2022-2023学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》单元综合达标题
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13
2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
3．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（ ）
A．6 B． C． D．4
5．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
6．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
7．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．16 C．25 D．41
8．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是 ．
10．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需 米．
11．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
12．矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝ cm．
13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ．
15．如图所示，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为 ．
16．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
18．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长．
19．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵72+242＝252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C．
2．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
3．解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中三角形各边长为、、，故该三角形为钝角三角形；
图B中各边长为2、4、2，故该三角形为直角三角形；
图C中各边长、2、，故该三角形为直角三角形；
图D中各边长为、2、5，故该三角形为直角三角形．
即B，C，D是直角三角形，A不是直角三角形．
故选：A．
4．解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90°
∵AB＝3，BD＝2，
∴AD＝＝
∵DC＝1
∴AC＝＝．
故选：B．
5．解：（1）
△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5
∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84；
（2）
△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5
∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24．
故选：C．
6．解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC＝24cm，CB＝32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选：C．
7．解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，
∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，
故选：A．
8．解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．
由题意，得∠CAD＝30°，设CD＝x海里．
在Rt△CAD中，∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2x海里，AD＝CD＝x海里．
在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x海里．
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝20（﹣1），
解得x＝20，
∴BC＝CD＝20海里，
∵救援艇的速度为30海里/小时，
∴救援艇到达C处所用的时间为＝（小时）．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；
当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；
综合以上两种情况，第三边的长应为4或．
10．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
已知AB＝5米，AC＝3米，
且在直角△ABC中，AB为斜边，
则BC＝＝4米，
则AC+BC＝3+4＝7米．
故答案为：7．
11．解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB＝＝10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
12．解：设DE＝x，则BE＝DE＝x，AE＝10﹣x，
又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，
即42+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝．
故答案为：．
13．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，
∴AC2+BC2＝AB2＝36，
∵正方形ADEC的面积是AC2，正方形BCFG的面积是BC2，
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为：AC2+BC2，
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是36，
故答案为：36．
15．解：∵∠ABC＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝＝12，
又∵∠BAD＝90°，AD＝16，
∴BD＝＝20，
故答案为：20．
16．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 ＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为8．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：如图，连接AC，
∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝5，
∴S△ACD＝6，
在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC的面积＝30，
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．
18．解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
则AE＝AB﹣0.8，
在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，
∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2
解得：x＝4，
答：秋千AB的长为4m．
19．解：设AE＝xkm，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，
解得，x＝10．
故：E点应建在距A站10千米处．
20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，
梯子距离地面的高度AE＝＝24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，
∴BD+BE＝DE＝＝＝15，
∴DB＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
21．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当时，△BCP为等腰三角形．
