《第一节 椭圆》同步练习
（课时1 椭圆及其标准方程）
一、基础巩固
知识点1 椭圆的定义
1.[2022山西运城康杰中学高二上期中]已知在平面内,F1,F2是两个定点,M是一个动点,则“|MF1|+|MF2|为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(多选)[2022湖北孝感高二上调考]已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),则下列说法中正确的是( )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
3.[2022安徽六安一中高二期中]动圆M与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心M的轨迹是 .
知识点2 对椭圆的标准方程的理解
4.[2022安徽安庆岳西县店前中学高二上期末]椭圆=1的焦距为( )
A.4 B.4 C.2 D.2
5.[2022安徽合肥八中高二上期中]若椭圆=1的一个焦点为(0,-1),则p=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6.(多选)[2022安徽芜湖一中高二上期中]已知方程=1表示椭圆C,则( )
A.k∈(1,9)
B.椭圆C的焦距为2
C.若椭圆C的焦点在x轴上,则k∈(1,5)
D.若椭圆C的焦点在y轴上,则k∈(5,9)
知识点3 求椭圆的标准方程
7.[2022河北石家庄十五中高二上期中]已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式=4,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.+y2=1
8.已知椭圆=1的一个焦点为(2,0),则该椭圆的方程是( )
A.=1 B.=1
C.x2+=1 D.=1
9.[2022山东临沂高二上期中联考]已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-),F2(0,),P是椭圆上一点,若PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=8,则该椭圆的方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
10.[2022江苏南京六校高二上联考]试写出一个焦点坐标为(0,±1)的椭圆的标准方程: .
11.[2022河南驻马店新蔡一高高二上月考]在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA,PB的斜率之积为-,则动点P的轨迹C的方程为 .
12.求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26;
(3)经过两点A(0,2)和B(,);
(4)过点(-3,2)且与椭圆=1有相同焦点.
知识点4 椭圆的焦点三角形
13.[2021新高考八省(市)联考]椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,与y轴的一个交点为A,若∠F1AF2=,则m=( )
A.1 B. C. D.2
14.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-2,0),C(2,0),顶点B在椭圆=1上,则= ( )
A. B. C.2 D.
15.[2021天津静海区第六中学高二上月考]P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
16.若F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且△MF1F2的内切圆的周长为3π,则满足条件的点M的个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.0
17.[2022广东八校高二上期中联考]已知在平面直角坐标系xOy中,F1(-3,0),F2(3,0),点P是平面上一点,且△PF1F2的周长为16.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值.
二、能力提升
1.已知方程=1表示椭圆,且该椭圆两焦点间的距离为4,则实数n的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(2,+∞)
2.(多选)[2022山东师范大学附中高二期中]设椭圆C:=1的焦点为F1,F2,M在椭圆上,则( )
A.|MF1|+|MF2|=8
B.|MF1|的最大值为7,最小值为1
C.|MF1|·|MF2|的最大值为16
D.△MF1F2的面积的最大值为10
3.已知椭圆Γ:=1(0
4.[2022河北石家庄二十三中高二上期中]设P是椭圆=1上一点,M,N分别是圆C1:(x+3)2+y2=1和C2:(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最大值为( )
A.13 B.10 C.8 D.7
5.如图,椭圆C的中心为原点O,点F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,且满足|OP|=|OF|,|PF|=4,则椭圆C的标准方程为 .
6.已知点P是椭圆+y2=1上任意一点,AB是圆x2+(y-2)2=1的任意一条直径(A,B为直径的两个端点),则·的最小值为 ,最大值为 .
7.[2022四川省江油中学高二上月考]已知圆M:(x+3)2+y2=64的圆心为M,定点N(3,0),动点A在圆M上,线段AN的垂直平分线交线段MA于点P.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若点Q是曲线C上的一点,且∠QMN=60°,求△QMN的面积.
8.[2022广东广州二中高二上期中]如图,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2.建立适当的平面直角坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
参考答案
一、基础巩固
1.B 若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,则点M的轨迹是线段F1F2.所以“|MF1|+|MF2|为定值”是“点M的轨迹是椭圆”的必要不充分条件.故选B.
2.AC
3.椭圆 解析 设动圆的圆心为M(x,y),半径为R.因为动圆与圆M1:(x+1)2+y2=1外切,与圆M2:(x-1)2+y2=25内切,所以|MM1|+|MM2|=1+R+5-R=6,又|MM1|+|MM2|>|M1M2|=2,所以动圆圆心M的轨迹是椭圆.
4.A 在椭圆=1中,a=,b=,则c==2,所以焦距为2c=4.
5.C 由题意得a2=4,b2=p,则4-p=1,解得p=3.故选C.
6.CD 由题意知9-k>0,k-1>0,且9-k≠k-1,即k∈(1,5)∪(5,9),A错误;c2=|9-k-(k-1)|=|10-2k|,故B错误;当焦点在x轴上时,9-k>k-1>0,解得k∈(1,5),故C正确;当焦点在y轴上时,0<9-k
8.D 椭圆=1的一个焦点为(2,0),则该椭圆的焦点在x轴上,且c=2.因为b2=2,所以a2=b2+c2=2+4=6,所以该椭圆的方程是=1.故选D.
9.B 由|PF1|+|PF2|=2a,得(|PF1|+|PF2|)2=+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2.因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20,所以4a2=20+16=36,所以a2=9,即a=3,又c=,所以b=2.因为椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的方程是=1.故选B.
10.+x2=1(答案不唯一) 解析 因为椭圆的焦点在y轴上,且c=1,所以符合题意的标准方程为+x2=1.(注:其他符合题意的标准方程均可.)
11.=1(x≠±2) 解析 设P点的坐标为(x,y)(x≠±2).由题意得=,化简并整理,得=1(x≠±2).
12. 解析 (1)由题意知c=2,且焦点坐标分别为F1(0,-2),F2(0,2).
由|MF1|+|MF2|=2a,即2a==8,
可得a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
又焦点在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13.
又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,
所以所求椭圆的标准方程为=1或=1.
(3)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).将A,B两点的坐标代入方程,
得,解得,
故所求椭圆的标准方程为x2+=1.
(4)依题意,知椭圆的焦点坐标为(±,0).
设所求方程为=1(a2>5),
将点(-3,2)代入,得a2=15,
则所求椭圆的标准方程为=1.
13.C 在椭圆=1(m>0)中,a=,b=m,c=1.易知|AF1|=|AF2|=a.又∠F1AF2=,所以△F1AF2为等边三角形,即|AF1|=|F1F2|,所以=2,即m=.
14.A 由题意,知a=,b=,c==2,所以椭圆的左、右焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0),即A(-2,0)和C(2,0)分别是椭圆的左、右焦点.根据椭圆的定义,可得|BC|+|AB|=2a,所以由正弦定理可得===.
15.B 由题意知|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2.又|PF1|·|PF2|=12,所以(|PF1|+|PF2|)2=64,所以|PF1|2+|PF2|2=40.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===,所以∠F1PF2=60°,故选B.
16.A 由=1,得a=5,c==3,所以|MF1|+|MF2|=2a=10,|F1F2|=2c=6.因为△MF1F2的内切圆的周长为3π,所以内切圆的半径r==.设M(xM,yM),则=×(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)×r=×|F1F2|×|yM|,即×(10+6)×=×6×|yM|,得|yM|=4,则xM=0,所以满足条件的点M是短轴的2个端点,故选A.
17. 解析 (1)由题知|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16,|F1F2|=6,所以|PF1|+|PF2|=10>|F1F2|,由椭圆的定义可知,动点P的轨迹是以点F1,F2为焦点的椭圆(去掉左、右顶点).
设动点P的轨迹方程为=1(a>b>0,y≠0),则2a=10,a=5.
又由=3,得b=4.
因此动点P的轨迹方程为=1(y≠0).
(2)由(1)可知|PF1|+|PF2|=10,由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时等号成立,
故|PF1|·|PF2|的最大值为25.
二、能力提升
1.D 由题意,得n+2m2>n-2m2>0,所以n>2m2,因为a2=n+2m2,b2=n-2m2,所以c2=a2-b2=4m2,得c=2|m|.由椭圆两焦点间的距离为4,得2|m|=2,即|m|=1,所以n>2m2=2,所以实数n的取值范围是(2,+∞).故选D.
2.ABC
A √ 由题知a=4,b=,c=3,所以|MF1|+|MF2|=2a=8.
B √ |MF1|max=a+c=7,|MF1|min=a-c=1.
C √ |MF1|·|MF2|≤=16,M在x轴上时取等号,此时△MF1F2面积也最大,为3.
D
3.C 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,如图所示.因为线段MN的中点为Q,点F2为MB的中点,所以|QF2|=|NB|,同理可得,|QF1|=|AN|.因为点Q在椭圆Γ上,所以有|QF1|+|QF2|=2a=6,所以|AN|+|BN|=2(|QF1|+|QF2|)=12,即点N到A,B两点的距离和为12,故选C.
4.A 如图,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,在△PMF1中可得|PF1|-1≤|PM|≤|PF1|+1 ①,当且仅当P,M,F1三点共线时,等号成立.在△PNF2中可得,|PF2|-2≤|PN|≤|PF2|+2 ②,当且仅当P,N,F2三点共线时,等号成立.由①+②得,|PF1|+|PF2|-3≤|PM|+|PN|≤|PF1|+|PF2|+3.由椭圆方程=1,可得|PF1|+|PF2|=2a=10,所以7≤|PM|+|PN|≤13.
5.=1 解析 设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F',连接PF',如图所示.因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF'|,知∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',又∠PFF'+∠OF'P+∠FPO+∠OPF'=180°,所以∠FPO+∠OPF'=90°,即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中,易得|PF'|===8.由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,即a=6,所以b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆C的标准方程为=1.
6.0 解析 由题意,知圆x2+(y-2)2=1的圆心C(0,2),半径r=1.因为AB是圆x2+(y-2)2=1的任意一条直径,所以=.设P(x0,y0),则=(-x0,2-y0).因为点P在椭圆+y2=1上,所以=1,即=4(1),所以·=()·()=·=+(2-y0)2-1= -34y0+7=-3(y0+)2+.因为-1≤y0≤1,所以当y0=1时,·取得最小值,最小值为0;当y0=时,·取得最大值,最大值为.
7. 解析 (1)因为|PN|=|PA|,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=8>|MN|,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆.
设点P的轨迹方程为=1(a>b>0),
则2a=8,c=3,即b2=7,
所以点P的轨迹方程为=1.
(2)不妨设|MQ|=m,由椭圆定义可得|QN|=2a-m=8-m,又|MN|=2c=6,
则在△MNQ中,由余弦定理可得cos∠QMN==,解得m=.
故△QMN的面积S=×sin∠QMN×m×2c=×6=.
8. 解析 以线段MN的中点为坐标原点,MN所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设所求椭圆的方程为=1(a>b>0),c=,则M(-c,0),N(c,0).
设P(x0,y0),依题意知kPM=tan∠PMN=,kPN=-tan∠MNP=2.
所以,解得,即P(c,c).
又S△PMN=×2c×c=1,所以c=.
于是|PM|==,|PN|==,
所以2a=|PM|+|PN|=,则a=,
所以b2=a2-c2=3.
故所求椭圆的方程为=1.
