2023届安徽省中考复习
观察猜想数学规律与探索解答题专项提分计划
1．（2023年安徽省宿州市萧县一模数学试题）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．
(1)第4个图形对应的等式为______．
(2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
2．（2022年安徽省芜湖市九年级毕业暨升学模拟考试（二）数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；．．．．．．
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明．
3．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考三模（统考）数学试题）我们把图1称为基本图形，显然在这个基本图形中能找到6个矩形，将此基本图形不断复制并向上平移，使得相邻两个基本图形的边重合，这样得到图2、图3、……；
(1)观察图3并完成相应填空：1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18； ×（1＋2＋3）＝
(2)根据以上的规律猜想，图n中共有 个矩形（用含n的代数式表示）；
(3)在一个由n行n列的矩形组成的图形中，一共有100个矩形，求n的值；
4．（2022年安徽省宿州市第十一中学九年级中考数学六摸试题）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．
5．（2022年安徽省滁州市来安县中考二模数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
(1)写出第6个等式：_______________________________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明．
6．（2022年安徽省宣城市宣州区九年级中考第二次模拟考试数学试题）观察下列各式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第4个等式为：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．
7．（2022年安徽省安庆市九年级毕业班中考模拟数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式：_________；
(2)请写出第n个等式________（用含n的等式表示），并证明．
8．（2022年安徽省合肥市庐阳区一模数学试题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.
9．（2022年安徽省合肥市一六八中学中考一模数学试题）用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：
(1)在图②中用了 块白色正方形，在图③中用了 __块白色正方形
(2)按如图的规律维续铺下去，那么第n个图形要用_ 块白色正方形；
(3)如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
10．（2021年安徽省合肥市蜀山区中考一模（统考）数学试卷）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明
11．（2022年安徽省安庆市五校联考中考一模数学试题）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，
第4个等式：，……，按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含n的等式表示，并证明）．
12．（2022年安徽省合肥市第四十五中学中考三模数学试题）先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
(1)依此规律，猜想：________（直接写出最后结果）；
(2)依据上述规律计算：．
13．（2022年安徽省合肥市高新区中考二模数学试题）观察下列等式：
；；；…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．
(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：
52×______=______×25；______×187=781×______．
(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．
14．（2022年安徽省合肥市寿春中学三模数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
15．（2022年安徽省马鞍山市第七中学、第八中学二模联考数学试题）观察下图：
下列每一副图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）
(1)根据规律，第4个图中共有_______个方格，其中黑方格_______块．
(2)第n个图形中，白方格共有_______个（用n表示，n为正整数）
(3)有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．
16．（2022年安徽省C20教育联盟九年级第三次学业水平检测数学试题）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：_______________；
(2)写出你猜想的第n个等式：___________________（用含n的等式表示），并证明．
17．（2022年安徽省安庆市中考二模数学试题）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.
(1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ．
(2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求.
(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.
18．（2022年安徽省蚌埠中考二模数学试卷 ）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第6个等式是____________；
(2)写出你猜想的第个等式：____________（用含的等式表示），并证明．
19．（2022年安徽省城名校中考最后三模（一）数学试题）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
20．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考二模数学试题）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……；
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
21．（2022年安徽省全椒县中考第二次模拟考试数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式_________（用含n的等式表示），并证明．
22．（2022年安徽省合肥市庐阳区九年级阶段调研二模数学试题）已知：当n为自然数时，，观察下列等式：
第1个：
第2个：
＝（1＋2）＋12
第3个：
(1)依此规律，填空：
＋
(2)运用以上结论，计算： ．
23．（2022年安徽省宣城市三县四校中考联盟考试试题）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．
[观察思考]
第（1）个图形中有张正方形纸片；
第（2）个图形中有张正方形纸片；
第（3）个图形中有张正方形纸片；
第（4）个图形中有张正方形纸片；
……
以此类推
(1)[规律总结]第（5）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）．
(2)根据上面的发现我们可以猜想：__________．（用含n的代数式表示）
(3)[问题解决]根据你的发现计算：．
24．（2022年安徽省淮北市九年级中考模拟一数学试题）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：________= ________．
(2)用含有的代数式表示第个等式：（为正整数）；
________________________=________________________．
(3)求的值．
25．（2022年安徽省合肥市瑶海区育英学校中考二模数学试题）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
＝第1个等式：
＝第2个等式：
＝第3个等式：
＝第4个等式：
(1)写出第5个等式：________．
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．
(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．
26．（安徽省六安市舒城县仁峰实验学校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题（一模））观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
27．（安徽省六安市汇文中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考（一模）数学试题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，已知图1中有5个黑色圆点；图2中有12个黑色圆点；图3中有22个黑色圆点；图4中有35个黑色圆点；……。
(1)根据上述排列规律，则图5中黑色圆点的个数为
(2)猜想图n中黑色圆点的个数为_______( 用含n的式子表示并化简，不用说明理由)；
(3)利用(2)的结论求图200中黑色圆点的个数
28．（2022年安徽省宣城市宣州区狸桥片中考第一次模拟数学试题）观察以下等式：
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．
29．（山东省济南市济阳区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）请观察下列算式，找出规律并填空．
①，②，③，④，…
(1)则第10个算式是______．
(2)根据以上规律试写出______．
(3)试求的值．
30．（2022年安徽省天长市中考第一次模拟考试数学试题）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；
(3)若图中挖去三角形的个数为，求．
2023届安徽省中考复习
专题3观察猜想数学规律与探索解答题30题专项提分计划
1．（2023年安徽省宿州市萧县一模数学试题）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．
(1)第4个图形对应的等式为______．
(2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据题目所给的式子写出第4个图形对应的等式即可；
（2）找到规律得到第n个图形对应的黑点为，由此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，第4个图形对应的等式为，
故答案为：
（2）解：根据题意可得第n个图形对应的黑点为，
∴，整理得，
解得，（舍去），
∴n的值为10．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
2．（2022年安徽省芜湖市九年级毕业暨升学模拟考试（二）数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；．．．．．．
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据前个等式的规律写出第个等式；
（2）根据前个等式的规律写出第个等式，只需证明等式左边等于右边即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：猜想：
证明如下：
左边右边．
【点睛】本题考查了等式中的找规律问题，解决本题的关键是找出第项与项数之间的关系．
3．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考三模（统考）数学试题）我们把图1称为基本图形，显然在这个基本图形中能找到6个矩形，将此基本图形不断复制并向上平移，使得相邻两个基本图形的边重合，这样得到图2、图3、……；
(1)观察图3并完成相应填空：1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18； ×（1＋2＋3）＝
(2)根据以上的规律猜想，图n中共有 个矩形（用含n的代数式表示）；
(3)在一个由n行n列的矩形组成的图形中，一共有100个矩形，求n的值；
【答案】(1)
(2)
(3)4．
【分析】（1）直接利用图形中矩形个数进而得出数据变化规律即可得出答案．
（2）直接利用(1)中变化规律得出答案．
（3）由（1）可知一个n行3列的矩形组成的图形中一共有个矩形，故可推出一个n行n列的矩形组成的图形中有个矩形，代入即可得出结果．
（1）
∵1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18，
∴图3中矩形有
故答案为：
（2）
由（1）可得，图形n中共有矩形：
故答案为：
（3）
∵由（1）可知一个n行3列的矩形组成的图形中一共有个矩形，
故一个n行n列的矩形组成的图形中有个矩形，
（舍去）
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了利用平移设计图案，正确得出数字变化规律是解题关键．
4．（2022年安徽省宿州市第十一中学九年级中考数学六摸试题）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，即可求解；
（2）由（1）发现规律：第n个等式：，再根据分式的减法运算把左边化简，即可求解．
【详解】（1）解：（1）根据题意得：
第1个等式：，即，
第2个等式：，即，
第3个等式：，即，
第4个等式：，即，
故答案为：；
（2）解：由（1）发现规律：第n个等式：，理由如下：
左边
=右边
【点睛】本题主要考查了规律类题探究，分式加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
5．（2022年安徽省滁州市来安县中考二模数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
(1)写出第6个等式：_______________________________________________；
(2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：，按照此规律即可求解；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【详解】（1）解：第6个等式：；
故答案为：．
（2）解：第个等式：；
证明：右边
左边，
∴等式成立．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
6．（2022年安徽省宣城市宣州区九年级中考第二次模拟考试数学试题）观察下列各式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第4个等式为：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式；
（2）结合（1）即可写出第个等式，然后计算证明即可．
【详解】（1）解：第4个等式为：，
故答案为：．
（2）解：．
证明：右边左边，
所以等式成立，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律．
7．（2022年安徽省安庆市九年级毕业班中考模拟数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式：_________；
(2)请写出第n个等式________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）仿照题目给出的式子进行作答即可；
（2）观察题目给出的等式，可发现式子的变化特点即可表示出规律；再通过整式的运算去计算左边，与右边作比较，即可证明．
(1)
由题目给出的等式，可得
故答案为：；
(2)
由题目给出的等式，可得
证明：左边
∴左边＝右边．
∴等式成立
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察分析发现规律是解题的关键．
8．（2022年安徽省合肥市庐阳区一模数学试题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．
【详解】（1）解：通过观察可得：；
（2）．
证明：左边=
==右边，
∴．
【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
9．（2022年安徽省合肥市一六八中学中考一模数学试题）用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：
(1)在图②中用了 块白色正方形，在图③中用了 __块白色正方形
(2)按如图的规律维续铺下去，那么第n个图形要用_ 块白色正方形；
(3)如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．
【答案】(1)8； 11
(2)（3n+2）
(3)能恰好用完2021块白色正方形，第673个图形
【分析】（1）观察如图可直接得出答案；
（2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案；
（3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n+2=2021，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能．
【详解】（1）解：根据题意得：图①中用了白色正方形的块数为5=3×1+2，
图②中用了白色正方形块数为8=3×2+2，
图③中用了白色正方形块数为11=3×3+2，
故答案为：8；11
（2）解：由（1）得：第n个图形用了（3n+2）块，
故答案为：（3n+2）
（3）解：能恰好用完2021块白色正方形，理由如下：
假设第n块恰好用完2021块白色正方形，根据题意得：
3n+2=2021，
解得：n=673，
∴能恰好用完2021块白色正方形，它是第673个图形．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图形要用(3n+2)块白色正方形，利用规律解决问题是解题的关键．
10．（2021年安徽省合肥市蜀山区中考一模（统考）数学试卷）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；
（2）把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
解：（1）第5个等式：；
故答案为：；
(2)
解：猜想的第个等式：．
证明：左边右边，
等式成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
11．（2022年安徽省安庆市五校联考中考一模数学试题）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，
第4个等式：，……，按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式：______（用含n的等式表示，并证明）．
【答案】(1)
(2)，证明见详解；
【分析】（1）根据已知等式括号外的分数和括号内的分数的规律得第五个等式；
（2）根据（1）的规律列等式，再由分式的化简证明；
(1)
解：由已知等式可知：等式左边括号外分数的分子为等式的序号，分母为序号加2，括号内分数的分母为序号加1；等式右边分数的分母为序号加1；
∴第5个等式：；
(2)
解：由（1）猜想第个等式为；
证明：∵左边右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，分式的化简；找到等式中分数的变化规律是解题关键．
12．（2022年安徽省合肥市第四十五中学中考三模数学试题）先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
(1)依此规律，猜想：________（直接写出最后结果）；
(2)依据上述规律计算：．
【答案】(1)
(2)8660
【分析】（1）根据前三个式子得到结果是三个连续自然数的积的 ，其中第一个自然数等于式子的个数，总结出规律；
（2）利用（1）的结论，分别求出1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30， 1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10的结果，进而即可求解．
(1)
解：根据已知条件知：第1个式子为 ，
第2个式子为 ，
第3个式子为 ，
……
故第n个式子结果为 ，
故答案为．
(2)
由规律知
∵1×2+2×3+3×4+4×5+……+29×30=，
1×2+2×3+3×4+4×5+……+9×10=，
∴10×11+11×12+12×13+ +29×30=-=8660．
【点睛】本题是式子的规律探究题，解决问题的关键是确定式子的个数与结果之间的变化关系．
13．（2022年安徽省合肥市高新区中考二模数学试题）观察下列等式：
；；；…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．
(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：
52×______=______×25；______×187=781×______．
(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．
【答案】(1)275，572；71，17
(2)
【分析】（1）根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；
（2）根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．
（1）
根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17；
故答案为：275，572，71，17；
（2）
“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
证明如下：
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），
∴左边=右边.
∴“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键．
14．（2022年安徽省合肥市寿春中学三模数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第个等式为，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
【详解】（1）解：根据已知规律，第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，第个等式为，
证明：右边
=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
15．（2022年安徽省马鞍山市第七中学、第八中学二模联考数学试题）观察下图：
下列每一副图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）
(1)根据规律，第4个图中共有_______个方格，其中黑方格_______块．
(2)第n个图形中，白方格共有_______个（用n表示，n为正整数）
(3)有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)45；12
(2)7n+5
(3)没有可能，理由见解析
【分析】（1）由前面3个图形的白方格与黑方格的规律，可得第4个图形所有方格数及其中黑方格数；
（3）由（2）可得关于n的方程，解方程即可，若n是整数，则有，否则没有．
（1）
第1个图形中，共有3×5=15（个）方格，其中黑方格有3个；第2个图形中，共有5×5=25（个）方格，其中黑方格有2×3=6（个）；第3个图形中，共有7×5=35（个）方格，其中黑方格有3×3=9（个）；则第4个图形中，共有9×5=45（个）方格，其中黑方格有4×3=12（个）；
故答案为：45；12
（2）
由（1）得出规律：第n个图形中，共有方格：5(2n+1)个方格，其中黑方格有：3n个，则白方格有：个；
故答案为：7n+5
（3）
没有可能，理由如下：
由（2）知，黑方格有：3n个，白方格有：(7n+5)个，
7n+5-3n=2022，
解得：，
由于n不是整数，所以没有可能黑方格比白方格恰好少2022个．
【点睛】本题是规律探索问题，考查了列代数式，解一元一次方程等知识，由特殊到一般是解决本题的关键．
16．（2022年安徽省C20教育联盟九年级第三次学业水平检测数学试题）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：_______________；
(2)写出你猜想的第n个等式：___________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据规律直接写出第五个等式即可；
（2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立．
【详解】（1）
（2）
证明：∵左边
∵右边
∴左边=右边
∴等式成立．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键．
17．（2022年安徽省安庆市中考二模数学试题）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.
(1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ．
(2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求.
(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.
【答案】(1)100 ，21
(2)20
(3)不可能拼成一个菱形，理由见解析
【分析】（1）观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：4，9，16，第9个图形中有阴影的三角形数为： ，故可求第（9）个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形的个数为： ，故可得结论；
（2）根据题意列方程求解即可；
（3）根据菱形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可．
(1)
第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的个数为;
故答案为：100；21；
(2)
第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：=，
解得，或（舍去）
经检验，符合要求，
所以，；
(3)
设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为,
由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x2,则有：
解得，
∴不是正整数，
∴不可能拼成一个菱形．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题．
18．（2022年安徽省蚌埠中考二模数学试卷 ）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第6个等式是____________；
(2)写出你猜想的第个等式：____________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由前几个中等式的特点直接得出第6个式子即可；
（2）根据前几个式子的规律即可猜想第n个等式，再证明等式的左边等于右边即可．
【详解】（1）解：根据前面几个等式的规律可得第6个等式为：
，
即．
故答案：
（2）解：猜想的第个等式是，理由是：
∵左边＝
＝
＝
＝
＝
＝＝右边，
∴ ，即等式成立．
【点睛】此题主要考查了数字的运算规律，理解题意并找出数字之间的运算规律是解题的关键．
19．（2022年安徽省城名校中考最后三模（一）数学试题）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
(1)
解： ；
(2)
解：，理由如下：
左边右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．
20．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考二模数学试题）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……；
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明过程见详解
【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【详解】（1）第五个等式为：，
故答案为：；
（2）根据（1）所得到的规律，猜想：；
证明：
，
即：右边=左边，
故猜想成立，
故答案为：
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
21．（2022年安徽省全椒县中考第二次模拟考试数学试题）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式_________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的乘除法，以及平方差公式因式分解，可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．
【详解】（1）解：由题意可得，
第6个等式：，
故答案为：；
（2）解：猜想：第n个等式是：，
证明：
，
∴成立．
【点睛】本题考查数字的变化类规律探究，分式乘除法，掌握发现数字的变化特点，写出相应的式子．分式乘除法法则，平方差公式，规律探究的方法是解题关键．
22．（2022年安徽省合肥市庐阳区九年级阶段调研二模数学试题）已知：当n为自然数时，，观察下列等式：
第1个：
第2个：
＝（1＋2）＋12
第3个：
(1)依此规律，填空：
＋
(2)运用以上结论，计算： ．
【答案】(1)；；；；
(2)2870
【分析】（1）根据前3项给出的方法，探究出规律，然后利用自然数列的和与求和即可；
（2）利用（1）中推导的公式，代入字母的值求代数式的值即可．
（1）
解：
；
故答案为；；；；；
（2）
解：．
故答案为：2870．
【点睛】本题考查数列规律探究，代数式求值，掌握数字规律探究方法是解题关键．
23．（2022年安徽省宣城市三县四校中考联盟考试试题）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．
[观察思考]
第（1）个图形中有张正方形纸片；
第（2）个图形中有张正方形纸片；
第（3）个图形中有张正方形纸片；
第（4）个图形中有张正方形纸片；
……
以此类推
(1)[规律总结]第（5）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）．
(2)根据上面的发现我们可以猜想：__________．（用含n的代数式表示）
(3)[问题解决]根据你的发现计算：．
【答案】(1)30
(2)
(3)15050
【分析】（1）观察图形的变化即可得第（5）个图形中正方形纸片张数；
（2）根据上面的发现即可猜想：1+2+3+…+n=；
（3）根据（2）发现的规律，即可进行计算．
【详解】（1）解：第（1）个图形中有2=1×2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）=6=2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）=12=3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）=20=4×5张正方形纸片；
∴第（5）个图形中有5×6=30张正方形纸片；
故答案为：30；
（2）解：根据（1）的发现猜想：1+2+3+…+n=；
故答案为：；
（3）解：
=（1+2+3++200）-（1+2+3++100）
=-
=20100-5050
=15050．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
24．（2022年安徽省淮北市九年级中考模拟一数学试题）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：________= ________．
(2)用含有的代数式表示第个等式：（为正整数）；
________________________=________________________．
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）通过观察所给式子，仿照即可求解；
（2）根据所给式子可得规律an==；
（3）将原式化为，即可求解
【详解】（1）
故答案为；
（2）=
故答案为：；
（3）
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数，探索数字之间的关系，从而发现规律是解题的关键．
25．（2022年安徽省合肥市瑶海区育英学校中考二模数学试题）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：
＝第1个等式：
＝第2个等式：
＝第3个等式：
＝第4个等式：
(1)写出第5个等式：________．
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．
(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据上面的等式规律写出第五个等式即可 ；
（2）根据等式规律总结出第n个等式；
（3）由（2）的规律解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
1 +2=2+1 → 12+1×2=2×12+1
4+6=8+2 → 22+2×3=2×22+2
9+ 12= 18+3 → 32+3×4=2×32+3
16+ 20= 32+4 → 42+4×5=2× 42+4
所以第5个等式为：
52 +5×6=2×52+5，
即25+ 30= 50+5；
（2）第n个等式为：
n2 +n(n+1)=2×n2+n；
（3）由已知条件，得：
n2 +n(n+1)=2×n2+n=210，
即2n2 +n-210=0，
解得：n= 10或n= （舍去）．
【点睛】本题考查了图形规律的探索以及一元二次方程的解法，解题的关键是正确寻找规律．
26．（安徽省六安市舒城县仁峰实验学校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题（一模））观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（1）通过观察发现：左边的分数中分子是1，第一个分数的分母是从1开始的整数，第二个分数的分母是2×12-1，2×22-1，2×32-1，…，右边分数分子是1，分母是从1开始的奇数，由此可得一般规律；
（2）根据（1）发现的规律，写出含n的等式并证明即可．
【详解】（1）解：左边的分数中分子是1，第一个分数的分母是从1开始的整数，第二个分数的分母是2×12-1，2×22-1，2×32-1，…，右边分数分子是1，分母是从1开始的奇数，
据此可得第7个等式是：，
故答案为：；
（2）由（1）总结出第n个等式：，
证明：．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式中数字的变化规律和分式的加减法，通过观察所给的式子，找到式子的特点，得出一般规律是解题的关键．
27．（安徽省六安市汇文中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考（一模）数学试题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，已知图1中有5个黑色圆点；图2中有12个黑色圆点；图3中有22个黑色圆点；图4中有35个黑色圆点；……。
(1)根据上述排列规律，则图5中黑色圆点的个数为
(2)猜想图n中黑色圆点的个数为_______( 用含n的式子表示并化简，不用说明理由)；
(3)利用(2)的结论求图200中黑色圆点的个数
【答案】(1)51；
(2)n2+n+1；
(3)60501；
【分析】（1）仔细观察图形，可得图5中黑色圆点的个数；
（2）找到图形的个数与黑色圆点的个数的通项公式，即可求解；
（3）把n=200代入可得答案
（1）
观察图形发现：
图1中有5个黑色圆点，5=22+1；
图2中有12个黑色圆点，12=32+1+2；
图3中有22个黑色圆点，22=42+1+2+3；
图4中有35个黑色圆点，35=52+1+2+3+4；
……，
图5中有51个黑色圆点，51=62+1+2+3+4+5；
故答案为：51；
（2）
图n中黑色圆点的个数为(n+1)2+1+2+3+…+n=（n+1）2+n（n+1）=n2+n+1．
故答案为：n2+n+1；
（3）
当n=200时，．
答：图200中黑色圆点的个数是60501．
【点睛】此题主要考查了图形变化规律，根据已知数据得出第n个图形的黑色圆点的数目的通项表达式是解题关键．
28．（2022年安徽省宣城市宣州区狸桥片中考第一次模拟数学试题）观察以下等式：
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据以上所总结的规律即可写出第5个等式；
（2）同理，律即可猜想出第n个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于右边．
(1)
解：由题意得：第5个等式为：；
故答案为：；
(2)
猜想：
证明：右边左边，
故猜想成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，分式的化简，找到等式中分数的变化规律是解题关键．
29．（山东省济南市济阳区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）请观察下列算式，找出规律并填空．
①，②，③，④，…
(1)则第10个算式是______．
(2)根据以上规律试写出______．
(3)试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）根据所给的等式进行分析，可得答案；
（3）根据（2）中的规律进行求解即可．
(1)
(2)
根据以上规律可得：，
故答案为：；
(3)
原式
．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律．
30．（2022年安徽省天长市中考第一次模拟考试数学试题）观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．
(1)填写下表：
图形 挖去三角形的个数
图形1 1
图形2 1＋3
图形3 1＋3＋9
图形4 ___________________
(2)根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；
(3)若图中挖去三角形的个数为，求．
【答案】(1)
(2)＝
(3)
【分析】（1）由图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，据此可得；
（2）由（1）中规律可知＝；
（3）将wn+1＝减去wn＝即可得．
【详解】（1）解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形，
故答案为：1+3+32+33；
（2）解：由（1）知，图n中挖去三角形的个数wn＝；
答：wn＝
（3）解：∵wn+1＝，wn＝
∴wn+1﹣wn
＝（）﹣（）
＝3n．
答：wn+1﹣wn＝3n．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是掌握对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
