2023年九年级中考第一次模拟考试
数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下图中，不是右图所示物体从正面、左面和上面三个方向看到的图形的是( )
A. B. C. D.
4. 中国华为麒麟处理器是采用纳米制程工艺的手机芯片，在的尺寸上塞进了亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 某学校运会在月举行，小明和小刚分别从、、三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是( )
A. B. C. D.
7. 在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”这两轮感染均未被发现未被隔离，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程( )
A. B. C. D.
8. 如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点若是的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图，梯形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，点在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是( )
A.
B. 方程有两个相等的实数根
C.
D. 点到直线的最大距离
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 因式分解：______．
12. 若一次函数的图象不过第一象限，则的取值范围是______．
13. 如图，平行四边形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，与轴相交于点，且为的中点，若平行四边形的面积为，则 ．
14. 如图，把一副三角板按如图放置，，，，点是的中点，连结，，若，则的面积为______
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：；
解方程：．
16. 本小题分
三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为按下列要求画图画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果．
把沿直线翻折，画出翻折后的；
找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分；
在轴上存在点，使的面积等于，直接写出点的坐标．
17. 本小题分
图是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了层．
将图倒置后与原图排成图的形状，这样图中每一行的圆圈数都是．
我们可以利用“倒序相加法”算出图中所有圆圈的个数为：．
按照图的规则摆放到第层时，求共用了多少个圆圈；
按照图的规则摆放到第层，每个圆圈都按图的方式填上一串连续的正整数：，，，，，则第层从左边数第二个圆圈中的数字是______．
18. 本小题分
如图，为反比例函数其中图象上的一点，在轴正半轴上有一点，，连接，，且．
求的值；
过点作，交反比例函数其中的图象于点，连接交于点，求的值．
19. 本小题分
如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得．
求证：是的切线；
若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．
20. 本小题分
如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站在立在离大楼米的处测得大楼顶端点的仰角为；接着他向大楼前进米、站在点处，测得广告牌顶端点的仰角为取，计算结果保留一位小数
求这幢大楼的高；
求这块广告牌的高度．
21. 本小题分
某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用，，，表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
请根据统计图将下面的信息补充完整：
参加问卷调查的学生共有______人；
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数为______；
若该校共有学生名，请你估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有多少人？
现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
22. 本小题分
如图，中，，为坐标原点，边在轴上，个单位长度，把沿轴正方向平移个单位长度后得．
求以为顶点，且经过点的抛物线的解析式；
若中的抛物线与交于点，与轴交于点，求点、的坐标．
23. 本小题分
如图，中，，，为边中点，．
如图，当，分别在的边和上时，
求证：
在绕点旋转的过程中，四边形的面积是否发生改变？若没有变化，求出四边形的面积；若有变化，请说明理由．
如图，当，分别在的边、的延长线上时，
探索和之间的数量关系；
设长为，四边形的面积为，请探究与的关系式．
答案和解析
1. 【解析】，的相反数是，
的相反数是，故选：．
2. 【解析】、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故D正确．故选：．
3. 【解析】这个组合体的三视图如下：
故选：．
4. 【解析】亿．故选：．
5. 【解析】，，
，
以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，
，
，
．故选：．
6. 【解析】画树状图如下：
共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有种情况，
7. 【解析】设每轮传染中平均个人感染人，
根据题意可得：，故选：．
8. 【解析】连接交于，如图，
是弧的中点，
，
，
是直径，
，
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得，．故选：．
9. 【解析】延长、交于点．
，
，．
又，
≌．
，．
，，
．
．
，
．
．
．
．
．故选D．
10. 【解析】由图象可知开口向下，
，
函数与轴的交点在轴的正半轴上，
，
对称轴为直线，
，
，
故A不符合题意；
抛物线的顶点坐标是，
时，方程的解为，
方程有且只有一个实数根，
故B不符合题意；
当时，，
，即，
故C符合题意；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设抛物线，将点代入，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
设点坐标为，则，
，
当时，的面积有最大值，
，
，
点到直线的最大距离，
故D不符合题意；故选：．
11.
【解析】
，
故答案为：．
12.
【解析】函数的图象不过第一象限，
，且，
，
故答案为：．
13.
【解析】为的中点，平行四边形的面积为，
的面积为，
，
，
．故答案为：．
14.
【解析】作交的延长线于，
，点是的中点，
，
，，
是等边三角形，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，故答案为：．
15.解：原式
；
，
，，，
，
，
，．
16.解：如图，找到点关于的对称点，连接、即可；
如图，过点作的平行线，取，作直线，则直线将分成面积相等的两部分；
如图，设交轴于点，由图可知点，
设点到轴的距离为，点到轴的距离为，由图可知，，
则
的面积等于，即，
解得，
点的坐标为或．
17.
【解析】图中所有圆圈的个数为：个，
当时，个，
答：摆放到第层时，求共用了个圆圈；
图中，第层最右边的数字是：个，
则图中第层从左边数第二个圆圈中的数字是是：个，
故答案为：．
18.解：过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示．
，，
，
，
点的坐标为．
为反比例函数图象上的一点，
；
轴，，点在反比例函数上，
．
，，
，
．
，
∽，
．
19.证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
是的切线；
解：平分，
．
又，
，
即，
，
，
．
20.解：在中，米；
，得米；
又因为米，
因而大楼米；
又在中，米，
由，得米；
因而广告牌米；
答：楼高为米，广告牌的高度为米．
21.
解：参加问卷调查的学生人数是人，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：，；
最喜欢课程人数所占百分比为，
最喜欢课程的人数所占百分比为，
估计全体名学生中最喜欢课程的人数约为：人，
答：估计该校全体学生中最喜欢课程的学生有人；
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
共有种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为，
恰好甲和丁同学被选到的概率为．
22.解：，
，
，，
，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
令，得，
，
设直线解析式为，
把点代入，得到，
解得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线的解析式，得，
解得，
根据点的位置，取，
．
23.证明：如图，连接，
，，为中点，
是的平分线，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：在绕着点旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为，
≌，
，
，
，，
，
，，
在绕着点旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为；
解：由得，
，，，
，
，
，
≌，
，
如图，过点作于点，
≌，
，
，
，，
，
，
，
．
