第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.(a+b)2n,n∈N*的展开式的项数是 ( )
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于 ( )
A.(x-1)3 B.(x-2)3
C.x3 D.(x+1)3
3.(2022安徽亳州第一中学期末)设A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,则A-B的值为 ( )
A.128 B.129 C.47 D.0
4.用二项式定理展开(x+2)4= .
5.(2022北京东城期末)已知3n+++…+3+=1 024,则n= .
题组二 展开式中的特定项或特定项的系数
6.(2022北京八中期末)(1+x)4的展开式中,第3项的二项式系数为 ( )
A.6 B.-6 C.24 D.-2
7.(2022云南昆明一模)的二项展开式中,第4项的系数为 ( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
8.(2022河南郑州四中期末)的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中的常数项是 ( )
A.第3项 B.第4项
C.第7项 D.第8项
9.(2021广东肇庆二模)的展开式的常数项为60,则a的值为 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.±3
10.(2022湖南株洲一模)在的展开式中,系数是有理数的项共有 ( )
A.6项 B.5项 C.4项 D.3项
11.(2022山东临沂一模)在的展开式中,无理项的项数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2022福建漳州二模)(2x2+y)6的展开式中,x8y2的系数为 .
13.(2022安徽宿州期末)的展开式中,第4项的二项式系数是 ,第4项的系数是 .
14.(2022湖北武汉期末)(1+x+x2)6的展开式中,x4的系数为 .
题组三 赋值法求系数和
15.(2020山东济宁质量检测)若(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数是15,则展开式的所有项系数之和为( )
A. B.
C.- D.
16.(2021江苏无锡天一中学二模)若(2x-1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则-a0+a1-a2+a3-a4= .
17.(2021江西上饶天佑中学、余干中学等六校第一次联考)已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
能力提升练
题组一 展开式中的特定项及项的系数
1.(2022山西临县第一中学期末)(x+1)2+(x+1)3+(x+1)4的展开式中含x2项的系数是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.(2022福建泉州期末)(x2-x+1)(x+1)6的展开式中x7的系数为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.15
3.(2022广东广州一模)(x+3y)(x-2y)6的展开式中x5y2的系数为 ( )
A.60 B.24
C.-12 D.-48
4.(2021山东枣庄二模)若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则a3= ( )
A.20 B.-20 C.15 D.-15
5.(2022四川眉山二模)(x-2)5的展开式中,含x2项的系数为 ( )
A.120 B.40 C.-40 D.-80
6.(2022山东淄博一模)若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6= ( )
A.-448 B.-112
C.112 D.448
7.(2022湖北鄂州一模)已知(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
8.(2022吉林东北师大附中期末)若(1+ax)·(1+x)5的展开式中,x2与x3的系数之和为-10,则实数a= ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
9.的展开式的常数项为 .
10.在(n∈N*)的展开式中,第4项的系数为-32,则n= ,常数项为 .
题组二 赋值法求系数和
11.(多选)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则 ( )
A.展开式中所有项的二项式系数和为22 021
B.展开式中所有奇数项系数和为
C.展开式中所有偶数项系数和为
D.+++…+=-1
12.(2020湖北武汉武昌实验中学期中)若(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是 ( )
A.15 B.-32
C.-27 D.-17
13.(2022江西部分学校期末)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
14.(2022辽宁大连八中期末)若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2= ( )
A.-32 B.32
C.-243 D.243
15.(2022北京师范大学附属实验中学月考)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a5|= ( )
A.1 B.243
C.121 D.122
(2021湖南长沙第一中学月考)若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+
a2 020(x+2)2 020,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020= .
17.在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数值作答).
18.(2020山东枣庄滕州一中月考)已知(1+mx)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其中m≠0,且a6+14a3=0.
(1)求实数m的值;
(2)求a2+a4+a6+a8+a10.
题组三 二项式定理的综合应用
19.(2022湖南岳阳部分学校期末)1.957的计算结果精确到个位的近似值为 ( )
A.106 B.107
C.108 D.109
(2022福建福州闽侯期末)今天是星期三,经过7天后还是星期三,那么经过
82 021天后是 ( )
A.星期二 B.星期三
C.星期四 D.星期五
21.(2022浙江宁波部分中学期末)设n∈N*,则5+52+53+…+5n除以7的余数为 ( )
A.0或5 B.1或3
C.4或6 D.0或3
22.(2021河北邯郸邯山第一中学期中)设a∈Z,且0≤a<13,若512 020+a能被13整除,则a= ( )
A.0 B.1 C.11 D.12
23.(多选)(2021山东青岛期中)我国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=+×3+×32+…+×320,a≡b(mod 5),则b的值可以是 ( )
A.2 005 B.2 006
C.2 020 D.2 021
24.(2021江苏连云港期末)(1)求9192被100除所得的余数;
(2)用二项式定理证明:1110-1能被100整除.
25.求证:当n∈N*时,(1+)n+(1-)n为偶数.
答案与分层梯度式解析
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
基础过关练
1.B 根据二项式定理可知,展开式共有(2n+1)项.
2.C S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1
=(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+
=[(x-1)+1]3=x3.
3.A A-B=×37-×36+×35-×34+×33-×32+×31-×30=(3-1)7=27=128.
4.答案 x4+8x3+24x2+32x+16
解析 (x+2)4=x420+x321+x222+x123+x024=x4+8x3+24x2+32x+16.
5.答案 5
解析 3n+3n-1+3n-2+…+3+=3n×10+3n-1×11+3n-2×12+…+31×
1n-1+301n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
6.A (1+x)4的展开式中,第3项的二项式系数为=6,故选A.
7.B (2x-1)5的二项展开式中的第4项为T4=·(2x)2·(-1)3=-40x2,所以所求系数为-40.
故选B.
8.B 由题意可得 -=44,即 (n+8)(n-11)=0,∴n=11.
故=,其展开式的通项为 Tr+1=(x)11-r=·(0≤r≤11,r∈N),
令=0,解得 r=3,∴展开式中的常数项是第4项,故选B.
9.C 的展开式的通项为=·=a6-r(-1)rx12-3r,0≤r≤6,r∈N,
令12-3r=0,解得r=4.
由题意得(-1)4a2=60,解得a=±2,故选C.
C 的展开式的通项为=·()20-r·=
(-1)r···(0≤r≤20,r∈N).
令k=,则只有r=2,8,14,20时,k=5,0,-5,-10为整数.
故系数是有理数的项共有4项.
故选C.
11.B 根据题意,的展开式的通项为Tr+1=(2)6-r=26-r·,0≤r≤6,r∈N,
分析可得,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,
即有4个有理项,而展开式共有7项,
故的展开式中,无理项的项数为3.
故选B.
12.答案 240
解析 (2x2+y)6的展开式的通项为Tr+1=·(2x2)6-ryr=26-rx12-2ryr,r=0,1,2,3,4,5,6,令r=2,则T3=24x8y2,
故x8y2的系数为24=240.
13.答案 84;-
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(x2)9-r=x18-3r,r=0,1,2,…,9,
由r=3可得T4=·x9=-x9,
所以第4项的二项式系数是=84,第4项的系数是-.
14.答案 90
解析 因为(1+x+x2)6=[1+(x+x2)]6,
所以其展开式的通项为Tr+1,k+1=(x+x2)r=xr-kx2k=xr+k,其中0≤k≤r≤6,r∈N,k∈N,
为得到(1+x+x2)6的展开式中x4的系数,则令r+k=4,
故当r=2,k=2时,x4的系数为=15;
当r=3,k=1时,x4的系数为=60;
当r=4,k=0时,x4的系数为=15,
所以(1+x+x2)6的展开式中,x4的系数为15+60+15=90.
故答案为90.
15.B 由题意知==15,解得n=6或n=-5(舍去),故二项式为,
令x=1,得所有项系数之和为=.
16.答案 -81
解析 令x=-1,得(-3)4=a0-a1+a2-a3+a4,所以-a0+a1-a2+a3-a4=-81.
17.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
能力提升练
1.B 当n≥2且n∈N*时,(1+x)n的展开式的通项为Tr+1=·xr,
所以(1+x)n的展开式中含x2项的系数为,
故(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4的展开式中,含x2项的系数是++=10.
故选B.
2.A (x+1)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r,0≤r≤6,r∈N,
令6-r=5,得r=1,则x2x5=6x7;令6-r=6,得r=0,则-xx6=-x7,
∴原式展开式中x7的系数为6-1=5.
故选A.
3.B (x-2y)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r(-2y)r=(-2)rx6-ryr,
所以(x+3y)(x-2y)6的展开式中含x5y2的项为x·(-2)2x4y2+3y·(-2)1x5y=(4-6)·x5y2,
故x5y2的系数为4-6=24.
故选B.
B 易得x6=[(x+1)-1]6,其展开式的通项为=·(x+1)6-r·(-1)r,令6-r=3,得r=3,所以a3=·
(-1)3=-20,故选B.
5.B 由(x-2)5=x(x-2)5-(x-2)5,可得其展开式中含x2的项为x·x·(-2)4-·x3·(-2)2=80x2-40x2=40x2,故含x2项的系数为40.
故选B.
6.C 由题意得,(1-x)8=(x-1)8=[(1+x)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,故a6=·(-2)2=112.
故选C.
7.A (2x-y)5=(2x-y)5+my(2x-y)5,
其中,(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=x-1·(2x)5-r(-y)r=(-1)r·25-rx4-ryr,0≤r≤5,r∈N,
令可知无解,即(2x-y)5的展开式中没有含x2y4的项;
my(2x-y)5的展开式的通项为Tk+1=my(2x)5-k·(-y)k=(-1)k·25-kmx5-kyk+1,
令解得k=3,
即my(2x-y)5的展开式中含x2y4的项的系数为(-1)3·25-3m=-40m.
又(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,
所以-40m=80,解得m=-2.
故选A.
8.A 易得(1+ax)(1+x)5的展开式中,含x2的项为1×x2+ax×x=(10+5a)x2,
含x3的项为1×x3+ax×x2=(10+10a)x3,
所以10+5a+10+10a=-10,解得a=-2,
故选A.
9.答案 -252
解析 解法一:由==,
易得(x-1)10的展开式的通项为=·x10-r(-1)r,
令10-r=5,得r=5,此时T6=-1×x5=-252x5,可得常数项为-252.
解法二:当x>0时,=,其展开式的通项为=()10-r=
(-1)r·,令10-2r=0,得r=5,此时常数项为-=-252;当x<0时,=-,同理可得常数项为-=-252.故所求常数项为-252.
解法三:=·,
要得到常数项有以下方式:(1)5个式子都取-2,相乘得(-2)5=-32;(2)5个式子取1个x,取1个,余下的都取-2,得·(-2)3=-160;(3)5个式子取2个x,取2个,取1个-2,得·(-2)1=-60.
故所求常数项为-32-160-60=-252.
10.答案 4;24
解析 易得的通项为Tr+1=xn-r,0≤r≤n,n∈N,
所以T4=xn-3=(-2)3xn-6,
则(-2)3=-32=(-2)5,得=(-2)2=4,
即=4 n=4,
所以=,
其展开式的常数项为x2=6×4=24.
11.ABD 对于A,二项式系数之和为++…+=22 021,故A正确;
对于B,令x=-1,得32 021=a0-a1+a2-a3+…-a2 021,①
令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 021,②
①+②,可得32 021-1=2(a0+a2+…+a2 020),
∴a0+a2+…+a2 020=,故B正确;
对于C,①-②,得32 021+1=-2(a1+a3+…+a2 021),
∴a1+a3+…+a2 021=-,故C错误;
对于D,令x=0,得a0=1,
令x=,得0=a0+++…+,
∴++…+=-1,故D正确.
D 令x=0,可得(-2)5=a0,所以a0=-32,设f(x)=(3x-2)5,g(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则
f '(x)=3×5×(3x-2)4,g'(x)=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
所以3×5×(3x-2)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
令x=1,可得15=a1+2a2+3a3+4a4+5a5,
所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.
故选D.
13.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)(1-1+1)9=3,
又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
14.D 对于(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,
令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=243.故选D.
规律总结
1.一般地,令(ax+b)n=f(x),则展开式中的各项系数之和为f(1),各奇数项系数之和为[f(1)+f(-1)],各偶数项系数之和为[f(1)-f(-1)].2.“赋值法”是求与二项展开式中系数(和)有关的问题的常用方法,赋值就是将展开式中的字母用具体数值代替,注意赋的值要有利于问题的解决,赋值时可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项等.
15.B ∵(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=25x5-24x4+23x3-…+(-1)5x0,
∴a0<0,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0,a5>0.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a5=-35,
∴|a0|+|a1|+…+|a5|=-a0+a1-a2+…+a5=-(a0-a1+a2-a3+…-a5)=35=243.
故选B.
16.答案 1-32 020
解析 令x=-2,则(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,则12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
17.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.
18.解析 (1)(1+mx)10的展开式的通项为Tr+1=·(mx)r=mrxr,所以a3=m3,a6=m6,
依题意得m6+14m3=0,即210m6+14×120m3=0,整理得m3(m3+8)=0,因为m≠0,所以m3=-8,所以m=-2.
(2)由(1)得m=-2,所以(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=(1-2)10=1.①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+2)10=310.②
①+②,得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+310,
即a0+a2+a4+a6+a8+a10=.
又a0=(-2)0=1,
所以a2+a4+a6+a8+a10=-1=.
19.B 1.957=(2-0.05)7=27-×26×0.05+×25×0.052-…-0.057≈27-×26×0.05+×25×0.052=128-22.4+1.68=107.28≈107.故选B.
20.C 因为82 021=(1+7)2 021=+7+72+…+72 021,
所以82 021被7除的余数为1,故经过82 021天后是星期四,故选C.
21.A 1+5+52+53+…+5n-1=(1+5)n-1=(7-1)n-1=7n-7n-1+7n-2+…+7×(-1)n-1·+(-1)n-1,
此展开式中,除了最后2项外,其余的各项均能被7整除,故它除以7的余数即为(-1)n-1除以7的余数,即为0或5,故选A.
22.D 因为51=52-1,所以512 020=(52-1)2 020=522 020-522 019+…-521+1,
又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,且0≤a<13,所以a=12,故选D.
23.BD 由题意及二项式定理可得a=+×3+×32+…+×320=(1+3)20=420=(5-1)20,
则a=·520-·519+…-·5+,
因为·520-·519+…-·5能被5整除,
所以a除以5的余数为1,
又因为a≡b(mod 5),所以b除以5的余数也为1,结合选项可知2 006和2 021除以5的余数为1.
故选BD.
24.解析 (1)9192=(100-9)92=·10092-·10091·9+·10090·92-…+992,展开式中前92项均能被100整除,故只需求最后一项除以100的余数.
易得992=(10-1)92=·1092-·1091+…+·102-·10+1,展开式的前91项均能被100整除,后两项之和为-919,又余数为正,且992=·1092-·1091+…+·102-1 000+81,
∴9192被100除所得的余数为81.
(2)证明:∵1110-1=(10+1)10-1
=1010+·109+·108+…+·10+1-1
=1010+·109+·108+…+102
=100(108+·107+·106+…+1),
∴1110-1能被100整除.
25.证明 (1+)n=+++…+,
(1-)n=(-)0+(-)1+(-)2+…+,
当n为正奇数时,(1+)n+(1-)n=2[·++…+]=2(+3+…+),
显然+3+…+为正整数,
所以(1+)n+(1-)n=2(+3+…+)为偶数;
当n为正偶数时,(1+)n+(1-)n=2[++…+]=2(+3+…+),显然+3+…+为正整数,
所以+=2(+3+…+)为偶数.
综上,当n∈N*时,+为偶数.
