2023年兰州市高三诊断考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
3．2022年8—12月某市场上草莓价格（单位：元/千克）的取值为：12，16，20，24，28，市场需求量（单位：百千克），则市场需求量的方差为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
4．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）．利用以上公式，可以估计的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在圆上，其横坐标为1，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教A版，人教B版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．10
7．已知命题：“若直线平面，平面平面，则直线平面”，命题：“棱长为的正四面体的外接球表面积是”，则以下命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间内的任意两个实数，，则输出的的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．下面关于函数的叙述中，不正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的对称中心为
C．的单调增区间为 D．的对称轴为
11．已知双曲线的一条渐近线上存在关于原点对称的两点和，若双曲线的左、右焦点，与，组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，其中，，，则以下判断正确的是（ ）
A．函数有两个零点，，且，
B．函数有两个零点，，且，
C．函数有两个零点，，且，
D．函数只有一个零点，且，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在梯形中，，，，则______．
14．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，点，是底面弧的两个三等分点，则与所成角的正切值为______．
15．用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．
16．定义：如果任取一个正常数，使得定义在上的函数对于任意实数，存在非零常数，使，则称函数是“函数”．以下关于“函数”的判断：①函数（且，、为非零常数）必是“函数”；②若，则“函数”为增函数；③若“函数”满足对任意实数，都有，则所有的点都在同一条直线上．其中正确判断的序号是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列，，对任意的都有．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足：，且，求数列的前项和．
18．（12分）如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．
（1）在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
（2）在（1）的条件下求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：
欧洲球队 美洲球队 非洲球队 亚洲球队
32强 16强 32强 16强 32强 16强 32强 16强
1 13 10 9 4 5 1 5 1
2 13 10 10 5 5 1 4 0
3 13 6 10 8 5 2 4 0
4 14 10 8 5 5 0 5 1
5 13 8 8 3 5 2 6 3
合计 66 44 45 25 25 6 24 5
（1）根据上述表格完成列联表：
16强 非16强 合计
欧洲地区
其他地区
合计
并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？
（2）淘汰赛阶段全场比赛90分钟内进球多的球队获胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负，将进行30分钟的加时赛．加时赛阶段，如果两队仍未分出胜负，则通过点球决出胜负．若每支球队90分钟比赛中胜，负，平的概率均为，加时赛阶段胜，负，平的概率也均为，并且各阶段比赛相互独立．设半决赛中进行点球比赛的场次为，求的分布列及期望．
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20．（12分）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为8，面积为，椭圆的焦距大于短轴长．
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于，两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数的图象与轴交于，两点，且点在右侧．
ⅰ）若函数在点处的切线为，求证：当时，；
ⅱ）若方程有两根，．求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中．
（1）当时曲线与曲线交于、两点，求线段的长度；
（2）过点的直线的参数方程为（为参数）与曲线交于、两点，若，求实数．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）已知．
（1）解不等式；
（2）若对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．所
究
研
2023 年兰州高三诊断 学
理科数学参考答案及评分标准 科
1．C 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B
12．【解析】 f (x) = (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 3x2 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) 育
= 4[(a + b + c)2 3(ab + bc + ca)] = 4(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 0 教
由于 a， b ， c 不相等，所以 0，所以函数必有两个不相同的零点 市
1 1 3 1 1 3 2 1
因为 a = ，b = sin sin = ， c = sin(cos ) sin(cos ) = sin sin =
2 2 2 2 2 2 4 4 2 6 2
所以 c a b 州
因此 f (a) = (a b)(a c) 0， f (b) = (b c)(b a) 0， f (c) = (c a)(c b) 0 兰
所以函数的两个零点分别在区间 (b，a) 和 (a，c) ，故选 A
30 11 81 77 160 231
13．1 14． 3 15． 或 或 16．①
11 77 231
f (x +T ) kax+T +b
16．【解析】对于函数 y = ka
x+b
( a 0且 a 1， k 、b 为非零常数），有 = = aT
f (x) kax+b
由于 a，T 为常数，所以此函数满足“ 函数”定义，故①正确；
f (x2 ) f (x1 +T )令 x2 = x1 +T ，由于函数为“ 函数”，因此T 0， x2 x1 ， = = m 1
f (x1) f (x1)
当 f (x1) 0 ， f (x2 ) f (x1) ，故②错；
由于函数为“ 函数”，且 f (x) 0 ，则m 0
所 f (x + kT )lnln[ f (x + kT )] ln{ f [(x + (k 1)T ]} f [(x + (k 1)T ] ln m虽然 = = （ k =1，2， n）为定值，但当 x 变化时，对
(x + kT ) [x + (k 1)T ] T T
究 于确定的n 值， (x + nT，ln[ f (x + nT )])并不在同一直线上，故③错误.
研 17．【解析】 (1)因为数列 a 对任意的 i n N 都有 an+i an = i，所以当 i=1时满足 an+1 an =1，
学 所以数列 an 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
科 所以数列 an 的通项公式为 an = n． ………………6分 b a(2)因为数列 bn 满足： n+1 = n 且b1 =1，
育 bn an+2
教
市
州
兰
所
究
研
b 1 b2 3 2 b b4 3 n 2 b n 1所以 = ， = ， = ，... n 1 = ， n =
b1 3 b2 4 b3 5 b 学n 2 n bn 1 n +1
b b2 b b 1 2 3 n 2 n 1所以 3 4 n =
b1 b2 b3 bn 1 3 4 5 n n +1 科
bn 2 2即： = ，所以bn = （n 2）．
b1 n(n +1) n(n +1)
2 2 2 育
又因为b =1= 符合 当 n =1时的值，所以数列 b 的通项公式为bn = （n
N ）
n ． 1
1 2 n(n +1) n(n +1)
2 1 1 1 1 1 1 1 1 2n
因为bn = =（2 ) ，所以 Sn =2(1 + + + ) = 2(1 ) = （n
N ） 教
n(n +1) n n +1 2 2 3 n n +1 n +1 n +1
2n
所以数列 bn 的前 n项和 Sn = （n
N ）.………………12分 市
n +1
18．【解析】 (1)方案一：选条件①②． 州
因为在四棱锥 S ABCD 中 SB = SC ，点M 是 BC 的中点， SM = 2 ，所以 SM ⊥ BC ．
5 兰
又因为在 Rt SBM 中， cos SBM = ，所以 BM =1．
5
又因为 ABCD是矩形， BC = 2AB，所以 BM = AB =1， AM = 2 ,
由 SA = 6 ， AM = 2 ， SM = 2 可得： SA
2 = AM 2 + SM 2 ，所以 SM ⊥ AM ．
SM ⊥ BC
则由 SM ⊥ AM 可得： SM ⊥底面 ABCD，又因为 SM 侧面 SBC ，
AM BC = M
所以侧面 SBC ⊥底面 ABCD． ………………6分
方案二：选条件①③．
所 因为在四棱锥 S ABCD 中 SB = SC ，点M 是 BC 的中点， SM = 2 ，所以 SM ⊥ BC .
究 6又因为在 SAM 中， SA = 6 ， sin SAM = ， SM = 2 ， 3
研 SA SM 6 2=所以由正弦定理得： = ，即 ，所以 sin SMA =1sin SMA sin SAM sin SMA 6
3
学 即 SMA = ，所以 SM ⊥ MA ．
2
科
育
教
市
州
兰
所
究
研
SM ⊥ BC
学
则由 SM ⊥ AM 可得： SM ⊥底面 ABCD，又因为 SM 侧面 SBC ，
AM BC = M 科
所以侧面 SBC ⊥底面 ABCD . ………………6分 育
方案三：选条件②③．
因为在四棱锥 S ABCD 中 SB = SC ，点M 是 BC 的中点， SM = 2 ，所以 SM ⊥ BC . 教
5
又因为在 Rt SBM 中， cos SBM = ，所以 BM =1．
5 市
又因为 ABCD是矩形， BC = 2AB，所以 BM = AB =1， AM = 2 ， 州
6 3
又因为在 SAM 中， sin SAM = ，则 cos SAM =
3 3 兰
设 SA = x
2
， SM = SA
2 + AM 2 2SA AM cos SAM ，
3x2
6
所以有： 2 6x 6 = 0 ，解之得 x1= 6 或 x2 = （舍）所以 SA = 6 ．
3
由 SA = 6
2
， AM = 2 ， SM = 2 可得： SA = AM
2 + SM 2 ，所以 SM ⊥ AM ．
SM ⊥ BC
则由 SM ⊥ AM 可得： SM ⊥底面 ABCD，又因为 SM 侧面 SBC ，
AM BC = M
所以侧面 SBC ⊥底面 ABCD． ………………6分
(2)在(1)条件下知 SM ⊥底面 ABCD，且MD ⊥ AM ，
故如图所示：以M 为坐标原点，以MA所在直线为 x轴，以MD
所在直线为 y 轴，以MS 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
所 2 2易得 S(0,0,2)， A( 2,0,0) ， D(0, 2,0) ，C( , ,0) ，
2 2
究 设平面 SAD的法向量为n = (x, y, z) ，
研 2y 2z = 0则 n ⊥ SD ，n ⊥ SA，故 ， 2x 2z = 0
学 2 2 令 x = 2 得n= ( 2，2,1)，而 SC = , , 2 ，
2 2
科
育
教
市
州
兰
所
究
研
n SD 2 学
若直线 SC 与平面 SAD所成角为 ，则 sin = =
n SD 5 科
2
所以直线 SC 与平面 SAD所成角的正弦值为 ………………12分
5 育
19．【解析】(1)根据上述表格完成列联表：
16 强 非 16 强 合计 教
欧洲地区 44 22 66 市
其他地区 36 58 94
合计 80 80 160 州
2 160 (44 58 22 36)
2
K = =12.482 3.841
80 80 66 94 兰
所以有 95%的把握认为球队进入世界杯 16 强与来自欧洲地区有关..............................6 分
(2)设“参赛双方在 90 分钟内打平”为事件 A，“参赛双方在加时赛打平”为事件B ，“全场比赛打平”为
事件C
1 1
根据题意可知， P(C) P(A B) ，则 B(2, )，
9 9
1 8 64 1 8 16 1 8
P( 0) C0 ( )0 ( )2 P( 1) C1 ( )1 ( )1 P( 2) C2 ( )2 ( )0
1
2 ， 2 ， 2
9 9 81 9 9 81 9 9 81
0 1 2
P 64 16 1
81 81 81
1 2
则 E( ) 2 ………………12分
9 9
所 bc 3， b = 3 b =1
20．【解析】(1) 由已知可得： 解得 （舍去）或
究 a 2， c =1 c = 3
x2
研 所以椭圆E 的方程是 + y2 =1………………5 分 4
学 (2) 由条件可知，直线 AB 的斜率必存在，设直线 AB 的方程为 y = kx + d
x2 + 4y2 = 4，
科 由 得 (1+ 4k 2 )x2 +8kdx + 4d 2 4 = 0 y = kx + d，
育
教
市
州
兰
所
究
研
8kd 2d
设 A(x1，y1)，B(x2，y2 )，故 x1 + x2 = ， y1 + y2 =
1+ 4k 2 1+ 4k 2 学
4kd d
所以点P 坐标为 ( ， )
1+ 4k 2 1+ 4k 2 科
x2 y2 3
因为椭圆 + =1(m n 0)的离心率为e = ，所以m2 = 4n2
m2 n2 2 育
x2 + 4y2 = 4n2
由 2 得 (4k +1)x
2 +8kdx + 4d 2 4n2 = 0 教
y = kx + d
故Δ =16(4n2k 2 d 2 + n2 ) 市
4kd d
E 2 2 2又由于点P 在椭圆 1上，因此 ( ) + 4( ) = 4n
1+ 4k 2 1+ 4k 2 州
所以4k 2d 2 + d 2 = n2 (1+ 4k 2 )2 所以 d 2 = n2 (1+ 4k 2 ) 兰
所以Δ =16(4n2k 2 d 2 + n2 ) = 0
所以椭圆E1与直线 AB 相切………………12分
21．【解析】 (1) 可知函数的定义域为 (0,+ )
1
当 n =1时， f (x) = (x 1) ln x， f (x) = ln x +1
x
1 1
当0 x 1时，ln x 0 ，1 0 ，故 f (x) 0，函数为减函数；当 x 1时，ln x 0，1 0，故
x x
f (x) 0，函数为增函数
综上，函数 y = f (x) 的单调增区间为 (1,+ )，单调减区间为 (0,1) ………………4分
1 1 1 1
(2) 当 n 1时，可知函数存在零点 1和n n ，且nn 1n =1，因此，Q点坐标为 (nn,0)
所 1 n 1 1 n 1 n 1f (x) = nxn 1 n nⅰ）由于 ln x + xn 1 ，所以 f (nn ) = n n n ln n n + n n = n n ln n
1
x
究 nnn 1
所以 g(x) = (n n ln n)x n ln n
研 n 1n
令 h(x) = f (x) g(x)，则h (x) = f (x) g (x) = nxn 1 ln x + xn 1 n n ln n
学 x1 n 1
1
科 当1 x n
n 时，0 ln x ln n，0 x
n 1 n n
n
育
教
市
州
兰
所
究
研
n 1 n 1
nxn 1 n
ln x n ln n nxn 1 ln x n n ln n 0 学
n 1
n n n 1 n 1 n 11 = n n n n n xn 1
n
n n
1 x nn 1x n n = 0
科
nn x x
h (x) 0 h(x) 为减函数 育
1
同理，当 x nn 时，h(x) 为增函数 教
1
h(x) h(nn ) = ln n ln n n ln n + n ln n = 0 市
所以当 x 1时， f (x) g(x)………………8分
1 州
ⅱ）由于方程 f (x) = t(0 t n 1) 有两根a ，b ，不妨设a b，则0 b 1，a nn
1 n
1 n n 1
兰
t + n ln n t + n ln n n t
设 g(x ) = t ，则 x = = n n = + nn0 0 n 1
ln n ln n
n n ln n
由ⅰ）知， g(x0 ) = f (a) g(a) ，由于 y = g(x) 是增函数，所以a x0
1 n
1
n n t n n1 n
| a b | x0 0 = + n
n = t + n n ………………12分
ln n ln n
2 2
22．【解析】(1)由条件可知曲线C1的直角坐标方程为 x + (y 1) =1，
x2 + (y 1)2 =1，
C 2 2曲线 2 的直角坐标方程为 (x 1) + y =1，由 可得公共弦方程 x y = 0，
(x 1)2 + y
2 =1，
MN
2 1( ) =1 ( )2 ，解得线段 MN 的长度为 2 .................................5 分
2 2
所 (2) 由条件可知曲线C2 的直角坐标方程为 (x 1)
2 + y2 = a +1，
2
x = 3+ t，究 2 2将直线 l 的参数方程 ( t 为参数)代入曲线C2 的直角坐标方程得： t + 2t a + 4 = 0 2y = 1+ t
2
研 PA PB = t1 t2 = a 4 =1，实数 a = 3 或 a = 5
学 由于Δ = 2+ 4(a 4) = 4a 12 0，故 a = 5 .................................10 分
x -1 1 x 2 x 2 4
科 23．【解析】(1)由 或 或 解得 x - 或0 x 2或x 2， -3x 4 x + 4 4 3x 4 3
育
教
市
州
兰
所
究
研
所以不等式的解集为 4 ， 0，+ ) .......................................5 分
3 学
1 f (x) x 4，0 x 2，
(2)因为 f (x) + ax 1 0(x 0)，所以 a (x 0)又因为 f (x)
x 3x，x 2，
科
max
3
1 ，0 x 2，
1 f (x) x 1 f (x) 育5
则 = 所以 a = .......................................10 分
x 1 x 2 3+ ，x 2， max
x 教
市
州
兰
