第10章 三角恒等变换单元综合能力测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角终边在第四象限,且,则（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】解:由题知,角终边在第四象限,
所以,
因为,
即,
化简可得:,即,
所以.
故选:C
2．（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
.
故选：C
3．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】变形为，
即，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，解得：，
因为，，解得：.
故选：B
4．已知函数，则（ ）
A．在单调递增，且图象关于直线对称
B．在单调递增，且图象关于直线对称
C．在单调递减，且图象关于直线对称
D．在单调递减，且图象关于直线对称
【答案】B
【解析】，
由于，
所以在单调递增，
，所以不关于直线对称.
，所以关于直线对称.
故选：B
5．在中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，，，则，.
故选：D
6．若函数在上仅有一个最值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为当时，即时函数有最大值，
当时，即时函数有最小值，
且区间关于原点对称，
所以要使得函数在上仅有一个最值，
则解得，
故选:B.
7．已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
即，
，，
，即
，又
解得
故选：A.
8．已知，且、是方程的两个不等实根，则下列结论中不正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，是方程的两不等实根，
所以，，故A正确；
，故B正确；
由，得，均为正数，
则，当且仅当取等号，
由知，则等号不成立，所以，故C正确；
，当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】设，则，
所以有，，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：BD.
10．设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，
所以，又函数为偶函数，
所以，即，
所以的值可以是，.
故选：BC.
11．已知函数，则（ ）
A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
【答案】ABC
【解析】，
所以，
对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，
即，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由
解得，
所以函数的单调递减区间为，C正确；
因为所以
因为在上有3个零点，所以，
解得，D错误，
故选:ABC.
12．在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．函数的最大值为
【答案】BC
【解析】对选项A：，故A错误；
对选项B：
，故B正确；
对选项C：，，分子分母同除以，得，故C正确，
对选项D：
，
当时，取得最大值4，故D错误．
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若.则___________.
【答案】
【解析】因为，所以.
故答案为：.
14．若，则____________.
【答案】
【解析】依题意，
.
故答案为：.
15．若，则______.
【答案】2
【解析】因为，所以，即，即，
因此.
故答案为：2.
16．已知函数的最大值是，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
，
其中，
所以，得，由，则的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
完成下列计算，保留应有过程.
(1)；
(2)已知，且，则；
【解析】（1）.
（2）∵，则，即，
∴.
18．（12分）
已知函数，.
(1)将函数化成的形式，并写出其最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】（1）
,
最小正周期为，
（2）时，，进而，
所以，所以
所以函数在区间上的值域为
19．（12分）
已知函数，且．
(1)求的值；
(2)者为钝角，为锐角，且，求的值．
【解析】（1）．
由，得，
得，
所以或．
（2）由题意得．
由，得，
由为锐角，得，因为，所以，
所以，
故.
20．（12分）
已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
【解析】（1）
令，解得
所以单调递增区间为.
（2），，，
即有解，只需要即可，
，令为减函数，
所以当时，，所以.
21．（12分）
已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）如图，连接，
在中，，，，则，
在中，，
所以.
（2）设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为.
22．（12分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点 若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.第10章 三角恒等变换单元综合能力测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角终边在第四象限,且,则（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（ ）
A． B． C． D．1
3．若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．在单调递增，且图象关于直线对称
B．在单调递增，且图象关于直线对称
C．在单调递减，且图象关于直线对称
D．在单调递减，且图象关于直线对称
5．在中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上仅有一个最值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
8．已知，且、是方程的两个不等实根，则下列结论中不正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点则（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B．的图象与的图象关于y轴对称
C．的单调递减区间为
D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是
12．在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．函数的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若.则___________.
14．若，则____________.
15．若，则______.
16．已知函数的最大值是，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
完成下列计算，保留应有过程.
(1)；
(2)已知，且，则；
18．（12分）
已知函数，.
(1)将函数化成的形式，并写出其最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域.
19．（12分）
已知函数，且．
(1)求的值；
(2)者为钝角，为锐角，且，求的值．
20．（12分）
已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，关于x的不等式有解，求实数a的取值范围.
21．（12分）
已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围.
22．（12分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点 若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
