝OE+EF＝2
∴F、P的纵坐标为﹣2，
把y＝﹣2，代入抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3得：x＝1+或1﹣
∵点P在第三象限．
∴P1（1﹣，﹣2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE＝2，CE＝1，
∴OF＝2.5，
∴P和F的纵坐标为：﹣，
把y＝﹣，代入抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3得：x＝1﹣，或1+，
∵点P在第三象限．
∴P2（1﹣，﹣）．
综上所述：满足条件为P1（1﹣，﹣2），P2（1﹣，﹣）．
解法二：
（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴设其解析式为y＝x2+bx﹣3，
对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入，解得k＝1
∴BC的解析式为y＝x﹣3；
（3）①易求AB＝4，∴PQ＝AB＝3，
设PQ交对称轴x＝1于点G，
∴PG＝PQ＝
∴PF＝PG﹣FG＝
∴点P的横坐标x＝﹣，
将x＝﹣代入y＝x2﹣2x﹣3中，得y＝﹣，
∴P（﹣，﹣），F（0，﹣），
设点E（0，y），∵EF＝FC
∴y﹣（﹣）＝（﹣）﹣（﹣3），
∴y＝﹣
∴E（0，﹣）
过点D作DH⊥y轴于点H，设点D（1，m），将其代入y＝x﹣3中，
解得m＝﹣2
∴D（1，﹣2），H（0，﹣2）
∴EH＝﹣﹣（﹣2）＝，
∴tan∠CED＝DH：EH＝；
②若∠CDE＝90°，∵OC＝OB＝3
∴∠ECD＝45°＝∠CED
∴DE＝DC，
∴点D（1，﹣2）必在CE的垂直平分线PQ上，
设点P的坐标为（x，﹣2），代入y＝x2﹣2x﹣3中，解得
x1＝﹣+1，x2＝+1，
依题意，得点P的坐标为（﹣+1，﹣2）
若∠CED＝90°，而∠ECD＝45°
∴EC＝ED＝1
∴CF＝EF＝，
∴点P的纵坐标y＝﹣，代入y＝x2﹣2x﹣3中，
解得x＝﹣+1或x＝+1，
由题意，得点P的坐标为（﹣+1，﹣）
11．解：（1）由抛物线y＝ax2+c经过点E（0，16），F（16，0）得：
解得，
∴．
（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，
∵PO＝PF，
∴OG＝FG，
∵F（16，0），
∴OF＝16，
∴OG＝×OF＝×16＝8，
即P点的横坐标为8，
∵P点在抛物线上，
∵m＞0，
∴y＝，
即P点的纵坐标为12，
∴P（8，12），
∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，
∴Q点的纵坐标为﹣4，
∵Q点在抛物线上，
∴，
∴，
∵m＞0，
∴x2＝﹣8（舍）
∴，
∴．
②8﹣16＜m＜8．
③不存在．
理由：当n＝7时，则P点的纵坐标为7，
∵P点在抛物线上，
∴，
∴x1＝12，x2＝﹣12，
∵m＞0
∴x2＝﹣12（舍去）
∴x＝12
∴P点坐标为（12，7）
∵P为AB中点，
∴，
∴点A的坐标是（4，7），
∴m＝4，
又∵正方形ABCD边长是16，
∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，﹣9），
∴点Q的纵坐标为﹣9，
∵Q点在抛物线上，
∴，
∴x1＝20，x2＝﹣20，
∵m＞0，
∴x2＝﹣20（舍去）
∴x＝20，
∴Q点坐标（20，﹣9），
∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，
∴当n＝7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点．
12．解：（1）∵直线y＝﹣x+3分别交x轴，y轴于B，C两点，
∴B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3
∴y＝（x2﹣8x）+3
＝（x﹣4）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝4，D（4，﹣1）；
（3）∵A（2，0），C（0，3），
∴AC＝＝＝，
∵FG＝2，
∴AC+FG的值为+2，若四边形ACFG的周长最小，则CF+AG最小即可，
将点C向下平移2个单位得到N（0，1），连接BN，与对称轴的交点即为所求点G'．在对称轴上将点G'向上平移2个单位得到点F'．
此时四边形ACF'G'的周长最小，
∴CF'+AG'＝NG'+BG'＝BN＝＝＝，
∴四边形ACFG的周长的最小值为+2+．
（4）∵C（0，3），D（4，﹣1），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE＝OC＝3，
∴∠AEC＝45°，
∵tan∠DBE＝，tan∠OBC＝＝，
∴tan∠DBE＝tan∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
则∠PBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，
①当点P在y轴负半轴时，
如图2，过点P作PG⊥BC交BC于点G，
则∠GPC＝∠OBC，
∴tan∠GPC＝，
设CG＝a，则GP＝2a，
∵∠CBP＝45°，
∴BG＝GP，
∵C（0，3），B（6，0），
∴OC＝3，OB＝6，
∴BC＝3，
即：2a+a＝3，
解得：a＝，
∴CG＝a＝，PG＝2，
∴PC＝＝5，
∴OP＝2，
故点P（0，﹣2）；
②当点P在y轴正半轴时，
同理可得：点P（0，18）；
故：点P的坐标为（0，﹣2）或（0，18）．
13．解：（1）把A（﹣5，0），B（﹣，）两点代入抛物线y＝ax2+bx中得：
，
解得：，
∴y＝﹣；
（2）如图1，∵A（﹣5，0），B（﹣，），
∴AO2＝52＝25，AB2＝＝＝，OB2＝＝，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴△AOB是直角三角形，且∠ABO＝90°，
当△AOC与△AOB全等，如图1，分两种情况：
①在x轴的上方，由对称得：C1（﹣，），此种情况不符合题意；
②在x轴的下方，同理得：C2（﹣，﹣），C3（﹣，﹣）；
综上，点C的坐标是（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；
（3）∵当点H到达点O时，点D也同时停止运动，
而直线FG经过△HMN的重心P时，点H在点O的右侧，如图4，此种情况不符合条件，
分两种情况：
①当直线DF经过△HMN的重心P时，如图2，
连接NL，
∵LM＝LH，且△HMN是等边三角形，
∴P在LN上，
由题意得：OD＝t，AH＝2t，
由（2）知：AB＝，OA＝5，
∴cos∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
Rt△LAH中，∴LH＝2t，HN＝4t，
∴LN＝6t，
∵FD⊥x轴，HM⊥x轴，
∴∠LHD＝∠PDH＝∠PLH＝90°，
∴四边形PLHD是矩形，
∵P是重心，
∴PL＝DH＝2t，
∵OA＝AH+DH+OD＝5，
∴2t+2t+t＝5，
解得：t＝1；
②当直线DG经过△HMN的重心P时，如图3，
∵DP∥MN，
∴，
∵LH＝LM，
∴，
∵LP∥DH，
∴，
∴，
解得：t＝，
综上，t的值是1s或s．
故答案为：1s或s．
14．解：（1）在直线y＝﹣x+5中，当x＝0时，y＝5，即C（0，5），
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝11，
则B（11，0），
将B（11，0）、C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5；
（2）如图1，过D作DF⊥x轴于F，交BC于E，
∵设点D的横坐标为m，
∴D（m，﹣m2+m+5），E（m，﹣m+5），
∴DE＝（﹣m2+m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣+m，
∵OC＝5，OB＝11，
∴BC＝＝＝14，
∵∠DHE＝∠EFB＝90°，∠DEH＝∠BEF，
∴∠EDH＝∠OBC，
∴cos∠OBC＝cos∠EDH＝，
∴，
∴HD＝＝﹣m；
故答案为：﹣m；
（3）当m＝6时，D（6，5），
分两种情况：
①当N在第一象限时，如图2，过M作MP⊥x轴于P，过N作NH⊥x轴于H，过O作OG⊥AC于G，
当y＝0时，﹣x2+x+5＝0，
解得：x＝﹣5或11，
∴A（﹣5，0），
∵OA＝5，OC＝5，
∴tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO＝60°，
由旋转得：OM＝ON，∠MON＝60°，
Rt△AGO中，∵∠AOG＝30°，
∴AG＝，OG＝，
∵∠MOH＝∠CAO+∠AMO＝∠MON+∠NOH，
∴∠NOH＝∠AMO，
∵∠MGO＝∠OHN＝90°，
∴△NOH≌△OMG（AAS），
∴NH＝OG＝，
设N（x，），
∵C（0，5），CN＝，
∴，
解得：x＝或﹣（舍），
∴OH＝GM＝，
∴AM＝＝4，
Rt△AMP中，∠AMP＝30°，
∴AP＝2，OP＝5﹣2＝3，PM＝2，
∴M（﹣3，2），
∵D（6，5），
∴DM＝＝＝6；
②当N在第二象限时，如图3，过M作MP⊥x轴于P，
同理得：N（﹣，），AM＝＝1，
∴M（﹣，），
∴DM＝＝＝3；
综上，DM的长是6或3．
15．解：∵抛物线y＝ax2+bx+与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）如图1，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴点C（1，2），
∵A（﹣1，0），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，AC＝＝4，BC＝＝4，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
①过点D作DQ⊥AB于Q，
由运动知，AD＝2t，
∴AQ＝t，
∴DQ＝t，
∴D（t﹣1，t），
故答案为：（t﹣1，t）；
②过点F作AB的垂线，交过点D平行于AB的直线于G，
∴∠ADG＝60°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠FDG＝30°，
∴FG＝DF＝DE＝1，DG＝，
∴F（t﹣1﹣，t+1），E（t﹣1+1，t+），
即F（t﹣1﹣，t+1），E（t，t+），
∵点B（3，0），C（1，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当点E在直线BC上时，﹣t+3＝t+，
∴t＝1，
当点F在直线BC上时，﹣（t﹣1﹣）+3＝t+1，
∴t＝2+，
即当直线BC与△DEF有交点时，t的取值范围为1≤t≤2+；
（3）如图2，
作点P关于AB的对称点F，作点P关于BC的对称点E，连接EF，交AB于M，交BC于N，连接PM，PN，
则△PMN的周长最小为PM+PN+MN＝FM+EN+MN＝EF，
由对称性知，BE＝BF＝BP＝，∠EBN＝∠PBN，∠FBM＝∠PBM，
∴∠EBF＝∠EBN+∠PBN+∠FBM+∠PBM＝2（∠PBN+∠PBM）＝2∠ABC＝120°，
∴∠BFE＝30°，
过点B作BH⊥EF于H，则EF＝2FH，
在Rt△BHM中，BH＝BF＝，FH＝，
∴EF＝2FH＝，
∴S△BEF＝EF BH＝，
∵S四边形PNBM＝（S△BEF+S△PMN）＝（+S△PMN），
要使四边形PNBM的面积最大，则△PMN的面积最大，即△BMN的面积最小，
只有BP⊥EF时，△BMN的面积最小，此时，MN＝2×＝，PH＝BP﹣BH＝﹣＝，
∴S△PMN最大＝MN PH＝，
即S四边形PNBM最大＝（S△BEF+S△PMN）＝（+）＝，
∴当△PMN的周长最小时，四边形PNBM面积的最大值为．
16．解：（1）∵直线y＝x+与y轴交于点D，
∴x＝0时，y＝，
∴D（0，），
∵直线y＝x+与x轴交于点A，
∴y＝0时，＝0，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0），C（0，），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣；
（2）由题意，0≤t≤2.5，
①如图1，过点Q作QF⊥AP于点F，
若AQ＝PQ，则AF＝PF＝AP＝（5﹣2t），AQ＝t，
∵OD⊥AP，QF⊥AP，
∴OD∥QF，
∴，
∵D（0，），A（﹣1，0），
∴OD＝，AO＝1，
∴AD＝＝＝，
∴，
解得：t＝．
∴t＝时，△APQ是以AP为底边的等腰三角形．
②如图2，过点C作CM⊥AQ于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，
∵∠ADO＝∠CDM，∠AOD＝∠CMD＝90°，
∴△AOD∽△CMD，
∴，
∵CD＝OC﹣OD＝，AD＝，OA＝1，
∴，
∴CM＝，
∴S△ACQ＝S1＝AQ×CM＝＝t，
∵OD⊥x轴，QN⊥x轴，
∴OD∥QN，
∴△AOD∽△AQN，
∴，
∴，
∴QN＝t，
∴S△APQ＝S2＝AP×QN＝t＝，
∵S1+S2＝，
∴，
∴，
解得：t＝．
即当S＝时，t的值为．
17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），
∴
∴
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；
（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴顶点D坐标（﹣1，）；
（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，
∴点C（1，0）
设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），
∵PE＝PC，
∴m2﹣m+2＝1﹣m，
∴m＝1（舍去），m＝﹣，
∴点E（﹣，）
②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，
∵点A（0，2），点E（﹣，），
∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，
∴点N坐标（﹣1，）
∴DH＝＝，HN＝＝，
∴DH＝NH，且EH⊥DN，
∴∠DEH＝∠NEH，
∴点F到AE，DE的距离相等，
∴DN∥y轴，EH⊥DN，
∴EH⊥y轴，
∴EF＝；
当点F在x轴上时，∵∠DEH＝∠NEH，
∴∠AEP＝∠GEP，
∴点P与点F重合时，点F到AE，DE的距离相等，
∴EF＝，
③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，
∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，
∴△AOP≌△HOQ（SAS）
∴AP＝QH，
∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，
∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，
∴AP+DQ的最小值＝＝．
18．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），
则有：，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0）．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得顶点M（2，9）
如图1中，作ME⊥y轴于点E，
可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC＝（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5＝15．
（3）存在．如图2中，
∵OC＝OB＝5，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，N1（﹣5，0）．
②当B为直角顶点时，N2（0，﹣5）．
③当N为直角顶点时，N3（0，0）．
综上所述，满足条件的点N坐标为（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点B（3，0）、C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令0＝0，则y＝3，
∴A（0，3），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（0，3）、B（3，0），
∴，∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵A（0，3），B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵FP∥x轴，FR∥y轴，
∴∠FPR＝∠OBA＝45°，∠FRP＝∠OAB＝45°，
∴∠FPR＝∠FRP＝45°，
∴∠PFR＝90°，PF＝FR，
根据勾股定理得，PR＝FR，
∵点R在直线AB上，
∴设点R（t，﹣t+3），
∵FR∥y轴，
∴点F的横坐标为t，
∵点F在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴点F（t，﹣t2+2t+3），
∴PR＝FR＝[（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）]＝﹣（t﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，
当t＝时，PR有最大值，PR的最大值为；
（3）如图，过点C作CG⊥BM于G，交DE于点H，
∵把射线BA绕着点B逆时针旋转90°得到射线BM，
∴∠ABM＝90°，
∵∠OBA＝45°，
∴∠CBE＝∠ABM﹣∠OBA＝45°，
∵DE∥CB，
∴∠DEG＝∠CBE＝45°，
在Rt△HGE中，HG＝HE sin45°＝HE，
根据垂线段最短得，（CH+HE）最小＝CG，
∴CH+HE＝CG＝CB sin45°＝2，
即CH+HE的最小值为2．
20．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∵B（3，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
设点E（0，a），
∵点E'是点E关于抛物线对称轴对称的点，
∴E'（2，a），
∵点E'（2，a）在直线BD上，
∴﹣2×2+6＝a，
∴a＝2，
∴E（0，2）；
（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
∴M（m，﹣m+3），N（m，0），
∴S△AMN＝AN MN＝（m+1）（﹣m+3）＝﹣（m+1）（m﹣3），
设点Q到直线PM的距离为h，
∴S△PQN＝PN h＝（﹣m2+2m+3） h＝﹣（m+1）（m﹣3），
∵△PQN与△AMN的面积相等，
∴﹣（m+1）（m﹣3） h＝﹣（m+1）（m﹣3），
∴h＝1，∴Q的横坐标为（m+1）或（m﹣1），
∴Q（m+1，﹣m2+4）或（m﹣1，﹣m2+4m），
当Q（m+1，﹣m2+4）时，PQ2＝（m+1﹣m）2+[﹣m2+4﹣（﹣m2+2m+3）]2＝（2m﹣1）2+1，
当m＝时，PQ2最小，即PQ最小，此时Q（，），
当Q（m﹣1，﹣m2+4m）时，PQ2＝（m﹣1﹣m）2+[﹣m2+4m﹣（﹣m2+2m+3）]2＝（2m﹣3）2+1，
当m＝时，PQ2最小，即PQ最小，此时Q（，），
即满足条件的点Q（，）或（，）．
