2023年中考数学一轮复习（拔高）：圆的综合题
一、综合题
1．如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，AD＝2BD，ED与AB的延长线相交于点F，连接AD.
（1）求证：DE为⊙O的切线.
（2）求证：△FDB∽△FAD；
（3）若BF＝2，求⊙O的半径.
2．如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）连接AC，求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG AF＝48，CD＝ ，求⊙O的半径．
3．
（1）问题提出：如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为 ；
（2）问题探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；
（3）问题解决：如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD＝2 km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km.现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区.为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小.则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由.
4．如图，在 中， ， 的垂直平分线分别与 ， 及 的延长线相交于点D，E，F，且 ． 是 的外接圆， 的平分线交 于点G，交 于点H，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ，求 的值．
5．如图，在直角三角形 中， ，点 是 的内心， 的延长线和三角形 的外接圆 相交于点 ，连结 .
（1）求证： ；
（2）过点 作 的平行线交 、 的延长线分别于点 、 ，已知 ，圆 的直径为 ，①求证： 为圆 的切线；②求 的长.
6．如图1，已知ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于点D.E是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O，交BC为F，交AB于点G，连结DF，FG.
（1）求证：∠BCD＝∠FDB.
（2）当点E在线段BF上，且DFG为等腰三角形时，求DG的长.
（3）如图2，⊙O与CD的另一个交点为P.若射线AP经过点F，求的值.
7．AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于CD，垂足为D.
（1）如图1，若AC平分∠BAD，求证：CD是⊙O的切线.
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图2，直线CD交⊙O于C、G两点，AG＝2 ，BG＝4，求cos∠CAD的值.
8．如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝10，sinB＝ ，点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿着B→C→D→A的方向运动到点A时停止，设点P运动的时间为ts.
（1）连接AC，判断△ABC是否是直角三角形，试说明理由；
（2）在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的⊙C与AD边相切，求t的值；
（3）在点P出发的同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着C→D→A的方向运动，当P、Q中的一点到达终点A时，另一点也停止运动.求当BP⊥CQ时t的值.
9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证： ；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
10．如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 是 的切线， 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积.
11．如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长。
12．如图，AB为的直径，点C为AB上方上一点且，点D为AB下方上一点，点E为AD上一点，，连接BC，CD，BD.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接CE，若，，求半径的长.
13．如图 ，圆O的两条弦 、 交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
的度数
的度数
的度数
猜想： 、 、 的度数之间的等量关系，并说明理由
（2）如图 ，若 ， ， ，将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点G，连接
①求 的的度数；
②求 ．
14．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为 上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．
（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；
（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．
15．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”.
（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD.证明：四边形ABCE是“等对角四边形”.
（2）如图②，在“等对角四边形”ABCD中，AB=17，BC=18，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，求CD的长.(sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ .)
（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对角四边形”，且∠B＝∠D，则BD的最大值是 .（直接写出结果）
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线DE是⊙O的切线，点A为切点，DE∥BC；
（1）如图1.求证：AB=AC；
（2）如图2.点P是弧AB上一动点，连接PA、PB，作PF⊥PB,垂足为点P,PF交⊙O于点F, 求证：∠BAC=2∠APF；
（3）如图3.在（2）的条件下，连接PC，PA= ，PB= ，PC= ，求线段PF的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠EDO＝∠EAO，
∵AB⊥AC，
∴∠EAO＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠FDB＝∠FAD，
又∵∠F为公共角，
∴△FDB∽△FAD，
（3）解：∵△FDB∽△FAD，
∴ ，且
∵BF＝2
∴ ＝ .
∴DF＝4，AF＝8.
∴AB＝8－2＝6.
∴⊙O的半径是3.
2．【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC
（2）证明：连接 AC，BC，
∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，
∴∠FCG＝∠DAG，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠ADG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠F，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
（3）解：∵△CAG∽△FAC，
∴
∴
∴
在Rt 中，
∵ ，
∴AE＝ ＝6，易知△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE AB
∴AB＝8，
∴⊙O 的半径为 4．
3．【答案】（1）2
（2）解：如图2，由题意得：DM＝MB，
∴点D在以M为圆心，BM为半径的⊙M上，连接AM交⊙M于点D'，此时AD值最小，
过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝EC＝ BC＝ ，
由勾股定理得：AE＝ 4，
∵BM＝4，
∴EM＝4﹣3＝1，
∴AM＝ ，
∵D'M＝BM＝4，
∴AD'＝AM﹣D'M＝ ﹣4，
即线段AD长的最小值是 ﹣4
（3）解：如图3，假设在四边形ABCD中存在点P，
∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，
∴∠ABC＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB＝60°，
∵∠PMB＝∠ABP，
∴∠BPM＝180°﹣∠PBM﹣∠PMB＝180°﹣（∠PBM+∠ABP）＝180°﹣∠ABC＝120°，
以BM为边向下作等边△BMF，作△BMF的外接圆⊙O，
∵∠BFM+∠BPM＝60°+120°＝180°，则点P在 上，
过O作OQ⊥CD于Q，交⊙O于点P，
设点P'是 上任意一点，连接OP'，过P'作P'H⊥CD于H，
可得OP'+P'H≥OQ＝OP+PQ，即P'H≥PQ，
∴P即为所求的位置，
延长CD，BA交于点E，
∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠E＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，
∵AD＝2 ，
∴AE＝DE＝2，
∴BE＝AE+AB＝5，BC＝2BE＝10，CE＝5 ，
∴BM＝BC﹣MC＝6，CD＝5 ﹣2，
过O作OG⊥BM于G，
∵∠BOM＝2∠BFM＝120°，OB＝OM，
∴∠OBM＝30°，
∴∠ABO＝∠ABM+∠MBO＝90°，OB ＝2 ，
∴∠E＝∠ABO＝∠OQE＝90°，
∴四边形OBEQ是矩形，
∴OQ＝BE＝5，
∴PQ＝OQ﹣OP＝5﹣2 ，
∴S△DPC＝ ﹣20，
∴存在点P，使得△DCP的面积最小，△DCP面积的最小值是（ ﹣20）km2.
4．【答案】（1）证明：∵ ， 为 ，
∴
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
（2）解：结论： 与 相切．
理由：如下图，
连接 ，
∵ 是 的中垂线， ，
∴ ，
∴ ．
由（1） ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 与 相切．
（3）解：如下图，
连接 ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ． ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的内接圆，
∴ 为 的直径，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
在 中
∴
∴
即
5．【答案】（1）证明：连结 ，∵点 为 的内心，
∴ ， ，
而 ，
，
又∵ ，
，
∴
（2）解：①连结 ，∵ .
∴ ∥ .
∵ ， ∥ .∴ ，
∴ .
∴ 是圆 的切线；
②如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
在 中， ，∴ ，又 ，
∴ ∽ ，
∴ .∴ ， ，∴又∵ 为内心，∴ ，
而 ∥ ∴ ∽ .
∴ .即 ∴
6．【答案】（1）解：∵DE是直径
∴∠CFD=90°
∴∠BCD+∠CDF=90°
∵CD⊥AB
∴∠FDB+∠CDF=90°
∴∠BCD=∠FDB
（2）解：（i）当DF=DG时，如图：
∵∠CAB=45°，CD⊥AB，AC=3
∴AD=CD=3
∵AB=7
∴BD=7-3=4
∴BC=
∴DF=
∴DG
（ii）如图：
当DF=FG时，过F作FH⊥BD交BD于点H，
∴△DFH∽△CBD
∴
∴
∴DG=2DH=
（iii）如图：
当FG=DG时，∠1=∠2
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4
∴FG=GB=DG
∴DG=
（3）解：如图：
∵四边形PDEF是⊙O圆内接四边形
∴∠APD=∠DEF
∵∠APD+∠PAD=∠DEF+∠EDF=90°
∴∠PAD=∠EDF
连结PG
∵∠PAD=∠EDF
∠ADP=∠DFE=90°
∴△ADP∽△DFE
∴
∵∠PDG=90°
∴PG是直径
∴∠PFG=90°
∵∠FPG=∠FDG=∠BCD
∴△CDB∽△PFG
∴
∴
∴.
7．【答案】（1）证明：如图，连接CO
∵AC平分∠BAD
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴CD是⊙O的切线。
（2）解：如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴ ，
∵ 是 O的内接四边形
∴
∵
∴
∴
∴
在 中，
由勾股定理得：
∴
∴
在 中，
∴
8．【答案】（1）解：假设△ABC是是直角三角形，连接AC，如图，
∵sinB＝ ，
∴∠ABC≠90°
∵AB＝5，BC＝10，
∴
∴
∴△ABC是不是直角三角形；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵sinB＝
∴AE=4，
∴ 与AD相切时，PC=4
①当点P在BC上时，PB=BC-PC=10-4=6，
∴ （s）
②当点P在CD上时，PC+BC=10+4=14，
∴ （s）
③当P在AD上时，PC=4，PD=3，CD=5，PD+DC+CB=18
∴ （s）
∴t的值为：3或7或9；
（3）解：易得，点P在BC上或点P在CD上，不存在BP⊥CQ，
∴P，Q均在AD上，
当点D与点Q重合时，t=5，
P与点Q重合时，t=7.5
∴AQ=15-t，AP=25-2t（t≥7.5）
∵BP⊥CQ，
∴
又 ，
∴ =1
解得， 或 ，
经检验， 或 均为原方程的根，
∴当BP⊥CQ时t的值为10或12.
9．【答案】（1）（2 ，2）
（2）解：存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO= = ，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°
①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2，∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．
②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD= ．
综上所述，满足条件的AD的值为2或
（3）解：①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBE=∠DCE=30°，∴tan∠DBE= ，∴ = ．②如图2中，作DH⊥AB于H．
在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH= AD= x，AH= = ，∴BH= ，在Rt△BDH中，BD= = ，∴DE= BD= ，∴矩形BDEF的面积为y= = ，即 ，∴ ，∵ ＞0，∴当x=3时，y有最小值 ．
10．【答案】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，延长 交 于点 ， 交 于点 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为20；
（3）解：在 中， ，
∴ ，
∴
∴
在 中，
∴
∴ .
11．【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，
∴∠PCA=∠B；
（2）解：∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，∵AB=12，∴AO=6，当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧长==，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长==，
当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长==，
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为或或．
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
在和 中，
∴ ，
∴；
（3）证明：过O作于M，
∴，，
又
∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得，
即
在中，，，且，
∴，
即的半径为
13．【答案】（1）解： 的度数 的度数 理由如下：
连接 ，如图 ，
∵ ， 的度数， 的度数，
的度数 的度数 ；
（2）解： 连接 、 、 ，作 于H， 于F，如图 ，
将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点G，
， ，
由 得 的度数 的度数 ，
的度数 的度数 ，
即 的度数为 ，
，
，
而 ，
；
②∵ ，
，
在 中， ， ，
在 中， ．
14．【答案】（1）证明： ，
，
， ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）解：①补全图形如图3所示；
CD、DE、DF之间的数量关系是： ，理由如下：
如图 3，由旋转的性质得： ，
由（1）得： ，
，
，
，
，
，
；
②当 时， ，
如图4，过点C作 ，垂足为H，
则由△ABC的面积可得： ，
，
，
∵CD是直径，∴∠CED=90°，
， ，
，
，即： ，解得 ，
∴ ，
，
， ，
，
，
．
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADE，
∵AE＝AD，
∠E＝∠ADE，
∴∠B＝∠E，
∴四边形ABCE是“等对角四边形”
（2）解：如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
又∠B＝90°，
∴四边形EBFD为矩形，
∴BE＝DF，BF＝DE，
在Rt△CDF中，
tan∠FCD＝ ＝tan53°＝ ，
设DF＝4x，CF＝3x ，则CD＝5x
∴BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，
在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A＝ ，
∴3DE＝4AE，
3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），
∴x＝2，
CD＝5x＝10
（3）4 +4
16．【答案】（1）证明：如图1中，连接OA，延长AO交BC于H．
∵DE是切线，
∴OA⊥DE，
∵DE∥BC，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴AB=AC．
（2）证明：如图2中，连接OA、BF．
∵BP⊥PF，
∴∠BPF=90°，
∴BF是直径，
∵OB=OA，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
由（1）可知，AB=AC，AO⊥BC，
∴OA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠3=2∠1，
∴∠BAC=2∠APF．
（3）解：如图3中，连接AF、CF、BF、OA延长OA交BC于H，在AB上取一点K，使得∠BPK=∠APC，作BM⊥PC于M．
∵∠BPK=∠APC，∠AFP=∠PBK，
∴△APC∽△KPB，
∴PB AC=BK PC ①
∵∠APK=∠CPB，∠PAK=∠PCB，
∴△APK∽△CPB，
∴PA BC=PC AK ②，
①+②得PB AC+PA BC=PC AB，
∵AB=AC，
∴ ，
设BC= k，AB=AC= k，⊙O的半径为r．
在Rt△ABH中，AH= = k，
在Rt△OBH中，∵OB2=OH2+BH2，
∴r2=（ k）2+（ k-r）2，
∴r= k，
在Rt△FBC中，sin∠BFC= ，
∴cos∠BFC= ，
在Rt△PBM中，∵PB=5 ，∠BPC=∠BFC，
∴PM=PB cos∠PBC= ×5 =4 ，BM=PB sin∠BPC=5 × =3 ，
∴CM=PC=PM=3 ，
∴BM=CM=3 ，
∴BC= CM=6，
∴ k=6，
∴k=3 ，
∴r= ×3 =5，
在Rt△PBF中，PF= =5
