专题12一次函数的应用与综合问题
1.理解一次函数与方程（组）的关系，能利用一次函数求方程（组）的解；
2.理解一次函数与不等式（组）的关系，会利用一次函数的图象、性质解决不等式的有关问题；
3.会利用一次函数的性质解决实际问题.
4.一次函数与其他知识的综合运用
1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在 时所对应的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在 时所对应的x的取值范围．
3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的 ．
4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
5.一次函数的应用及综合问题:
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
1．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江衢州·中考真题）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（ ）
A．15km B．16km C．44km D．45km
3．（2019·浙江衢州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2019·浙江·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____．
5．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，则的面积为______．
6．（2022·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校一模）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则乙出发________小时后和甲相遇．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
8．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．
(1)求出a的值；
(2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；
(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？
9．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
10．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像．
(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．
11．（2021·浙江绍兴·中考真题）I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式．
（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米．
12．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
考点一、一次函数的应用：行程问题
例1（2022 北仑区校级三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．y表示车离学校的距离（千米），x表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：
（1）学校离大剧院相距 千米，汽车的速度为 千米/小时；
（2）求线段BC所在直线的函数表达式；
（3）若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米/小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
【变式训练】
1．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．
(1)求甲、乙两人出发时的速度分别为多少米/分？
(2)甲、乙两人相遇时，甲出发了几分钟？
(3)乙比甲晩几分钟到达地？
2．（2021·浙江·宁波市北仑区顾国和外国语学校三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．表示车离学校的距离（千米），表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：
(1)学校离大剧院相距 千米，汽车的速度为 千米小时；
(2)求线段所在直线的函数表达式；
(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
3．（2022·浙江·宁波市海曙区储能学校九年级阶段练习）甲、乙两车从地出发， 沿同一路线驶向地， 甲车先出发匀速驶向地， 15 分钟后， 乙车出发， 匀速行驶一段时间后， 在途中的货站装货耗时10分钟． 由于满载货物， 为了行驶安全， 速度减少了， 结果与甲车同时到达地， 甲、乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示．
(1)___________， 甲的速度是___________．
(2)求线段对应的函数表达式．
(3)直接写出甲出发多长时间， 甲乙两车相距．
4．（2021·浙江·宁海县跃龙中学三模）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计）结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位h）之间的函数图象如图所示．
(1)A市和B市之间的路程是 km；
(2)求a的值．并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
(3)快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距90km？
5．（2022·浙江金华·八年级期末）小刚与小慧两人相约末登东舰峰，人距地面的高y（米）与登山时间x（分）之间函数图象如图所示，根据图象所提信息解答下列问题：
(1)小刚登山上升的速度是每分钟 米，小慧在A地距地面的高度b为 米；
(2)若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，请求出小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
(3)登山多长时间后，两人距地面的高度差为70米？
考点二、一次函数的应用：最大利润问题
例2（2021秋 武义县期末）八上作业本（2）第41页课题学习《怎样选择较优方案》的内容如下：某工厂生产一种产品，该产品每件的出产价为1万元，其原料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均生产一件产品产生1吨废渣．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种方案可供选择：
方案一：由工厂对废渣进行直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费．
通过合作学习发现：该产品每件的出厂价和成本都相同，只需考虑处理费用的高低判断哪种方案更合适，同学们编成下列问题求解．若设工厂每月生产产品x件．
（1）求每种方案每月废渣处理费y（万元）与x（件）的函数表达式．
（2）若工厂每月生产产品件数x的范围是300≤x≤600，你会如何进行选择？
（3）若工厂一个月生产产品500件，求这个月工厂生产这批产品的最大利润多少万元．
【变式训练】
1.（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院八年级期中）习近平总书记说： “人民群众多读书， 我们的民族精神就会厚重起来、深遂起来．” 某书店计划在4月23日世界读书日之前， 同时购进两类图书， 已知购进3 本类图书和4本类图书共需元； 购进6本类图书和2本类图书共需元．
(1)两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划用元全部购进两类图书， 设购进类本，类本．
①求关于的关系式；
②进货时， 类图书的购进数量不少于本， 已知类图书每本的售价为元， 类图书每本的售价为元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
2．（2021·浙江温州·八年级期末）某商场要印制A、B两种商品宣传单共份，其中A商品宣传单每份收1元印制费，另收元制版费；B商品宣传单每份收元印制费，不收制版费．设印制A商品宣传单x份，印制A、B两种商品宣传单总费用y元．
(1)求出印制总费用y（元）与印制A商品宣传单数量x（份）之间的关系式．
(2)若印制A商品宜传单的费用不高于印制B商品宣传单的费用，求A、B两种商品宣传单各印制多少份，才能使得印制总费用最低？最低印制总费用是多少元？
(3)为加大宣传力度，商场决定再投入元加印A、B两种商品宣传单，印制费用标准与原来相同．若加印的A商品宣传单的数量要小于加印的B商品宣传单的数量的，则最多可以加印A、B两种商品宣传单共______份．
3．（2022·浙江·温州市第三中学模拟预测）某商店决定购进，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同．
(1)求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价（元/件）
销售量（件） 100
①当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进，型纪念品共200件，其中型纪念品的件数小于型纪念品的件数，但不小于50件．若型纪念品的售价为元/件时，商场将，型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求的值．
4．（2022·浙江·八年级专题练习）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．
(1)求A、B两种书的进价；
(2)书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．
5．（2022·浙江·杭州市杭州中学八年级期中）某水产品市场管理部门规划建造面积为2400的集贸大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28，月租费为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20，月租费为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%．
(1)试确定A种类型店面的数量范围；
(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，A种类型店面的出租率为，B种类型店面的出租率为．为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？
考点三、一次函数的应用：方案设计问题
例3（2021秋 上虞区期末）元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
4方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 188
每月免费使用流量（GB） 10 m 无限
超出后每GB收费（元） n n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知l1∥l2）．解答下列问题：（1）填空：表中的m＝ ，n＝ ；
（2）在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式；
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？
【变式训练】
1．（2020·浙江·金华市第五中学八年级期末）为了争创全国文明卫生城市，优化城市环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：
A B
价格（万元/台） a b
节省的油量（万升/年） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比买一台B型车多20万元，购买2台A型车比买3台B型车少60万元．
(1)请求出a和b；
(2)若购买这批混合动力公交车（两种车型都要有）每年能节省的汽油最大为22.4升，请问有哪几种购车方案？
(3)求（2）中最省线的购买方案所需的购车款．
2．（2022·浙江·八年级专题练习）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
(1)用含有t的式子填写下表：
方式一计费/元 58 ______ 108 ______
方拾二计费/元 88 88 88 ______
(2)当t为何值时，两种计费方式的费用相等？
(3)当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家商场都有优惠活动：
甲商场：所有商品均打九折（按标价的）销售；
乙商场：买一副羽毛球拍送个羽毛球．
设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．
请解答下列问题：
(1)分别写出，与之间的关系式．
(2)若只能在一家超市购买，当取何值时，在甲商场购买更划算．
(3)若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配个羽毛球，则购买费用最少为多少元？
4．（2022·浙江·八年级专题练习）某公司现有一批270吨物资需要运送到A地和B地，公司决定安排大、小货车共20辆，运送这批物资，每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如下表：
目的地 车型 A地（元／辆） B地（元／辆）
大货车 800 1000
小货车 500 600
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援：当我省疫情严重时，急需大量医疗防护物资，现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t，现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t，现C市需要物资240t，D市需要物资260t．请回答下列问题：
调入地 调出地 C D 总计
A x 200
B 300
总计 240 260 500
(1)若设从A城往C市运xt完成下表（写化简后的式子）．
(2)求调运物资总运费y与x之间的函数关系式，写出自变量取值范围．（运费＝调运物资的重量×每吨运费）
(3)求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
考点四、一次函数的应用：行程问题
例4（2019秋 海曙区校级期末）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，直线与直线相交于点A，且直线与x轴交于点B．
(1)求出点A的坐标，并直接写出当时x的取值范围；
(2)点P是线段AB上一点，且△POB的面积是△AOB的面积的，请求出点P的坐标．
2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像交于点．
(1)求a的值及△ABO的面积；
(2)若一次函数的图像与轴交于点，且正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点，求的值；
(3)直接写出关于的不等式的解集．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．与直线y＝x相交于点A．
(1)求A点坐标；
(2)如果在y轴上存在一点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
(3)在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2022·浙江台州·七年级期末）阅读下列材料，解答提出的问题．
我们知道，二元一次方程有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象，记作直线．
(1)【初步探究】下列点中，在方程的图象上的是______；
A． B． C．
(2)在所给的坐标系中画出方程的图象；
(3)【理解应用】直线，相交于点M，求点M的坐标；
(4)点，分别在直线，上．当时，请直接写出a的取值范围．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）有这样一个问题：探究函数的图像与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．
(1)①函数的自变量x的取值范围是_____________；
②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … …
(3)函数和函数的图像如图所示，观察函数图像可发现：
①的图像向___________平移________个单位长度得到，的图像向___________平移________个单位长度得到；
②当时，x＝_____________；
③观察函数的图像，写出该图像的一条性质．
考点五、一次函数与方程不等式问题
例5（2022秋 萧山区月考）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+l的图象上，求a的值；
（2）若当m≤x＜m+3时，函数有最大值M，最小值N，且M﹣N＝3，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【变式训练】
1．（2022·浙江丽水·八年级期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，1)．
(1)若函数图象还经过点(－1，3)，
①求这个函数的表达式；
②若点P（a，a＋3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求a的值．
(2)若函数图象与x轴的交点的横坐标满足2＜＜3，求k的取值范围．
2．（2021·浙江·杭州江南实验学校三模）一次函数（a为常数，且a≠0）．
(1)若点（﹣1，3）在一次函数的图像上，求a的值；
(2)若，当时，函数有最大值5，求出此时一次函数的表达式；
(3)对于一次函数（），若对任意实数x，都成立，求k的取值范围．
3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）设函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P．
(1)求证：点P在y轴的右侧．
(2)已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大．
①当x=2时，y2-y1=2，求a的取值范围．
②若点P的坐标是（1，1），且a>b，求证当x=2时．
4．（2022·浙江杭州·八年级期末）设函数，（，为常数，且）．函数和的图象的交点为点．
(1)求证：点在轴的右侧．
(2)已知点在第一象限，函数的值随的增大而增大．
①当时，，求的取值范围．
②若点的坐标是，且，求证：当时，．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）已知一次函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（ab≠0，且a≠b）．
(1)若y1过点（1，2）与点（2，b﹣a﹣3）求y1的函数表达式；
(2)y1与y2的图象交于点A（m，n），用含a，b的代数式表示n；
(3)设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围．
考点六、一次函数的性质推理计算与证明
例6（2022秋 鄞州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C坐标为（1，0），连结BC．
（1）求点B的坐标及线段BC的长度；
（2）将线段BC沿y轴向下平移a（a＞0）个单位至B'C′，连结B'A，C'A．
①当△AB′C′为直角三角形时，求a的值；
②当△AB'C′周长最小时，a的值是 ；此时，最小周长等于 ．
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市江北区实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，点为x轴上一动点，点P与点Q关于直线对称．
(1)如图1，直接写出点Q的坐标；（用含n的式子表示）
(2)如图2，当时，连接，过点Q作于点D，交于点E．
①若，求的度数（用含α的式子表示）；
②求点E的坐标（用含n的式子表示）．
2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；
(2)若点P是直线上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；
(3)在（2）的基础上，若点C在第一象限，且为等腰直角三角形，求点C的坐标．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：过点P，与x轴交于点C．
(1)求点P的坐标和的表达式；
(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，的面积等于3；
③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
4．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足
．
(1)a＝ ；b＝ ．
(2)点P在直线的右侧，且；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；
②若为直角三角形，求点P的坐标．
5．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院八年级期中）如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数与轴交于点， 与轴交于点， 点为线段的中点， 过点作轴， 垂足为．
(1)求两点的坐标；
(2)若点为轴负半轴上一点， 连接交轴于点， 且， 在直线上有一点， 使得最小， 求点坐标；
(3)如图2， 直线上是否存在点 使得，若存在， 请求出点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
专题12一次函数的应用与综合问题
1.理解一次函数与方程（组）的关系，能利用一次函数求方程（组）的解；
2.理解一次函数与不等式（组）的关系，会利用一次函数的图象、性质解决不等式的有关问题；
3.会利用一次函数的性质解决实际问题.
4.一次函数与其他知识的综合运用
1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．
2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y>0(或y<0)时所对应的x的取值范围．
3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．
4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．
5.一次函数的应用及综合问题:
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
1．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，四边形是矩形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
整理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
2．（2021·浙江衢州·中考真题）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（ ）
A．15km B．16km C．44km D．45km
【答案】A
【分析】根据图象信息和已知条件，用待定系数法求出， ，（），再根据追上时路程相等，求出答案．
【详解】解：设，将（3,60）代入表达式，得：
，解得：，
则,
当y=30km时，求得x=，
设 ，将（1,0），，代入表达式，得：
，得：，
∴ ，
∴，，
∵乙在途中休息了半小时，到达B地时用半小时，
∴当时，设，将（2,30），代入表达式，得到：
，得：，
∴（），
则当时，，
解得：，
∴,
∴当乙再次追上甲时距离A地45km
所以乙再次追上甲时距离地
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用一次函数图像解决实际问题，关键在于理解题意，明白追击问题中追上就是路程相等，再利用待定系数法求出函数表达式，最后进行求解．
3．（2019·浙江衢州·中考真题）如图，正方形的边长为4，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.
【详解】①当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，
∴ ，
②当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
，
，
，
③当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴ ，
综上所述：与的函数表达式为：
.
故答案为C.
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
4．（2019·浙江·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____．
【答案】（32，4800）
【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【详解】由题意可得，150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为（32，4800）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键．
5．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，则的面积为______．
【答案】2
【分析】根据题意求出A、B点的坐标，然后求出面积即可．
【详解】解：直线交x轴于点A．
令，则，解得：
点A的坐标为
直线交y轴于点B．
令，则，解得：
点B的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数中求与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握坐标轴上点的特征并利用函数表达式求出关键点的坐标是解本题的关键．
6．（2022·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校一模）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则乙出发________小时后和甲相遇．
【答案】
【分析】根据题意得出甲、乙两人离开地的距离与时间的关系式，再联立方程组解答即可．
【详解】解：乙提高后的速度为：，
由图象可得：；
，
由方程组，
解得，
（小时），
即乙出发小时后和甲相遇．
故答案为：．
【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米
(2)点B的坐标是，s＝60t－60
(3)小时
【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解；
(2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式；
(3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值
【详解】（1）解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时．
根据题意，得:,
解得x＝2．
则(千米)，
∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．
（2）解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，
∴点B的坐标是．
由题意，得点A的坐标为．
设AB所在直线的解析式为，
则：
解得k＝60，b＝－60．
∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60．
（3）解：由题意，得，
解得：，
故a的值为小时．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义．
8．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．
(1)求出a的值；
(2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；
(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【答案】(1)1.5
(2)s=100t-150
(3)1.2h
【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a的值；
（2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系数法解出k和b的值即可；
（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．
（1）
由图中可知，货车a小时走了90km，
∴a=；
（2）
设轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=kt+b，
将（1.5，0）和（3，150）代入得，
，
解得，，
∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=100t-150；
（3）
将s=330代入s=100t-150，
解得t=4.8，
两车相遇后，货车还需继续行驶：(h)，
到达乙地一共：3+3=6（h），
6-4.8=1.2(h)，
∴轿车比货车早1.2h时间到达乙地．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用待定系数法求函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
9．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；
（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
10．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像．
(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．
【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5），图见解析
(2)4小时
【分析】（1）观察表格数据，的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图像即可求解；
（2）根据，代入解析式求得的值即可求解．
【详解】（1）（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，
得解得
∴y＝x＋1（0≤x≤5）．
（2）当y＝5时，x＋1＝5，
∴x＝4．
答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，求一次函数的解析式，根据题意建立模型是解题的关键．
11．（2021·浙江绍兴·中考真题）I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式．
（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米．
【答案】（1）；（2）无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米
【分析】（1）直接利用I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，求出其5分钟后的高度即可；
（2）将I号无人机的高度表达式减去II号无人机高度表达式，令其值为28，求解即可．
【详解】解：（1）．
设，
将，代入得：
，
∴；
．
（2）令，
解得，满足题意；
无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，涉及到了求一次函数的表达式，两个一次函数值之间的比较等内容，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能建立高度的表达式等，本题着重于对函数概念的理解与应用，考查了学生的基本功．
12．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
规格 每包食材含量 每包单价
A包装 1千克 45元
B包装 0.25千克 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元
【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；
（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；
②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．
【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，解得．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
（元）．
答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．
（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．
由题意得，解得
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．
②设为包，则为包．
记总利润为元，则
．
的数量不低于的数量，
，．
， 随的增大而减小。
当时，的最大值为2800元．
答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．
考点一、一次函数的应用：行程问题
例1（2022 北仑区校级三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．y表示车离学校的距离（千米），x表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：
（1）学校离大剧院相距 15 千米，汽车的速度为 60 千米/小时；
（2）求线段BC所在直线的函数表达式；
（3）若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米/小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
【分析】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；
（2）设步行速度为m千米/小时，可得：（m+60）＝2×15，即可解得B（，），从而可得C（，15），用待定系数法得线段BC所在直线的函数表达式为y＝60x﹣；
（3）由学生全部达到大剧院时，x＝，出租车到达大剧院时，x＝0.5+＝，知该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，再画出图象即可．
【解答】解：（1）由图象可得，学校与大剧院相距15千米，汽车的速度为15÷＝60（千米/小时），
故答案为：15，60；
（2）设步行速度为m千米/小时，
根据题意得：（m+60）＝2×15，
解得m＝4，
∴步行的路程为×4＝（千米），
∴B（，），
∵+（15﹣）÷60＝，
∴C（，15），
设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
将B（，），C（，15）代入得：
，
解得，
∴线段BC所在直线的函数表达式为y＝60x﹣；
（3）该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，理由如下：
由（2）知，学生全部达到大剧院时，x＝，
出租车到达大剧院时，x＝0.5+＝，
∴该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象如下：
【变式训练】
1．（2022·浙江·慈溪实验中学三模）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．
(1)求甲、乙两人出发时的速度分别为多少米/分？
(2)甲、乙两人相遇时，甲出发了几分钟？
(3)乙比甲晩几分钟到达地？
【答案】(1)300米/分，250米/分
(2)45分钟
(3)12分钟
【分析】（1）根据题目所给的图象和，即可求出甲乙两人一开始的速度；
（2）根据行程问题中的追及公式：，即可求得答案；
（3）利用甲行驶的时间和速度，求得总路程，即可求得答案
【详解】（1）由图可知，乙在最开始的5分钟内行驶了1500米
∴乙出发时的速度为：（米/分）
当乙行驶了25分钟时，甲、乙两人相距2500米，乙比甲早出发5分钟
∴乙行驶了25分钟的路程为：（米），
此时甲行驶的时间为：（分钟）
∴甲出发时的速度为：（米/分）
（2）甲提速后的速度为：（米/分）
当甲、乙两人相遇时，甲花的时间为：（分钟）
则甲一共行驶的时间为：（分钟）
（3）当甲到达地时，甲一共行驶的时间为：（分钟）
则，两地的路程为：（米），
当乙行驶到B地时，乙花的时间为：（分钟）
当乙行驶到B地时，乙比甲晩到的时间为：（分钟）
【点睛】本题主要考查了函数图象以及行程问题，从函数图象上获取相关信息是解本题的关键．
2．（2021·浙江·宁波市北仑区顾国和外国语学校三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．表示车离学校的距离（千米），表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：
(1)学校离大剧院相距 千米，汽车的速度为 千米小时；
(2)求线段所在直线的函数表达式；
(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
【答案】(1)15，60
(2)
(3)该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象见解析
【分析】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；
（2）设步行速度为千米小时，可得：，即可解得，，从而可得，，用待定系数法得线段所在直线的函数表达式为；
（3）由学生全部达到大剧院时，，出租车到达大剧院时，，知该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，再画出图象即可．
【详解】（1）解：由图象可得，学校与大剧院相距15千米，
汽车的速度为（千米小时），
故答案为：15，60；
（2）设步行速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
步行的路程为（千米），
，，
，
，，
设线段所在直线的函数表达式为，
将，，，代入得：
，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
（3）该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，理由如下：
由（2）知，学生全部达到大剧院时，，
出租车到达大剧院时，，
该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象如下：
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，结合图象，学会利用函数的思想求解问题．
3．（2022·浙江·宁波市海曙区储能学校九年级阶段练习）甲、乙两车从地出发， 沿同一路线驶向地， 甲车先出发匀速驶向地， 15 分钟后， 乙车出发， 匀速行驶一段时间后， 在途中的货站装货耗时10分钟． 由于满载货物， 为了行驶安全， 速度减少了， 结果与甲车同时到达地， 甲、乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示．
(1)___________， 甲的速度是___________．
(2)求线段对应的函数表达式．
(3)直接写出甲出发多长时间， 甲乙两车相距．
【答案】(1)，80
(2)
(3)h或h或h或h
【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时10分钟易得；甲从M到N共用了小时，利用速度公式计算甲的速度即可；
（2）求出A的坐标，用待定系数法可得的表达式；
（3）分四种情况：乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米；乙车出发后，在甲车后面10千米；乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米处；乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，分别解得即可．
【详解】（1），
甲车速度： ，
故答案为：，80；
（2）甲车先出发15分钟，乙出发时，甲距M地（千米），
，
设线段的函数表达式为：，
将代入得：，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）乙车出发前，甲车出发，与乙车相距10千米；
设乙车开始的速度为x，，
解得，
乙车出发后，在甲车后面10千米，设此时甲车已经出发m小时，
则，
解得；
乙出发后追上甲车，在甲车前面10千米时，
设此时甲车已经出发n小时，
，
解得；
乙车减速后，甲车在乙车后面10千米处，设此时甲车已经出发p小时，
，
解得，
综上所述，甲出发h或h或h或h，甲乙两车相距10千米．
【点睛】本题考查一次函数及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，运用分类讨论思想解决问题．
4．（2021·浙江·宁海县跃龙中学三模）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计）结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位h）之间的函数图象如图所示．
(1)A市和B市之间的路程是 km；
(2)求a的值．并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
(3)快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距90km？
【答案】(1)360
(2)a＝120，点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇．
(3)快车与慢车迎面相遇以后，再经过0.5h或2.5h两车相距90km．
【分析】（1）由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离；
（2）根据题意得快车速度是慢车速度的2倍，观察图象知2小时快车与慢车迎面相遇，列出方程可求得答案；
（3）利用待定系数法分别求出AB、BC、OC的解析式，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知：A市和B市之间的路程是360 km，
故答案为：360；
（2）解：∵快车与慢车同时出发，又同时到达A市，
∴在整个行进过程中，在相同的时间内，快车走了两个A市与B市的距离，而慢车只走了一个A市与B市的距离，
∴快车的速度是慢车速度的两倍，
设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h．
根据题意，得 2(x＋2x)＝360，
解得x＝60．
2×60＝120，
∴a＝120．
∴点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇．
（3）解：由（2）得快车速度为120 km/h，到B市后又回到A市的时间为（h）．慢车速度为60 km/h，到达A市的时间为360÷60＝6（h）．
如图：
当0≤x≤3时，
设AB的解析式为：
由图象得：，；，；代入得：
解得：
∴AB的解析式为：y＝－120x＋360(0x≤3)．
当3＜x≤6时，
设BC的解析式为：
由图象得：，；，；代入得：
解得：
∴函数的解析式为： ．
设OC的解析式为：
由图象得：，；代入得：
，
解得：，
∴OC的解析式为：．
当0≤x≤3时，
根据题意，得，即，
解得，，
当3＜x≤6时，
根据题意，得，即，
解得，．
∴快车与慢车迎面相遇以后，再经过0.5h或2.5h两车相距90km．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
5．（2022·浙江金华·八年级期末）小刚与小慧两人相约末登东舰峰，人距地面的高y（米）与登山时间x（分）之间函数图象如图所示，根据图象所提信息解答下列问题：
(1)小刚登山上升的速度是每分钟 米，小慧在A地距地面的高度b为 米；
(2)若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，请求出小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
(3)登山多长时间后，两人距地面的高度差为70米？
【答案】(1)10；30
(2)
(3)登山3分钟、10分钟或13分钟时，小刚、小慧两人距离地面的高度差为70米
【分析】（1）根据速度计算公式计算即可；
（2）当时，得到，当时，得到，即可得解；
（3）设解析式为，把和代入解析式求解，在进行分类计算即可；
（1）
小刚登山上升的速度是（米/分钟），
；
故答案是：10；30．
（2）
当时，得到；
当时，；
∴小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为；
（3）
小刚登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式，
把和代入解析式得：，
解得：，
∴小刚登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
∴登山3分钟、10分钟或13分钟时，小刚、小慧两人距离地面的高度差为70米．
【点睛】本题主要考查了一次函数一次函数的应用，准确分析和计算是解题的关键．
考点二、一次函数的应用：最大利润问题
例2（2021秋 武义县期末）八上作业本（2）第41页课题学习《怎样选择较优方案》的内容如下：某工厂生产一种产品，该产品每件的出产价为1万元，其原料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均生产一件产品产生1吨废渣．为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种方案可供选择：
方案一：由工厂对废渣进行直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费．
通过合作学习发现：该产品每件的出厂价和成本都相同，只需考虑处理费用的高低判断哪种方案更合适，同学们编成下列问题求解．若设工厂每月生产产品x件．
（1）求每种方案每月废渣处理费y（万元）与x（件）的函数表达式．
（2）若工厂每月生产产品件数x的范围是300≤x≤600，你会如何进行选择？
（3）若工厂一个月生产产品500件，求这个月工厂生产这批产品的最大利润多少万元．
【分析】（1）根据两种方案付费可得y与x的函数关系式；
（2）结合（1），列出不等式和方程，可解得答案；
（3）结合（2），列式计算即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
方案一：y＝0.05x+20；
方案二：y＝0.1x；
（2）由0.05x+20＜0.1x得：x＞400，
∴400＜x≤600时，选择方案一；
由0.05x+20＝0.1x得：x＝400，
∴x＝400时，两种方案都一样，
由0.05x+20＞0.1x得：x＜400，
∴300≤x＜400时，选择方案二，
综上所述，300≤x＜400时，选择方案二，x＝400时，两种方案都一样，400＜x≤600时，选择方案一；
（3）由（2）可知，工厂一个月生产产品500件，选择方案一利润较大，
∵500×（1﹣0.55）﹣（0.05×500+20）＝500×0.45﹣（25+20）＝180（万元），
∴这个月工厂生产这批产品的最大利润是180万元．
【变式训练】
1．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院八年级期中）习近平总书记说： “人民群众多读书， 我们的民族精神就会厚重起来、深遂起来．” 某书店计划在4月23日世界读书日之前， 同时购进两类图书， 已知购进3 本类图书和4本类图书共需元； 购进6本类图书和2本类图书共需元．
(1)两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划用元全部购进两类图书， 设购进类本，类本．
①求关于的关系式；
②进货时， 类图书的购进数量不少于本， 已知类图书每本的售价为元， 类图书每本的售价为元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)类图书每本的进价是元，B类图书每本的进价是元
(2)①；②购进A类图书本，B类图书本时，才能使书店所获利润最大，最大利润为元
【分析】（1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3 本类图书和4本类图书共需元； 购进6本类图书和2本类图书共需元．”列出方程组，即可求解；
（2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解∶设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意得：
，解得：，
答：类图书每本的进价是元，B类图书每本的进价是元；
（2）解∶ ①根据题意得：，
∴关于的关系式为；
②设书店所获利润为w元，根据题意得：
∵，
∴W随x的增大而减小，
∵类图书的购进数量不少于本，
∴，
∴当时，W由最大值，最大值为，
此时，
答：购进A类图书本，B类图书本时，才能使书店所获利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2021·浙江温州·八年级期末）某商场要印制A、B两种商品宣传单共份，其中A商品宣传单每份收1元印制费，另收元制版费；B商品宣传单每份收元印制费，不收制版费．设印制A商品宣传单x份，印制A、B两种商品宣传单总费用y元．
(1)求出印制总费用y（元）与印制A商品宣传单数量x（份）之间的关系式．
(2)若印制A商品宜传单的费用不高于印制B商品宣传单的费用，求A、B两种商品宣传单各印制多少份，才能使得印制总费用最低？最低印制总费用是多少元？
(3)为加大宣传力度，商场决定再投入元加印A、B两种商品宣传单，印制费用标准与原来相同．若加印的A商品宣传单的数量要小于加印的B商品宣传单的数量的，则最多可以加印A、B两种商品宣传单共______份．
【答案】(1)
(2)当A商品宣传单印制份、B商品宣传单印制份时，才能使得印制总费用最低，最低印制总费用是元
(3)
【分析】（1）根据A商品宣传单的收费，可求出印制总费用y（元）与印制A商品宣传单数量x（份）之间的关系式；
（2）先根据印制A商品宜传单的费用不高于印制B商品宣传单的费用，列出不等式求得的取值范围，再根据y与x之间的函数关系式即可求解；
（3）设加印B商品宣传单a份，则加印A宣传单为份，根据题意列出不等式，得到a，代入函数式计算可得答案．
【详解】（1）解：印制商品宣传单份，则印制宣传单份，
根据题意得（为正整数）．
（2）解：由题意可得，，
解得．
∵中，，
∴y随着x的增大而减小，
∴当时，．
此时，
∴当A商品宣传单印制份、B商品宣传单印制份时，才能使得印制总费用最低，最低印制总费用是元．
（3）解：设加印B商品宣传单a份，则加印A宣传单为份，
根据题意列出不等式，，
解得，
∵为正整数，
∴最多，
∴
∴，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了一次函数图象和应用以及图象上点的性质，培养学生从已知条件获取信息的能力，此题比较典型．
3．（2022·浙江·温州市第三中学模拟预测）某商店决定购进，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同．
(1)求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价（元/件）
销售量（件） 100
①当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进，型纪念品共200件，其中型纪念品的件数小于型纪念品的件数，但不小于50件．若型纪念品的售价为元/件时，商场将，型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求的值．
【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②
【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而得到型纪念品的最大利润，设总利润为，求出函数关系式，根据函数的性质，求出当时，的值即可．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为：元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为：元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②设该商场购进型纪念品件，则购进型纪念品件，由题意，得：，
解得：，
由①可知：当型纪念品的售价为元时，售出型纪念品的利润最大；
设，型纪念品均全部售出后获得的总利润为：，
则：，
整理，得：，
∵，
∴，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，最大值为：，
∴．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．
4．（2022·浙江·八年级专题练习）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．
(1)求A、B两种书的进价；
(2)书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．
【答案】(1)A，B两种书的进价分别为56元，30元
(2)购进A种书75本，B种书25本时总获利最大，最大利润为2500元
【分析】（1）设A种书的进价为元，种书的进价为元，由购进A、两种书各1本需86元，购进A种书5本、种书2本需340元列出方程组求解即可；
（2）设购进A种书本，购进种书本，获利为元，根据总利润等于A，两种书的利润之和列出函数关系式，再根据函数的性质以及的范围求出最大利润．
【详解】（1）解：设A种书的进价为元，种书的进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：A，两种书的进价分别为56元，30元；
（2）解：设购进A种书本，购进种书本，获利为元，
由题意得：，
，
，
，
随增大而减小，
当时，最大，最大值为2500元，
此时（本．
答：购进A种书75本，种书25本时总获利最大，最大利润为2500元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
5．（2022·浙江·杭州市杭州中学八年级期中）某水产品市场管理部门规划建造面积为2400的集贸大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28，月租费为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20，月租费为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%．
(1)试确定A种类型店面的数量范围；
(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，A种类型店面的出租率为，B种类型店面的出租率为．为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？
【答案】(1)A种类型店面的数量
(2)应建造A种类型的店面40间．
【分析】（1）设A种类型店面的数量为间，根据题意列出不等式组进行求解即可；
（2）设月租费为，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）设A种类型店面的数量为间，则：B种类型店面的数量为间，
由题意得：
，
解得：；
∴A种类型店面的数量范围为：A种类型店面的数量；
（2）解：设月租费为，由题意得：
，
；
∵，
∴w随着x的增大而减小，
∵，
∴当时最大；
∴应建造A种类型的店面40间．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用和利用一次函数解决最值问题．根据题意正确的列出不等式和一次函数的解析式是解题的关键．
考点三、一次函数的应用：方案设计问题
例3（2021秋 上虞区期末）元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
4方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 188
每月免费使用流量（GB） 10 m 无限
超出后每GB收费（元） n n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知l1∥l2）．解答下列问题：（1）填空：表中的m＝ 30 ，n＝ 3 ；
（2）在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式；
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？
【分析】（1）根据题意，结合图象可得结论；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）利用A、B方案每月免费流量30GB加上达到C方案所超出的兆数即可．
【解答】解：（1）m＝30，，
故答案为：30，3；
（2）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（10，20），（22，56）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴y关于x的函数表达式y＝3x﹣10（x≥10）；
（3）由图象可知，30+（188﹣56）÷3＝74（GB），
∴当每月使用的流量超过74GB时，选择C方案最划算．
【变式训练】
1．（2020·浙江·金华市第五中学八年级期末）为了争创全国文明卫生城市，优化城市环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：
A B
价格（万元/台） a b
节省的油量（万升/年） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比买一台B型车多20万元，购买2台A型车比买3台B型车少60万元．
(1)请求出a和b；
(2)若购买这批混合动力公交车（两种车型都要有）每年能节省的汽油最大为22.4升，请问有哪几种购车方案？
(3)求（2）中最省线的购买方案所需的购车款．
【答案】(1)a，b的值分别是120，100
(2)有六种购车方案，
方案一：购买A型公交车1辆，购买B型公交车9辆；
方案二：购买A型公交车2辆，购买B型公交车8辆；
方案三：购买A型公交车3辆，购买B型公交车7辆；
方案四：购买A型公交车4辆，购买B型公交车6辆；
方案五：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆；
方案六：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
(3)最省钱的购买方案所需的购车款是1020万元
【分析】（1）根据数量与总价的关系列二元一次方程组解题即可．
（2）根据两种车型都要有及能节省的汽油最大为22.4升，列不等式解题即可．
（3）先求出费用与A型公交车数量之间的关系式，再根据关系式得出结论即可．
（1）
解：根据题意得：，
解得，
∴a，b的值分别是120，100
（2）
解：设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车(10-x)辆，
由题意，得：2.4x+2(10-x)≤22.4，
解得x≤6，
∵两种车型都要有，
∴0＜x＜10，
∴0＜x≤6，
∵x为整数，
∴x=1，2，3，4，5，6
∴有六种购车方案，
方案一：购买A型公交车1辆，购买B型公交车9辆；
方案二：购买A型公交车2辆，购买B型公交车8辆；
方案三：购买A型公交车3辆，购买B型公交车7辆；
方案四：购买A型公交车4辆，购买B型公交车6辆；
方案五：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆；
方案六：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
（3）
设购车款为w万元，
w=120x+100(10-x)=20x+1000，
∴当x=1时，w取得最小值，此时w=1020，
∴（2）中最省钱的购买方案所需的购车款是1020万元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，一次函数的图象和性质的题目，能够根据题意写出等量关系以及不等式是解题关键．
2．（2022·浙江·八年级专题练习）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
(1)用含有t的式子填写下表：
方式一计费/元 58 ______ 108 ______
方拾二计费/元 88 88 88 ______
(2)当t为何值时，两种计费方式的费用相等？
(3)当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
【答案】(1)，，
(2)270
(3)选择方式二划算
【分析】（1）由月使用费＋主叫超时费即可表式；
（2）由（1）得到的代数式，当时，，得到一个取值范围，再列方程即可求解；
（3）由方式一收费－方式二收费得到，再由即可做出判断；
【详解】（1）①当时，方式一收费：；
②当时，方式一收费：；
③方式二当时收费：．
（2）∵当时，，
∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在取得．
∴列方程，解得．
即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．
（3）方式二．
①当时，方式一收费－方式二收费，
当时，，即可得方式二更划算．
②当时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；
③当时，方式一收费，
此时收费>103，故此时选择方式二划算．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式综合，正确理解数量关系列出代数式是解题的关键．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家商场都有优惠活动：
甲商场：所有商品均打九折（按标价的）销售；
乙商场：买一副羽毛球拍送个羽毛球．
设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．
请解答下列问题：
(1)分别写出，与之间的关系式．
(2)若只能在一家超市购买，当取何值时，在甲商场购买更划算．
(3)若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配个羽毛球，则购买费用最少为多少元？
【答案】(1)，
(2)
(3)元
【分析】（1）根据甲乙两家商场销售方法分别计算即可．
（2）根据（1）的结论列不等式即可解决．
（3）采用混合购买的方法解决问题．
【详解】（1）由题意得：．
．
（2）当时，，得．
当时，在甲超市划算．
（3）设在乙超市买副拍，送只羽毛球，则在甲超市买副拍，买个羽毛球，设总费用元，则：
，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
（元）．
购买费用最少为元．
【点睛】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案，属于中考常考题型．
4．（2022·浙江·八年级专题练习）某公司现有一批270吨物资需要运送到A地和B地，公司决定安排大、小货车共20辆，运送这批物资，每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如下表：
目的地 车型 A地（元／辆） B地（元／辆）
大货车 800 1000
小货车 500 600
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【答案】(1)大货车有14辆，小货车有6辆
(2)且x为整数）
(3)使总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往地；4辆大货车、6辆小货车前往地最少运费为15600元
【分析】（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案；
（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围；
（3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值．
【详解】（1）设大货车有辆，则小货车有辆，
根据题意得，
解得：，
答：大货车有14辆，小货车有6辆；
（2）由题意得：
且x为整数）．
（3）由，解得．
则且为整数．
，，y随的增大而减小，
当时，最小值．
答：使总运费最少的调配方案是：10辆大货车前往地；4辆大货车、6辆小货车前往地最少运费为15600元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，理解题意，能列出总费用y与x的函数关系式是解题的关键．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援：当我省疫情严重时，急需大量医疗防护物资，现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t，现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t，现C市需要物资240t，D市需要物资260t．请回答下列问题：
调入地 调出地 C D 总计
A x 200
B 300
总计 240 260 500
(1)若设从A城往C市运xt完成下表（写化简后的式子）．
(2)求调运物资总运费y与x之间的函数关系式，写出自变量取值范围．（运费＝调运物资的重量×每吨运费）
(3)求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多少？
【答案】(1)200－x；240－x；60+x
(2)y＝4x+10040（0≤x≤200）
(3)当x＝0时，y有最小值10040；此时A城运往C市0吨，运往D市200吨，B城运往C市240吨，运往D市60吨，此时运费最少，最少运费为10040元．
【分析】（1）根据出发地和目的地放入数值，分别表示出A、B到C、D的运送量；
（2）根据总费用等于各部分费用之和列出函数解析式；
（3）根据函数的增减性确定函数的最小值得出结果．
【详解】（1）解：（1）A城有医疗防护物资200t，运往C市x吨，则剩下的运往D市（200-x）吨，D市一共需要260吨，则还需要B城运送260-（200-x）=( x+60)吨，B城需要运送到C市（240-x）吨，故答案为：
调入地 调出地 C D 总计
A x 200－x 200
B 240－x 60+x 300
总计 240 260 500
（2）根据题意，y＝20x+25（200－x）+15（240－x）+24（60+x）
＝4x+10040（0≤x≤200）
（3）∵k=4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y有最小值：4×0+10040=10040；
当x＝0时，y有最小值10040；此时A城运往C市0吨，运往D市200吨，B城运往C市240吨，运往D市60吨，此时运费最少，最少运费为10040元．
【点睛】本题考查利用一次函数解决实际问题，解决问题的关键是列出函数解析式，利用函数的增减性得出极值．
考点四、一次函数的应用：行程问题
例4（2019秋 海曙区校级期末）如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
【分析】（1）根据点C（m，2）在直线直线l1：y＝2x﹣2上，可以求得m的值；
（2）根据直线l2过点B（3，1）和点C，即可求得直线l2的解析式；
（3）根据图象可得，在点C的右侧，直线l1在直线l2的上方，在点B的左侧，直线l2对应的函数值大于1，从而可以直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．
【解答】解：（1）把C（m，2）代入y＝2x﹣2，得2m﹣2＝2，
解得m＝2，
即m的值是2；
（2）把C（2，2），B（3，1）代入y＝kx+b，得
，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；
（3）由图象可得，
1＜kx+b＜2x﹣2的解集是2＜x＜3．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，直线与直线相交于点A，且直线与x轴交于点B．
(1)求出点A的坐标，并直接写出当时x的取值范围；
(2)点P是线段AB上一点，且△POB的面积是△AOB的面积的，请求出点P的坐标．
【答案】(1)A（1，2），；
(2)P（，1）．
【分析】（1）联立方程组，求出点A的坐标，结合图象即可得到x的取值范围；
（2）设点P的坐标为：（x，﹣2x+4），先求出点B的坐标，分别表示出△POB和△AOB的面积，列方程求解即可．
（1）
解：联立方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（1，2），
当时，在上方，
此时，；
（2）
解：设点P的坐标为：（x，﹣2x+4），
令，则，解得：x=2，
△AOB的面积：，
∵点P是线段AB上一点，
∴△POB的面积：，
∵△POB的面积是△AOB的面积的，
∴，
解得：，
，
∴P（，1）．
【点睛】本题考查一次函数的综合问题，联立方程组求两直线的交点，利用函数图象求不等式的解集，求直线与坐标轴的交点以及三角形的面积问题，注意数形结合思想的应用．
2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与正比例函数的图像交于点．
(1)求a的值及△ABO的面积；
(2)若一次函数的图像与轴交于点，且正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点，求的值；
(3)直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，△ABO的面积为4
(2)
(3)
【分析】（1）先确定的坐标，然后根据待定系数法求解析式，求出一次函数图像与轴交点，如图所示，利用间接方法得到即可得到结论；
（2）先求得的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值；
（3）根据图像即可求得不等式的解集．
【详解】（1）解：正比例函数的图像经过点，
，解得，，
，
一次函数的图像经过点，，
，解得，，
一次函数的解析式为，如图所示：
当时，，解得，即，
；
（2）解：一次函数的图像与轴交于点，
，
正比例函数的图像向下平移个单位长度后经过点，
平移后的函数的解析式为，
，解得；
（3）解：，
根据图像可知的解集为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，直线的平移，一次函数和一元一次不等式的关系．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．与直线y＝x相交于点A．
(1)求A点坐标；
(2)如果在y轴上存在一点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
(3)在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2,3)
(2)(0,)
(3)存在，(,)或(,﹣)
【分析】（1）联立方程组，即可求得；
（2）设P点坐标是(0，y)，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD＝x，根据列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD＝﹣y，根据列出关于y的方程解方程求得即可．
【详解】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
∴A点坐标是(2,3)；
（2）解：设P点坐标是(0，y)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴OP＝PA，
∴，
解得y＝，
∴P点坐标是(0,)，
故答案为(0,)；
（3）解：存在；
∵直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．
∴C(,0)，B(0,7)，
∴＝＜6，＝×7×2＝7＞6，
∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，
设点Q的坐标是(x，y)，
当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD＝x，
∴＝7﹣6＝1，
∴OB QD＝1，即×7x＝1，
∴x＝，
把x＝代入y＝﹣2x+7，得y＝，
∴Q的坐标是(,)，
当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD＝﹣y，
∴＝6﹣＝，
∴OC QD＝，即××(﹣y)＝，
∴y＝﹣，把y＝﹣代入y＝﹣2x+7，解得x＝，
∴Q的坐标是(，﹣)，
综上所述存在满足条件的点Q，其坐标为(，)或(，﹣)．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了两直线交点的求法，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键．
4．（2022·浙江台州·七年级期末）阅读下列材料，解答提出的问题．
我们知道，二元一次方程有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对表示，就可以标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程的解．我们把以方程的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程的图象，记作直线．
(1)【初步探究】下列点中，在方程的图象上的是______；
A． B． C．
(2)在所给的坐标系中画出方程的图象；
(3)【理解应用】直线，相交于点M，求点M的坐标；
(4)点，分别在直线，上．当时，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)B
(2)见解析
(3)点M的坐标为（，）
(4)
【分析】（1）将所给的点的坐标代入方程，使方程成立的即为所求；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）联立方程组，方程的解即为点M的坐标；
（4）分别求出，，再由，求出a的范围即可．
（1）
解：当x＝1，y＝1时，x＋y＝2，故点A不在图象上；
当x＝2，y＝－1时，x＋y＝1，故点B在图象上；
当x＝－3，y＝2时，x＋y＝－1，故点C不在图象上；
故选：B；
（2）
当x=1时，y=2，当x=-3时，y=0，
则方程x-2y=0的图象l2如图所示；
（3）
联立方程组 ，解得：
∴点M的坐标为（，）．
（4）
∵点在直线上，
∴ ，，
∵分别在直线上，
∴，，
PQ＝|2a－3－1＋a|＝|3a－4|4
即：，
解得： ．
故a的范围：
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，绝对值不等式，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标及二元一次方程组的解法是解决解决本题的关键．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）有这样一个问题：探究函数的图像与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．
(1)①函数的自变量x的取值范围是_____________；
②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … …
(3)函数和函数的图像如图所示，观察函数图像可发现：
①的图像向___________平移________个单位长度得到，的图像向___________平移________个单位长度得到；
②当时，x＝_____________；
③观察函数的图像，写出该图像的一条性质．
【答案】(1)①全体实数；②＞；
(2)见详解；
(3)①上，1，右，1；②-0.5；③当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
【详解】（1）解：①函数的自变量x的取值范围全体实数；
故答案为：全体实数；
②把点A（－7，a），B（9，b）代入函数解析式得
， ，
∴；
故答案为：＞；
（2）解：补全表格得
x … －5 －3 －1 0 1 3 5 …
y … -9 -5 -1 1 -1 -5 -9 …
在平面直角坐标系画出函数图像如图：
（3）（3）观察函数图像可发现：
①的图像向上平移1个单位长度得到，的图像向右平移1个单位长度得到；
故答案为：上，1，右，1；
②当时，x＝-0.5；
故答案为：-0.5；
③观察函数的图像，得到当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键．
考点五、一次函数与方程不等式问题
例5（2022秋 萧山区月考）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．
（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+l的图象上，求a的值；
（2）若当m≤x＜m+3时，函数有最大值M，最小值N，且M﹣N＝3，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（
