20203年中考九年级数学第一轮复习四边形专项练习
一、综合题
1．如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=8cm，BC=20cm，∠B=60°．
求：
（1）梯形的腰长；
（2）梯形的面积．
2．如图，正方形中，M为上的点，E是的延长线的点，且，过E作垂足为交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
3．如图，在 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）如果 ，AD＝BE＝5，连接AF，求AF的长度.
4．如图，在平面直角坐标系中有一矩形 （每一小格为一个单位长度），将矩形 绕着点A逆时针旋转90°后得到新的图形.
（1）请画出旋转后的图形，旋转后C点对应点的坐标为 .
（2）请计算点C在旋转过程中的路径长.
5．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．
（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；
（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB BM．
6．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
（1）求证：△AEM≌△ANM.
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长.
7．如图，某小区有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化 平方米，每小时收费300元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）
8．如图，在□ABCD
中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接
CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
9．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D.
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长.
10．如图，将平行四边形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠四边形EFGH.
（1）请直接写出∠HEF的度数 ；
（2）判断HF与AD的数量关系，并说明理由.
11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD的中点，F为CD上一点，将DEF沿EF折叠后，点D恰好落到BF上的点G处，连接BE.
（1）求证：BE⊥EF；
（2）求折痕EF的长.
12．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，且DG⊥CE，垂足为点G．
（1）求证：DC=BE；
（2）若∠AEC=54°，求∠BCE的度数．
13．如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，，．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若，，求四边形ADCE的周长．
14．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将△ADC沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′与AB交于点F．
（1）求线段AF的长．
（2）求△AFC的面积．
（3）点P为线段AC（不含点A、C）上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥CD′于点N，试求PM+PN的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，三角形OAB的边OA、OB分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上，A（a，0），a是方程 的解，且△OAB的面积为6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）将线段OA沿轴向上平移后得到PQ，点O、A的对应点分别为点P和点Q（点P与点B不重合），设点P的纵坐标为t，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，设PQ交线段AB于点K，若PK= ，求t的值及△BPQ的面积．
16．在以点O为原点的平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴， 轴的正半轴上，现将正方形OABC绕点О顺时针旋转，当点A第一次落在直线 上时，停止转动，旋转过程中，AB边交直线 于点M，BC边交轴于点N.
（1）旋转停止时正方形旋转的度数是 .
（2）在旋转过程中，当MN和AC平行时，
① 与 是否全等？此时正方形OABC旋转的度数是多少？
②直接写出 的周长的值，并判断这个值在正方形OABC的旋转过程中是否发生变化.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图，作AE⊥BC交BC于点E，作DF⊥BC交BC于点F，
∵AD=8cm，BC=20cm，AD∥BC，AB=CD，
∴BE=（BC﹣AD）÷2=（20﹣8）÷2=6cm
∵∠B=60°，
∴AB=2BE=2×6=12cm
（2）解：∵AE= BE=6 cm
∴梯形的面积= （AD+BC） AE= ×（20+8）×6 =84 cm2
2．【答案】（1）证明：四边形是正方形
又
（2）解：在中，
3．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）解：如图所示：连接AF，
∵ ，AD＝BE＝5，
设 ，则 ，
∴x＝1，DE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
.
4．【答案】（1）先根据旋转的性质分别画出点 旋转后的对应点 ，再顺次连接点 可得旋转后的图形，如图所示：
（2）解：由题意得：点C在旋转过程中的路径长为 的长，如图所示：
四边形ABCD是矩形， ，
对角线 ，
由旋转的性质得： ，
则 的长为 ，
即点C在旋转过程中的路径长为 .
5．【答案】（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，
∵BE=DF，∴CE=CF，
∴∠AEB=∠F=45°，
∴BE=BA=AD，
在△ADM和△BEM中， ，
∴△ADM和△BEM，
∴DM=EM，即点M为ED中点
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，
∴△ADM∽△BEM，
∴ = ，
∵AM∥DF，AF∥DE，
∴四边形AMDF是平行四边形，
∴AM=DF，
∵BE=DF，
∴AM=BE，
∴ ，
∴AM2=AB BM
6．【答案】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠MAE=∠MAN，
∵MA=MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）；
（2）解：设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=MN，
∵BE=DN，
∴MN=BM+DN=5，
∵∠C=90°，
∴MN2=CM2+CN2，
∴25=（x-2）2+（x-3）2，
解得，x=6或-1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6.
7．【答案】（1）根据题意得：
，
，
，
平方米，
答：绿化的面积是 平方米；
（2）根据题意得：
，
，
元，
答：该物业应该支付绿化队 元费用．
8．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE= OB，DF= OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
（2）解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形
9．【答案】（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠FEC，
又∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠D，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠BNC，
∴∠CBN＝∠BNC，
∴CN＝BC，
又∵四边形BCED是平行四边形；
BC＝DE＝3，
∴CN＝3.
10．【答案】（1）90°
（2）解：HF＝AD，
理由如下：由折叠可得：∠EFB＝∠EFH，∠CFG＝∠KFG，BF＝JF，AH＝HJ，DH＝HK，
∴∠EFG＝90°，
同理可得∠EHG＝∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴HG＝EF，HG EF，
∴∠GHF＝∠EFH，
∴∠BFE＝∠DHG，
在△BFE和△DHG中，
，
∴△BFE≌△DHG（AAS），
∴BF＝HD，
∴HD＝JF，
∴HF＝AD.
11．【答案】（1）证明：四边形ABCD为矩形，
，，，
∵E为AD中点，
，
由翻折知，，
，，，
，
在Rt△ABE与Rt△GBE中。
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
，
，
，
经检验符合题意，
即.
12．【答案】（1）证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE= AB，
∴DC=BE
（2）解：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=54°，则∠BCE=18°
13．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形为菱形；
（2）解：在中，，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长为：．
14．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，
∴△ACD≌△ACE，
∴∠DCA=∠ECA，
∴∠BAC=∠ECA，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，则BF=8﹣x，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2=CF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5；
（2）解：S△ACF= AF BC= ×5×4=10；
（3）解：连接PF，
×AF×PM+ ×CF×PN=S△ACF=10，
∴PM+PN=4．
15．【答案】（1）解：∵ ，
∴2（a+2）-3（a-2）=6，
∴-a+4=0，
∴a=4，
∴A（4，0），
∵S△OAB=6，
∴ 4 OB=6，
∴OB=3，
∴B（0，3）．
（2）解：当点P在线段OB上时，S= PQ PB= ×4×（3-t）=-2t+6．
当点P在线段OB的延长线上时，S= PQ PB= ×4×（t-3）=2t-6．
综上所述，S= ．
（3）解：过点K作KH⊥OA用H．
∵S△BPK+S△AKH=S△AOB-S长方形OPKH，
∴ PK BP+ AH KH=6-PK OP，
∴ × ×（3-t）+ （4- ） t=6- t，
解得t=1，
∴S△BPQ=-2t+6=4．
16．【答案】（1）45°
（2）解：①∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴
，
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为 .
② 的周长的值为2，且在正方形OABC的旋转过程中不发生变化.
理由如下：如图所示，延长BA交y轴于点E，
则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， .
在 和 中，
，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴ 的周长为 .
∴在正方形OABC的旋转过程中， 的周长不发生变化.
