北师大版九年级下册数学第二章《二次函数》单元测试卷（含答案解析）
一．选择题
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．x2y+x＝1 B．x2﹣xy＝5 C．y2＝x2+2 D．x2+y+2＝0
2．抛物线y＝﹣1+3x2（ ）
A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点
3．二次函数y＝mx2+（6﹣2m）x+m﹣3的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．0≤m≤3 D．0＜m＜3
4．在二次函数y＝x2﹣3x﹣2的图象上的点是（ ）
A．（1，1） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣1，3）
5．在平面直角坐标系中，抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的一般形式为（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0）
C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0） D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）
7．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（ ）
A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣0.3 D．﹣3.3
9．如图所示，在直角坐标系中，函数y＝﹣3x与y＝x2﹣1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（，﹣）
二．填空题
11．利用函数图象求得方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝ ，x2＝ ．
12．函数y＝ax2+（3﹣a）x+1的图象与x轴只有一个交点，则a＝ ．
13．把y＝3x2+6x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，y＝ ．对称轴是 ，顶点坐标是 ．
14．当x＝ 时，二次函数y＝x2+3x+有最 值是 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＞0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的是 ．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为 ．
17．抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k＝ ．
18．周长为16cm的矩形的最大面积为 ．
19．边长12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长x（cm）的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）的函数关系式是 ．
20．抛物线y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1过原点，则a的值是 ．
三．解答题
21．画出函数y＝﹣x2+2x+3的图象，观察图象说明：当x取何值时，y＜0，当x取何值时，y＞0．
22．对于抛物线y＝x2+bx+c，给出以下陈述：
①它的对称轴为x＝2；
②它与x轴有两个交点为A、B；
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．
求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．
23．如图所示，已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．求图象F所表示的抛物线的解析式．
24．已知y是x的二次函数，当x＝2时，y＝﹣4，当y＝4时，x恰为方程2x2﹣x﹣8＝0的根，求这个函数的解析式．
25．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y＝ax2的解析式．
26．已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于C点，且过点（5，4）．
（1）求a的值；
（2）设顶点为P，求△ACP的面积；
（3）在该抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）画出该函数的图象，根据图象回答当x为何值时，y≥0？
（5）写出当2≤x≤6时，该函数的最大值和最小值．
27．已知：二次函数y＝﹣x2+x+c与X轴交于点M（x1，0）N（x2，0）两点，与Y轴交于点H．
（1）若∠HMO＝45°，∠MHN＝105°时，求：函数解析式；
（2）若|x1|2+|x2|2＝1，当点Q（b，c）在直线上时，求二次函数y＝﹣x2+x+c的解析式．
参考答案与解析
一．选择题
1．解：A、整理后，不符合二次函数的一般形式，错误；
B、整理后，不符合二次函数的一般形式，错误；
C、这里，y的指数是2，不是函数，错误；
D、整理为y＝﹣x2﹣2，是二次函数，正确．
故选：D．
2．解：∵抛物线y＝﹣1+3x2的二次项系数是3＞0，
∴抛物线y＝﹣1+3x2开口向上，且有最低点．
故选：B．
3．解：∵抛物线的开口向上，
∴m＞0，①
∵对称轴在y轴的左侧，
∴x＝﹣＜0，②
∵二次函数与y轴交于负半轴，
∴m﹣3＜0，③
∵抛物线与x轴有两个交点（b2﹣4ac＞0），
∴（6﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，④，
联立①②③④解之得：0＜m＜3．
∴m的取值范围是0＜m＜3．
故选：D．
4．解：A、x＝1时，y＝1﹣3﹣2＝﹣4，不符合；
B、x＝0时，y＝﹣2，不符合；
C、x＝2时，y＝4﹣6﹣2＝﹣4，满足；
D、x＝﹣1时，y＝1+3﹣2＝2，不符合；
故选：C．
5．解：∵抛物线关于x轴对称的抛物线为﹣，
∴所求解析式为：y＝﹣（x+）2+．
故选：D．
6．解：根据一元二次方程的一般形式的概念知，应为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
故选：B．
7．解：设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y＝（x﹣18）×[100﹣10（x﹣20）]，
整理得：y＝﹣10x2+480x﹣5400＝﹣10（x﹣24）2+360，
∵﹣10＜0，
∴开口向下，
故当x＝24时，y有最大值．
故选：B．
8．解：方法一：
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）
∴﹣＝﹣1则﹣＝﹣2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根
∴x1+x2＝﹣
又∵x1＝1.3
∴x1+x2＝1.3+x2＝﹣2
解得x2＝﹣3.3．
方法二：
根据对称轴为；x＝﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3，
则＝﹣1，即＝﹣1，
解得：x2＝﹣3.3，
故选：D．
9．解：∵一次函数y＝﹣3x的比例系数k＝﹣3＜0，
∴图象经过二，四象限，排除B、D；
因为二次函数y＝x2﹣1的图象开口向上，顶点坐标应该为（0，﹣1），故可排除A；
故选：C．
10．解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0）
即c＝3，
因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3），
又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1），
又∵AC：CB＝1：2，…（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）．
由顶点坐标（﹣，）得（﹣）．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵方程x2+x﹣12＝0的解就是函数y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，
而y＝x2+x﹣12的图象如图所示：
∴y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），
∴方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝﹣4，x2＝3．
12．解：因为函数y＝ax2+（3﹣a）x+1的图象与x轴只有一个交点，
所以此函数若为二次函数，则b2﹣4ac＝（3﹣a）2﹣4a＝0，解得：a＝1或a＝9；
若为一次函数，则a＝0，此时也与x轴只有一个交点；
所以函数y＝ax2+（3﹣a）x+1的图象与x轴只有一个交点，则a＝0或1或9
13．解：y＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2+2x+1）﹣6＝3（x+1）2﹣6，
对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣6）．
故答案是3（x+1）2﹣6，直线x＝﹣1，（﹣1，﹣6）．
14．解：∵a＝＞0，∵二次函数y＝x2+3x+有最小值，
配方得：y＝（x+3）2﹣2，
∴二次函数y＝x2+3x+有最小值是﹣2．
15．解：∵a＞0，故①正确；
∵顶点横坐标﹣＜0，故顶点不在第四象限，②错误，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵c＞0，
∴抛物线与y轴正半轴相交，
又∵抛物线对称x＝﹣＜0，
故与x轴交点，在x轴负半轴上，故③错误．
故答案为：①．
16．解：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），
当y＜0时，图象在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
故填空答案：﹣1＜x＜3．
17．解：∵抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO＝K，
∵抛物线y＝x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA＝OB，∠OPB＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴OB＝k，
∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y＝x2﹣k上，
∴将B点代入y＝x2﹣k，得：
0＝（k）2﹣k，
整理得：﹣k＝0，
解方程得：k1＝0（不合题意舍去），k2＝3．
故答案为：3．
18．解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，
其面积为s＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴由以上函数图象得：周长为16cm的矩形的最大面积为16．
19．解：由题意得：
y＝144﹣x2
＝﹣x2+144．
20．解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得：
a2﹣1＝0，解得a＝1或﹣1，
又a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1．
三．解答题
21．解：∵y＝﹣x2+2x+3，
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标（1，4），
令x＝0得：y＝3，
∴与y轴交点坐标（0，3），
令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝1 x2＝3，
∴与x轴交点坐标（﹣1，0），（3，0），
作出函数如图所示的图象，
由图象可以看出：当x＜﹣1或x＞3时，y＜0；
当﹣1＜x＜3时，y＞0．
22．解：∵抛物线y＝x2+bx+c＝（x+）2+，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，则b＝﹣4，
∴P点的纵坐标是＝c﹣4，
又∵它与x轴有两个交点为A、B，
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣4c＞0，且AB＝＝＝2
解得 c＜4，①
又△APB的面积不小于27，
∴×2×|c﹣4|≥27，即×|c﹣4|≥27②
由①②解得 c≤﹣5．
综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c≤﹣5．
23．解：图象E所表示的抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x＝﹣2（x+1）2+2，
根据平移的性质可得出图象F所表示的抛物线的解析式为y＝﹣2[（x﹣2）+1]2+2＝﹣2x2+4x．
24．解：设方程2x2﹣x﹣8＝0的根为x1、x2，则
当x＝x1，x＝x2时，y＝4，可设y＝a（2x2﹣x﹣8）+4
把x＝2，y＝﹣4代入，得﹣4＝a（2×22﹣2﹣8）+4
解得a＝4，
所求函数为y＝4（2x2﹣x﹣8）+4
即y＝8x2﹣4x﹣28．
25．解：由题意可得：OC＝0.6m，AB＝0.2×6＝1.2（m），
得点A的坐标为（0.6，0.6），
代入y＝ax2，
得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2．
26．解：（1）把点（5，4）代入y＝ax2﹣5ax+4a
解得a＝1；
（2）如图，
由y＝x2﹣5x+4可知，A（1，0），C，0，4），P（，），
过PC的直线为y＝x+4，与x轴的交点M为（，0），
S△APC＝S△AMC+S△AMP＝×（﹣1）×4+×（﹣1）×＝；
（3）该抛物线上存在点Q．
因为使，所以点Q的纵坐标的绝对值为，
当点Q在x轴的上方，由x2﹣5x+4＝，
解得x＝，
当点Q在x轴的下方，由x2﹣5x+4＝，
解得x＝，
由此得出Q点的坐标为：
（4）由图象可以看出当x≤1或x≥4时，y≥0．
（5）因为y＝x2﹣5x+4＝（x﹣）2﹣，
所以把x＝2，x＝6分别代入y＝x2﹣5x+4，
可得当x＝2时，y＝﹣2，
当x＝6时，y＝10，
∴函数的最大值为10，最小值为﹣．
27．解：（1）依题意得OH＝c，∠OHN＝60°，解直角三角形得，OM＝OH＝c，ON＝c，
即M（﹣c，0），N（c，0），
∴﹣c+c＝，﹣c c＝﹣c，解得b＝3﹣，c＝，
故函数解析式y＝﹣x2+（1﹣）x+；
（2）由|x1|2+|x2|2＝1得，（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，
∴+2c＝1…①，
又∵点Q（b，c）在直线上，
∴c＝+…②，
由①②得或（不合题意舍去），
∴二次函数y＝﹣x2+x+c的解析式y＝﹣x2+x+．
