2023年中考数学一轮复习提升训练：动点产生的问题
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点 A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（ ）s时，△APQ是直角三角形．
A．2.4 B．3 C．2.4或3 D．3或4.8
2．如图，矩形ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，AB＝2，AD＝4，动点P沿EC，CD，DF的路线由点E运动到点F，则△PAB的面积s是动点P运动的路径总长x的函数，这个函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 ，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
5．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，AB是 的直径， ，P是圆周上一动点（点P与点A、点B不重合）， ，垂足为C，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在 中， ， ，点M从点A出发以每秒 的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒 的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当 是以 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=7，AD=5，对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEF，（E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（ ）
A．12 B． C．18 D．
9．如图，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6），连接DE，当与相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
10． 中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当与全等时，v的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5
11．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM=3 ， AN=5， P是直线l外一点，且∠PAN＝60°， AP=1， 若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为 ，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
二、填空题
13．如图，在 中， ， ，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是 ．
14．如图，正方形ABCD边长为4，点P在对角线AC上（不含端点），以PA，PB为邻边作，则对角线PQ长度的最小值为 ．
15．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 .
16．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作 于点E， 于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：① ；② ；③ ；④EF的最小值是 ．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
17． 如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=8，则△DEF面积的最大值为 .
18．如图，点 C在线段 BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且 AC＝5cm，CE＝6cm，点P以 2cm/s的速度沿 A→C→E向终点E运动，同时点 Q以 3cm/s的速度从 E 开始，在线段 EC上往返运动（即沿 E→C→E→C→…运动），当点 P到达终点时，P，Q同时停止运动．过 P，Q分别作 BD的垂线，垂足为 M，N．设运动时间为 ts，当以 P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为 ．
三、综合题
19．已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示BD的长；
（2）求AB的长；
（3）求AB边上的高；
（4）当△BCD为等腰三角形时，求t的值
21．如图，在平面直角坐标系中， 满足 ， ，点 、 分别在 轴和 轴上，当点 从原点 开始沿 轴的正方向运动时，则点 始终落在 轴上运动，点 始终在第一象限运动．
（1）当 轴时，求点 的坐标；
（2）随着 、 的运动，当点 落在直线 上时，求此时 点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形面积是 ？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．如图，在四边形中，//，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始：
（1）当运动，判断此时：四边形的形状，并证明．
（2）当时，求长．
（3）当时，需经过多少时间？
23．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．
24．如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ．以点 为圆心，分别以 、 为半径作大小两个半圆，连结 ．
（1）求证： ；
（2）设小半圆与 相交于点 ， ．
①当 取得最大值时，求其最大值以及 的长；
②当 恰好与小半圆相切时，求弧 的长．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】D
12．【答案】B
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】10.5
16．【答案】①③④
17．【答案】4
18．【答案】1或 或
19．【答案】（1）解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
依题意，得： ×（16-3t+2t）×6=33，
解得：t=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）解：过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，
∴PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，
解得：t1= ，t2= ．
答：P，Q两点出发 秒或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，BC＝30cm，AC＝40cm，
根据勾股定理得，AB＝ ＝ ＝50cm，
当点D运动到点A时，t＝ ＝25秒，
∵点D的运动速度为2cm/s，
∴BD＝2t（0≤t≤25）
（2）解：由（1）知，AB＝50cm
（3）解：如图1，过点C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积得，S△ABC＝ AC BC＝ AB CE，
∴CE＝ ＝ ＝24cm，
即：AB边上的高为24cm
（4）解：∵△BCD为等腰三角形，
∴①当BC＝BD时，由（1）知，BD＝2t，
∴2t＝30，
∴t＝15；
②当CD＝CB时，如图1，过点C作CE⊥BD于E，
∴BD＝2BE＝2t，
∴BE＝t，
∵∠BEC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCA，
∴ ，
∴BE＝ ＝18，
∴t＝18；
③当BD＝CD时，如图2，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD＝CD，DF⊥BC
∴BF＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BFD＝90°，
∴DF∥AC，
即：DF是△ABC的中位线，
∴BD＝ AB＝25，
∴2t＝25，
∴t＝12.5，
即：当△BCD是等腰三角形时，t的值为12.5秒或15秒或18秒．
21．【答案】（1）解： ， ，
， ，
轴， ， ，
， ， ， 点的坐标为 ；
（2）解：过 点作 轴，垂足于 ，
， ， ，
， ，
，
， ，
点在 上， 设 ，
， ， ，
， ， ， ，
；
（3）解：当点D在y轴正半轴时，设 ，作 轴于点E，如图，
，
解得： ，即 ；
当点D在y轴负半轴时，设 ，如图，
，
解得 ，即 ；
∴ 或 ．
22．【答案】（1）解：四边形PQCD为平行四边形，
证明：由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t，
运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm，
又∵AD=24cm，
∴PD=AD-AP=18cm=CQ，
∵AD∥BC，
∴PD∥CQ，PD=CQ，
∴四边形PQCD为平行四边形；
（2）解：当PQ=8cm时，PQ=AB=8cm，
又∵∠B=90°，
∴四边形APQB为矩形，
∴BQ=AP，
即26-3t=t，
∴AP=t=6.5，
∴AQ=；
（3）解：若PQ=DC，分两种情况：
①PQ∥DC，由（1）可知，t=6，
②PQ与CD不平行，过点P作PS∥CD，PM⊥BC于M，
由四边形PDCS为平行四边形得，PD=CS=24-t，PS=CD，
由四边形ABMP为矩形得，BM=AP=t，
∴MS=26-24=2，
∵PQ=PS=CD，
∴QM=MS=2，
∴3t=4+24-t，
解得：t=7．
综上所述，满足条件的t的值为6或7．
23．【答案】（1）证明：∵CD∥AB∴∠BAC=∠DCA又∵AC⊥BC，∠ACB=90°
∴∠D=∠ACB= 90°
∴△ACD∽△BAC
（2）解：
∵△ACD∽△BAC
∴ ，即 ，解得：
（3）解：过点E作AB的垂线，垂足为G，
∴△ACB∽△EGB
∴ 即 解得 = = 故当t= 时，y的最小值为19
24．【答案】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
∴
（2）解：①当 时， 取得最大值，
最大值 ，
在 中， ，
∴ ；
②当 恰好与小半圆相切时， ，
∵在 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴弧 的长
