第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知点 P（－1，0），设不垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线 y2＝2x 交于不同的两点 A、B，若 x 轴是∠APB
的角平分线，则直线 l 一定过点
A 1．（ 2 ，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0）
2 x
2 y2
．已知F1，F2 分别为椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长PFa b 1
交椭圆于点Q，若PF2 PQ ，且 PF2 PQ ，则椭圆的离心率为
A． 6 3 B． 2 1 C． 3 2 D． 2 2
3．已知 F1, F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 | | PF1 |，椭圆的离心率为 e1 ，
3 e2
双曲线的离心率为 e2， | PF1 | | F1F2 | ，则 e 3 的最小值为（ ）1
A．4 B．6 C． 4+2 2 D．8
4．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段PF1的垂直平分线
2 e
过F 22 ，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则 e 2 的最小值为（ ）1
A． 6 B．3 C．6 D． 3
5 2．已知点A 是抛物线C : x 2 py p 0 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一
条切线，切点为 P ，且满足 PA 2 ，则抛物线C 的方程为（ ）
A． x2 8y B． x2 4y C． x2 2y D． x2 y
6．已知点E 是抛物线C : y2 2 px( p 0) 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点 P 在抛物线C
上.在 EFP中，若 sin EFP sin FEP ，则 的最大值为（ ）
A 2． B 3． C． 2 D． 3
2 2
7．抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点为 F，准线为 l ，A、B 是抛物线上的两个动点，且满足 AFB . 设线段
3
MN
AB 的中点 M 在 l上的投影为 N，则 AB 的最大值是
2 3 1
A． B．1 C． D．
3 2 6
8．设抛物线 y2 2x 的焦点为F ，过点M ( 3，0) 的直线与抛物线相交于A ， B 两点，与抛物线的准线
S
相交于点C ， | BF | 2 ，则△BCF 与 ACF BCF的面积之比 S 等于 ACF
4 2 4
A B C D 1． ． ． ．
5 3 7 2
2 2
9．已知F1，F2 是椭圆C
x y
： 2 2 1 (a b 0)的左，右焦点，A
3
是C 的左顶点，点 P 在过A 且斜率为 的直
a b 6
线上，△PF1F2 为等腰三角形， F1F2P 120 ，则C 的离心率为
2 1 1 1A． B． 2 C． D．3 3 4
2
10 x y
2
．已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, F2 ，过F1且与 x轴垂直的直线交椭圆于 A, B两点，a b
直线 AF2 与椭圆的另一个交点为C ，若 S ABC 3S BCF2 ，则椭圆的离心率为
A 3 3 B 10 C 3 D 5． ． ． ．
10 5 3 5
二、多选题
2 2
11 x y．已知椭圆C : 1的左、右焦点分别为F 、E ，直线 x m 1 m 1 与椭圆相交于点A 、 B ，则
4 3
（ ）
A C 3．椭圆 的离心率为
2
B．存在m ，使 FAB 为直角三角形
C．存在m ，使 FAB 的周长最大
D．当m 0时，四边形FBEA面积最大
2 2
12 x y．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F1(2 6,0)，点 A 坐标为a b 0,1 ，点 P 双曲线左支上的动点，
且△APF1的周长不小于 14，则双曲线 C 的离心率可能为（ ）
A． 3 B．2 C． 5 D．3
13．已知O为坐标原点，M 1,2 ， P 是抛物线C ： y2 2 px上的一点，F 为其焦点，若F 与双曲线
x2
y2 1的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
3
A．若 PF 6 ，则点 P 的横坐标为 4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 3
C．若 POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9
D．△PMF 周长的最小值为3 5
14 x2
1
．已知抛物线 y的焦点为F ，M x1, y1 ， N x2 , y2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）2
1
A．点F 的坐标为 ,0
8
1
B．若直线MN 过点F ，则 x1x2 16
C MN 1．若MF NF ，则 的最小值为 2
MF NF 3 5D．若 ，则线段MN 的中点 P 到 x轴的距离为
2 8
三、填空题
15．过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 的动直线交 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 N，点 P（12，4）．当|NA|+|NP|
的值最小时，点 N 的横坐标为 ____．
16 2．已知抛物线C ： y 2 px p 0 的焦点为F ，过点F 且斜率为 3 的直线 l交C 于A ， B 两点，以线段 AB
为直径的圆交 y 轴于M ， N 两点，设线段 AB 的中点为Q，若点F 到C 的准线的距离为 3，则 sin QMN 的
值为______．
x2 217．已知双曲线 E y： 2 2 1(a 0,b 0) 的左焦点为 F1，过点 F1的直线与两条渐近线的交点分别为 M，Na b
两点（点 F1位于点 M 与点 N 之间），且MN 3F1N ，又过点 F1作 F1P⊥OM 于 P（点 O 为坐标原点），且|ON|
＝|OP|，则双曲线 E 的离心率 e 为 __．
2 2
18 x y．已知椭圆 C： 2 2 ＝1（a＞b＞0）的焦距为 4，直线 l：y＝2x 与椭圆 C 相交于点 A、B，点 P 是椭a b
5
圆 C 上异于点 A、B 的动点，直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2，且 k1 k2＝ ，则椭圆 C 的标准方程是9
__．
四、解答题
x219 y
2
．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2，上、右顶点分别是 A、B，满足∠F1AFa b 2
＝
120°， | AB | 5 ．
2 2 2
20 x y a．已知双曲线 E： 2 ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，离心率 e＝2，直线 l：x＝ 与 E 的一条渐a b2 c
近线交于 Q，与 x 轴交于 P，且|FQ|＝ 3 ．
（1）求 E 的方程；
（2）过 F 的直线交 E 的右支于 A，B 两点，求证：PF 平分∠APB．
x2 y2 2 221．已知 a b 0，曲线Γ x y由曲线C1 : 2 2 1 y 0 和曲线C2 : 2 2 1(y 0)组成，其中曲线C1的右a b a b
焦点为F1 2,0 ，曲线C2 的左焦点F2 6,0 .
（1）求 a,b的值；
（2）若直线 l过点F2 交曲线C1于点 A, B，求 ABF1 面积的最大值.
22．已知抛物线C：y2 2 px p 0 的焦点为F ，点P t, 2 在C 上，且 PF 2 OF （O为坐标原点）．
（1）求C 的方程；
（2）若 A, B是C 上的两个动点，且 A, B两点的横坐标之和为8．
（ⅰ）设线段 AB 的中垂线为 l，证明： l恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为D，当 AB 取最大值时，且 P ，D位于直线 AB 两侧时，求四边形PADB的面积．第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知点 P（－1，0），设不垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线 y2＝2x 交于不同的两点 A、B，若 x 轴是∠APB
的角平分线，则直线 l 一定过点
A 1．（ 2 ，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0）
【答案】B
【分析】
根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在 x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设
出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以 AP、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦
达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.
【详解】
根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在 x 轴上，
设直线的方程为 x ty m，与抛物线方程联立，消元得 y2 2ty 2m 0，
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，因为 x 轴是∠APB 的角平分线，
y y
所以 AP、BP 1 2的斜率互为相反数，所以 0x1 1 x 1
，
2
结合根与系数之间的关系，整理得出 2ty1y2 (m 1)(y1 y2 ) 0，
即 2t( 2m) 2tm 2t 0， 2t(m 1) 0，解得m 1，所以过定点 (1,0)，
故选 B.
【点睛】
该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的
性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键.
2 2
2 F F x y．已知 1， 2 分别为椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长PFa b 1
交椭圆于点Q，若PF2 PQ ，且 PF2 PQ ，则椭圆的离心率为
A． 6 3 B． 2 1 C． 3 2 D． 2 2
【答案】A
【分析】
由题意可得 PQF2 为等腰直角三角形，设|PF2|＝t，运用椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，再由等腰直角三角
形的性质和勾股定理，计算可得离心率．
【详解】
解：PF2⊥PQ 且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，
设|PF2|＝t，则|QF2|＝ 2t ，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，
2t 2t 4a
则 t＝2（2﹣ 2 ）a，
在直角三角形 PF1F2中，
可得 t2+（2a﹣t）2＝4c2，
4（6﹣4 2 ）a2+（12﹣8 2 ）a2＝4c2，
化为 c2＝（9﹣6 2 ）a2，
c
可得 e＝ ＝
a 6 3
．
故选 A.
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及
运算求解能力．
3．已知 F1, F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 | | PF1 |，椭圆的离心率为 e1 ，
3 e
e | PF | | F F | 2双曲线的离心率为 2， 1 1 2 ，则 e 3 的最小值为（ ）1
A．4 B．6 C． 4+2 2 D．8
【答案】D
【分析】
3 e
由题意可得 | PF1 | | F1F
2
2 | 2c，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得 e1 3
的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
【详解】
2 2
由题意得： | PF1 | | F1F2 | 2c
x y
，设椭圆方程为 2 1(a b 0) ，a b 2 1 11 1
x2 y2
双曲线方程为 2 2 1(a2 0,b 0) ，a2 b
2
2
又∵ | PF1 | | PF2 | 2a1,| PF2 | | PF1 | 2a2 .
∴ | PF2 | +2c 2a1,| PF2 | 2c 2a2 ，∴ a1 a2 2c，
3 e2 c 3a 9a a c
2
则 1 1 2
e1 3 3a2 c 3ca2
9(2c a2 )a2 c
2
6 3a2 c
3ca2 c 3a2
3a2 c 3a2 c 3a c 6 2 6 8 2，当且仅当 c 3a ，c 3a2 c 3a2 2
即 e2 3时等号成立.
3 e
则 2e 3 的最小值为 8.1
故选：D
【点睛】
3 e 1 9a c 1 9a c
考查椭圆和双曲的定义, 2焦半径公式以及离心率，其中将 e 3 化为
( 2 18) (2 2 18) 8
1 3 c a2 3 c a2
为解题关键，注意取等号.
4．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段PF1的垂直平分线
2 e
过F 22 ，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则 e 2 的最小值为（ ）1
A． 6 B．3 C．6 D． 3
【答案】C
【分析】
2 e
利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 2e 2 ，再利用均值不等式得到答案．1
【详解】
设椭圆长轴 2a1，双曲线实轴 2a2 ，由题意可知： F1F2 F2P 2c，
又 F1P F2P 2a1, F1P F2P 2a2 ， F1P 2c 2a1, F1P 2c 2a2，
2
两式相减，可得： a1 a2 2c
2 e2 2a1 c 4a1a2 c， ，
e1 2 c 2a2 2ca2
2 e2 4 2c a2 a 22 c 8ca2 4a2 c2 2 4 2 a2 c ． ，
e1 2 2ca2 2ca2 c 2a2
a2 c 2a c 2 2 2a2 c 2 2，当且仅当 时取等号，
c 2a2 c 2a2 c 2a2
2 e
2
e1 2
的最小值为 6，
故选：C．
【点睛】
2 e2
本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 e 2 是解题的关键，意在考查学生的计1
算能力．
5．已知点A 是抛物线C : x2 2 py p 0 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一
条切线，切点为 P ，且满足 PA 2 ，则抛物线C 的方程为（ ）
A． x2 8y B． x2 4y C． x2 2y D． x2 y
【答案】C
【分析】
p p
本题首先可根据题意得出点 A 0, 2 ，然后设切线方程为
y kx 、切点为P xP , yP ，通过联立抛物线
2
与切线方程解得 k 1，最后对 k 1、 k 1两种情况分别进行讨论，通过 PA 2 即可得出结果.
【详解】
p p
由题意可知，抛物线准线方程为 y ，点 A 0, 2 ，切线斜率
k 一定存在，
2
p
设过点A 与抛物线相切的直线方程为 y kx ，切点P x , y ，
2 P P
y kx
p
联立抛物线与切线方程 2 ，转化得 x2 2 pkx p2 0 ，
x
2 2 py
4 p2k 2 4 p2 0 ，解得 k 1，
p
当 k 1时，直线方程为 y x ，
2
2 p px 2 px p2 0，解得 xP p，则 yP xP ，2 2
2
因为 PA 2 p ，所以 x2 y 2，解得 p 1P P ；
2
当 k 1时，同理得 p 1，
综上所述，抛物线方程为 x2 2y ，
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两
点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.
6．已知点E 是抛物线C : y2 2 px( p 0) 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点 P 在抛物线C
上.在 EFP中，若 sin EFP sin FEP ，则 的最大值为（ ）
A 2． B 3． C． 2 D． 3
2 2
【答案】C
【分析】
利用抛物线的几何性质，求得E, F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为
1 的形式.根据余弦函数的单调性可以求得 的最大值.
cos PEF
【详解】
p p
由题意得，准线 l : x
p
E ，
2
,0 ，F
2
,0 ，过 P 作PH l2 ，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF ，
sin EFP PE PE 1 1于是 ， y cosx 在 0, 上为减函数， 当 PEF 取到
sin FEP PF PH cos EPH cos PEF
最大值时（此时直线PE与抛物线相切），计算可得直线PE的斜率为1，从而 PEF 45 ，
1 max 22 ,故选 C.
2
【点睛】
本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.
7．抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点为 F，准线为 l ，A、B 是抛物线上的两个动点，且满足 AFB
. 设线段
3
MN
AB 的中点 M 在 l上的投影为 N，则 AB 的最大值是
2 3 1
A． B．1 C． D．
3 2 6
【答案】B
【详解】
设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，
配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，
a b
又∵ab≤ ( ）2
2
∴（a+b）2
3 1
﹣3ab≥（a+b）2﹣ （a+b）2= （a+b）2
4 4
得到|AB|≥ 12 （a+b）．
|MN |
∴ AB ≤1，
|MN |
即 AB 的最大值为 1．
故选 B．
点睛：本题难点在寻找解题的思路，作为一个最值的问题，这里首先要联想到函数的思想，先求出|MN|，
|AB|,再利用基本不等式解答.
8．设抛物线 y2 2x 的焦点为F ，过点M ( 3，0) 的直线与抛物线相交于A ， B 两点，与抛物线的准线
S
相交于点C ， | BF | 2 ，则△BCF ACF BCF与 的面积之比 S 等于 ACF
4 2 4
A． B． C D 1． ．
5 3 7 2
【答案】A
【详解】
1
如图过 B 作准线 l：x 的垂线，垂足分别为 A1，B1， 2
S BCF BC BC BB ，又 B1BC∽ A1AC,S AC
1 ，，
ACF AC AA1
BB1 BF 2 3
由拋物线定义 ． 由 BF BB1 2
3
x AB：y 0 （x 3）．知 B ，y 3AA AF AF B ， 3 1 2 3 2
x y
2 5
把 代入上式，求得 yA 2，x 2， AF AA2 A 1
．
2
S BCF BF 2 4 ．
故 S ACF AF 5 5
2
故选 A．
2 2
9．已知F x y 31，F2 是椭圆C：a2 b2 1 (a b 0)的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过A 且斜率为 的直6
线上，△PF1F2 为等腰三角形， F1F2P 120 ，则C 的离心率为
2 1 1 1A． B． 2 C． D．3 3 4
【答案】D
【详解】
分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.
详解：因为△PF1F2 为等腰三角形， F1F2P 120 ，所以 PF2=F1F2=2c,
3 1 12
由 AP 3斜率为 得， tan PAF2 , sin PAF2 ，cos PAF ，6 6 13 2 13
PF2 sin PAF
由正弦定理得 2AF2 sin APF
,
2
1 1
2c
13 13 2 1所以 a c sin( π
= = a 4c,e ，故选 D.
PAF ) 3 12 1 1 5 4
3 2 2 13 2 13
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c的方程或不等式，再根
据 a,b,c 的关系消掉b 得到 a,c 的关系式，而建立关于 a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几
何性质、点的坐标的范围等.
2 2
10 x y．已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, F2 ，过F1且与 x轴垂直的直线交椭圆于 A, B两点，a b
直线 AF2 与椭圆的另一个交点为C ，若 S ABC 3S BCF2 ，则椭圆的离心率为
A 3 3 B 10． ． C 3 5． D．
10 5 3 5
【答案】D
【详解】
2
分析：由题意可知：可设 A b（-c， ），C（x，y），由 S△ABC＝3S△BCF2，可得 AF2 2F2C , a
2
根据向量的坐标运算求得 x=2c b，y= ，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．
2a
b
详解：设椭圆的左、右焦点分别为 F1（-c，0），F2（c，0），由 x=-c，代入椭圆方程可得 y x可设 Aa
2
（﹣c， ），C（x b，y），由 ，可得 AF2 2F2C ，即有 (2c, ) 2(x c, y) ），即a
2
2c=2x-2c x=2c y b， 可得： ， 代入椭圆得： ，根据离心率公式可
2a
16e2+1-e2=4 e=± 5知： ，解得 ，由 0＜e＜1，则 e= 5 ，故选 D
5 5
点睛：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
二、多选题
2 2
11．已知椭圆C : x y 1的左、右焦点分别为F 、E ，直线 x m 1 m 1 与椭圆相交于点A 、 B ，则
4 3
（ ）
A C 3．椭圆 的离心率为
2
B．存在m ，使 FAB 为直角三角形
C．存在m ，使 FAB 的周长最大
D．当m 0时，四边形FBEA面积最大
【答案】BD
【分析】
直接求出椭圆的离心率判断A ；利用椭圆的对称性及角 AFB 的范围判断 B ；利用椭圆定义及数学转化分析
FAB的周长判断C ；由四边形面积公式分析D正确．
【详解】
解：如图所示：
1
对于A ，由椭圆方程可得， a 2，b 3 ，则 c a2 b2 1，椭圆C 的离心率为 e ，故A 错误；2
对于 B ，当m 0时，可以得出 AFE ，
3
若取m 1时，得 tan AFE
3
1 tan
4 4 ，
根据椭圆的对称性，存在m 使 FAB 为直角三角形，故 B 正确；
对于C ，由椭圆的定义得， FAB 的周长 | AB | | AF | | BF |
| AB | (2a | AE |) (2a | BE |) 4a | AB | | AE | | BE |，
| AE | | BE | | AB |， | AB | | AE | | BE | 0 ，当 AB 过点E 时取等号，
| AB | | AF | | BF | 4a | AB | | AE | | BE | 4a ，即直线 x m过椭圆的右焦点E 时， FAB 的周长最大，
此时直线 AB 的方程为 x m c 1，但是 1 m 1，
不存在m ，使 FAB 的周长最大，故C 错误；
对于D， | FE |一定，根据椭圆的对称性可知，当m 0时， | AB |最大，四边形FBEA面积最大，故D正
确．
故选：BD．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力．
12 x
2 y2
．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F1(2 6,0)，点 A 坐标为 0,1 ，点 P 双曲线左支上的动点，a b
且△APF1的周长不小于 14，则双曲线 C 的离心率可能为（ ）
A． 3 B．2 C． 5 D．3
【答案】ABC
【分析】
△APF1的周长不小于 14，即周长的最小值不小于 14，可得 | PA | | PF1 |的最小值不小于 9， | PA | | PF2 | 2a
的最小值不小于 9，分析出当 A， P ，F2 三点共线时， | PA | | PF2 | 2a 取最小值5 2a，可得 a 的范围，从
而可得答案.
【详解】
由右焦点为F1(2 6,0)，点 A的坐标为 (0,1)， | AF1 | 24 1 5，
△APF1的周长不小于 14，即周长的最小值不小于 14，
可得 | PA | | PF1 |的最小值不小于 9
又F2 为双曲线的左焦点，可得 | PF1 | | PF2 | 2a ，
| PA | | PF1 | | PA | | PF2 | 2a ，
当 A， P ，F2 三点共线时， | PA | | PF2 | 2a 取最小值5 2a
所以5 2a 9，即 a 2，因为 c 2 6 ，
c
可得 e 6a ．
故选： ABC ．
【点睛】
求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及
顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在
联系.求离心率范围问题应先将 e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 e的不等式，
从而求出 e的范围
13．已知O为坐标原点，M 1,2 ， P 是抛物线C ： y2 2 px上的一点，F 为其焦点，若F 与双曲线
x2
y2 1的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
3
A．若 PF 6 ，则点 P 的横坐标为 4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 3
C．若 POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9
D．△PMF 周长的最小值为3 5
【答案】ACD
【分析】
先求出 p 4
p
，选项 A 求出点 P 的横坐标为 x0 PF 4 ，判断选项 A 正确；选项 B 求出抛物线的准线2
2b2 2 2 3
被双曲线所截得的线段长度为 ，判断选项 B 错误；选项 C 先判断 POF 外接圆的圆心的横
a 3 3
坐标为 1，再判断 POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等
于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项 C 正确；选项 D 直接求出△PMF 的周长为C 3 5 ，判
断选项 D 正确.
【详解】
x2
解：因为双曲线的方程为 y2 1，所以 a2 3，b2 1，则
3 c a
2 b2 2，
x2 p
因为抛物线C 的焦点F 与双曲线 y2 1的右焦点重合，所以 =2，即 p 4 ，
3 2
p
选项 A：若 PF 6 ，则点 P 的横坐标为 x0 PF 4 ，所以选项 A 正确；2
2
选项 B x：因为抛物线C 的焦点F 与双曲线 y2 1的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线
3
2b2 2 2 3
段长度为 ，所以选项 B 错误；
a 3 3
选项 C：因为O(0,0) 、F (2,0)，所以 POF 外接圆的圆心的横坐标为 1，又因为 POF 外接圆与抛物线C 的
准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距
离为 3，所以 r 3，所以该外接圆面积为 S r 2 9 ，所以选项 C 正确；
选项 D：因为△PMF 的周长为
C PF PM MF p xP PM 5 (xP PM ) 2 5 xM 2 5 3 5 ，所以选项 D 正确.2
故选：ACD
【点睛】
本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，
x2 114．已知抛物线 y的焦点为F ，M x1, y1 ， N x2 , y2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）2
1
A．点F 的坐标为 ,0
8
1
B．若直线MN 过点F ，则 x1x2 16
C．若MF NF ，则 MN
1
的最小值为 2
3 5
D．若 MF NF ，则线段MN 的中点 P 到 x轴的距离为
2 8
【答案】BCD
【分析】
由抛物线标准方程写出焦点坐标判断 A，根据焦点弦性质判断 B，由向量共线与焦点弦性质判断 C，利用抛
物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断 D．
【详解】
1
解：易知点F 的坐标为 0, ，选项 A 错误；
8
2 1
根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时， x1x2 p ，选项 B 正确；16
1
若MF NF ，则MN 过点F ，则 MN 的最小值即抛物线通经的长，为 2 p ，即 2 ，选项 C 正确，
1
抛物线 x2
1
y 的焦点为 0,
1
，准线方程为 y ，过点M ， N ， P 分别做准线的垂直线8 MM
， NN ，
2 8
PP ，垂足分别为M ， N ，P ，所以 MM MF ， NN NF .
3 MM NN 3
所以 MM NN MF NF ，所以线段 PP
2 2 4
1 3 1 5
所以线段MN 的中点 P 到 x轴的距离为 PP ，选项 D 正确．
8 4 8 8
故选：BCD．
【点睛】
本题考查抛物线的定义与标准方程，考查抛物线的焦点弦性质，对抛物线 y2 2 px， AB
2
是抛物线的过焦点的弦， A(x1, y1), B(x2 , y2 )，则 y1 y2 p
2
， x p1x2 ， AB x1 x2 p ， AB 最小时，4
AB 是抛物线的通径．
三、填空题
15．过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 的动直线交 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 N，点 P（12，4）．当|NA|+|NP|
的值最小时，点 N 的横坐标为 ____．
【答案】9
【分析】
根据椭圆定义问题可转化为|MN|+|NP|的最小值问题，数形结合可得 M，N，P 三点共线时有最小值.
【详解】
分别过点 A，B，N 作准线的垂线，垂足为 A1，B1，M，如图所示，
由抛物线的定义知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝2|MN|，
∴|NA|+|NP| 1＝ 2 |AB|+|NP|＝|MN|+|NP|，
故原问题可转化为|MN|+|NP|的最小值问题，
当 M，N，P 三点共线时，|MN|+|NP|取得最小值，此时 yN＝yP＝4，
y2 4x
设 A（x1，y
1 1
1），B（x2，y2），则 ，
y
2
2 4x2
y1 y2 4 4 4 1 1
两式相减得， x ＝ 1 x2 y1 y
＝ 2y ＝ ，即直线 AB 的斜率为 ，2 N 2 4 2 2
又直线 AB 经过点 F（1，0），
∴ 1直线 AB 的方程为 y＝ 2 （x﹣1），
1
把 yN 4代入，得 4 (xN 1)2
解得 xN ＝9，
∴当|NA|+|NP|的值最小时，点 N 的横坐标为 9．
故答案为：9
16 2．已知抛物线C ： y 2 px p 0 的焦点为F ，过点F 且斜率为 3 的直线 l交C 于A ， B 两点，以线段 AB
为直径的圆交 y 轴于M ， N 两点，设线段 AB 的中点为Q，若点F 到C 的准线的距离为 3，则 sin QMN 的
值为______．
5
【答案】
8
【分析】
由题意得 p 3，可得抛物线的方程和直线 AB 的方程，联立直线 AB 方程和抛物线方程，运用韦达定理和中
点坐标公式可得 AB 的中点Q的坐标和弦长 AB ，可得圆Q的半径，在 QMN 中，由锐角三角函数的定义可
得所求值
【详解】
2
解：抛物线C ： y 2 px p 0 的焦点为F ( p ,0) p，准线方程为 x ，
2 2
p 3 y2 3由题意得 ，则抛物线方程为 6x, F ( ,0)，
2
3
则直线 AB 的方程为 y 3(x )，
2
y 3(x
3
)
2 3x2 27由 ，得 15x 0 ，
y2 6x
4
设 A, B的横坐标分别为 x1, x2 ，则 x1 x2 5，
5
所以 AB 的中点Q的坐标为 ( , 3) ， AB x1 x2 p 5 3 8，2
则圆Q的半径为 4，
5
在 QMN 中， sin QMN 5 2 ，
4 8
5
故答案为：
8
【点睛】
关键点点睛：此题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是联立直
线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式进行转化，考查方程思想和计算能力，属于中档题
2 2
17 x y．已知双曲线 E： 2 2 1(a 0,b 0) 的左焦点为 F1，过点 F1的直线与两条渐近线的交点分别为 M，Na b
两点（点 F1位于点 M 与点 N 之间），且MN 3F1N ，又过点 F1作 F1P⊥OM 于 P（点 O 为坐标原点），且|ON|
＝|OP|，则双曲线 E 的离心率 e 为 __．
2 3
【答案】
3
【分析】
由对称性得 ON⊥MN，由点到直线距离公式得 F1N ，然后由勾股定理求得 a,b,c的关系得出离心率．
【详解】
x2 y2 b
解：双曲线 E： 2 2 1(a 0,b 0) 的渐近线方程为 y x，a b a
∵|ON|＝OP|，且 F1P⊥OM，可得△PF1O≌△NF1O，ON⊥MN，
双曲线的一条渐近线方程为 bx﹣ay＝0，
bc
则|F1N|＝|F1P|＝ 2 2 ＝b．a b
∵ MN 3F1N ，∴|MN|＝3b，|MF1|＝2b，
2 2 2
由勾股定理可得，|ON|＝|OP|＝ c2 b a，|PM|＝ MF1 PF1 ＝ 3b，
又|MN|2+|ON|2＝|OM|2，∴(3b)2+a2＝(a+ 3b )2，
整理可得 a＝ 3b，即 3c2＝4a2，∴ e
c 2 3
．
a 3
2 3
故答案为： ．
3
2 2
18 C x y．已知椭圆 ： 2 2 ＝1（a＞b＞0）的焦距为 4，直线 l：y＝2x 与椭圆 C 相交于点 A、B，点 P 是椭a b
5
圆 C 上异于点 A、B 的动点，直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2，且 k1 k2＝ ，则椭圆 C 的标准方程是9
__．
x2 y2
【答案】 ＝1
9 5
【分析】
5
设 P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x 2 21，﹣y1），代入作差法表示出 k1 k2＝ ，与 a - b ＝4联立，即可求出9
椭圆的标准方程.
【详解】
2 2 2 2
设 P（x0，y0），A（x1，y B x y
x y x y
1）， （﹣ 1，﹣ 1），则
0 0 1， 1 12 2 1，a2 b2 a b
x20 x
2
1 y
2 y 2
两式作差得 0 1 0 ．
a 2 b2
2 2
因为直线 PA，PB 的斜率都存在，所以 x0 x1 ≠0．
b2 y20 y
2
1 y0 y1 y0 y1 5
所以 2 ＝﹣ 2 2 ＝﹣
x x x x ＝﹣k1 k2＝ ，则5a
2 2 ，
a x x 9
- 9b ＝0
0 1 0 1 0 1
又因为焦距为 4，则 a2 - b2＝4，联立两式可得 a2 =9,b2＝5
x2 y2
所以该椭圆的方程为： ＝1
9 5
x2 y2
故答案为： ＝1
9 5
四、解答题
x2 y219．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2，上、右顶点分别是 A、B，满足∠Fa b 1
AF2＝
120°， | AB | 5 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)与圆 x2+y2＝1 相切的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，求|PQ|的最大值及此时直线 l 的斜率．
2
【答案】(1)C : x y2 1；(2)|PQ| 2max＝2；直线 l 的斜率为 k ．4 2
【分析】
(1)由焦点△AF1F2 得出 a,b,c的关系，解得 a,b,c得椭圆标准方程；
(2)设直线方程为 x＝ty+m，由直线与圆相切得 t,m 关系，直线方程代入椭圆方程，计算出 0，设设 P(x1，
y1)，Q(x2，y2)，由韦达定理得 y1 y2 , y1 y2 ，求得 y1 y2 ，得弦长 PQ ，设 1 t 2 n换元后用基本不等式
得最值及直线斜率．
【详解】
c
解：(1)因为 tan OAF2 ，b | AB | a
2 b2 ，
得 tan 60
c
， 2 2
b a b 5
，
又 a2＝b2+c2，所以 c 3b ，a2＝4b2，5b2＝5，解得 b＝1，a＝2，
x2
椭圆的标准方程为C : y2 1；
4
(2)由题意知直线 l 不能平行于 x 轴，所以设为 x＝ty+m，
| m |
由已知得(0，0)到 x﹣ty﹣m＝0 的距离为 1，即 1
1 t 2
，
所以 m2＝t2+1，
联立直线和椭圆得(ty+m)2+4y2＝4，即(t2+4)y2+2tmy+m2﹣4＝0，
得△＝(2tm)2﹣4(t2+4)(m2﹣4)＝﹣4(4m2﹣4t2﹣16)＝16(t2﹣m2+4)＝16×3，
P(x y ) Q(x y ) |y y | (y y )2 4y y 4 3
2
设 1， 21 ， 2， 2 ，则 2﹣ 1 1 2 1 2 ， | PQ | 1 t |y y |
4 3 t 1
2 2 2﹣ 1 ＝ ，t 4 t 4 t 2 4
| PQ | 4 3n 4 3 4 3 2
设 1 t 2 n，则 n≥1， n2 3 3 ，n 2 3
n
当 n
3
，即
n n 3
时，得|PQ|max＝2，
1 2
此时 t 2 ，直线 l 的斜率为 ．
t 2
2 2 2
20 x y a．已知双曲线 E： 2 2 ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，离心率 e＝2，直线 l：x＝ 与 E 的一条渐a b c
近线交于 Q，与 x 轴交于 P，且|FQ|＝ 3 ．
（1）求 E 的方程；
（2）过 F 的直线交 E 的右支于 A，B 两点，求证：PF 平分∠APB．
2
【答案】（1 x2 y） 1；（2）证明见解析.
3
【分析】
（1）先将直线 l的方程与渐近线方程联立求出点 Q 的坐标，求出 PF 的长，从而可求出|FQ|，再由|FQ|＝ 3
，可求出b 的值，再结合离心率可求出 a 的值，从而可求出 E 的方程；
（2）设过点 F 得直线方程为：x＝my+2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与双曲线方程联立方程组，
消去 x，再利用根与系数的关系，然后表示出 kPA，kPB，相加化简，若等于零，可得 PF 平分∠APB
【详解】
2 b
解：（1）不妨设直线 l：x a＝ 与 E 的一条渐近线 y x 交于 Q，则
c a
x a
2
c ab
由 得 yQ＝ ，
y b c x
a
a2 b2
又 PF＝c﹣ ＝ ，
c c
2 ab
2
∴|FQ| b＝（ ）2+（ ）2＝b2＝3，
c c
∴ b 3 ，
2 2
又离心率 e 2 ∴ a b＝ ， 2 4，∴a＝1．a
2
∴E 的方程为： x2 y 1．
3
（2）设过点 F 得直线方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
x my 2
联立 3x2 y2 3，可得（3m
2﹣1）y2+12my+9＝0，
y y 12m y y 9则 1 2 ，3m2 1 1 2
，
3m2 1
∵过 F 的直线交 E 的右支于 A，B 两点，∴y1y2＜0，
3 m 3可得﹣ ＜ ＜ ，
3 3
P 1又 （ 2 ，0），
y y y (my 31 2 1 2 ) y2 (my
3
1 )
∴k +k ＝ 1 1 ＝ 2 2PA PB x ，1 x2 1 12 2 (x1 )(x2 )2 2
y (my 3∴ 1 2 ) y2 (my
3 3
1 ) ＝2my2 2 1
y2+ (y y2 1 2
)
2m 9 3 12m＝ 2 03m 1 2 3m2 1
∴kPA+kPB＝0，
∴PF 平分∠APB．
2 2 2 2
21．已知 a b 0 x y，曲线Γ 由曲线C1 : 2 2 1 y 0 和曲线C2 :
x y
1(y 0)组成，其中曲线C 的右
a b a2 b2 1
焦点为F1 2,0 ，曲线C2 的左焦点F2 6,0 .
（1）求 a,b的值；
（2）若直线 l过点F2 交曲线C1于点 A, B，求 ABF1 面积的最大值.
a 2 5 16 5
【答案】（1） ；（2）最大值为 .
b 4 3
【分析】
（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；
（2）设出直线 l的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值.
【详解】
解：（1）由题意： F1(2,0), F2 ( 6,0)，
a2 b2 36 a2 20 a 2 5 a2 b2
，解得 即
4
2
b 16 b 4
2 2
（2）由（1 x y）知，曲线C1 : 1(y 0)，点F2 ( 6,0)，20 16
设直线 l 的方程为： x my 6(m 0) ，
x my 6
2
联立 x2 y2 得： 5 4m y2 48my 64 0，
1
20 16
(48m)2 4 64 (5 4m2 ) 0，又m 0， m 1，
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
y 48m 64 1 y2 ， y y5 4m2 1 2
，
5 4m2
2
y1 y2 y1 y
2 16 5 m 1
2 4y1 y2 ，5 4m2
ABF S 1 F F y y 1 8 16 5 m
2 1 m2 1
1 面积
2 1 2 1
2 ，2 5 4m2
64 5
5 4m2
令 t m2 1 0 ， m2 t 2 1，
S 64 5t 64 5 2
16 5
4t 9 4t 9 3
，
t
t 3 m 13当且仅当 ，即 时等号成立，2 2
ABF 16 5所以 1 面积的最大值为 .
3
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 A x1，y1 ，B x2，y2 ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x（或 y ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 x1 x2 , x1x2 形式；
（5）代入韦达定理求解.
22 2．已知抛物线C：y 2 px p 0 的焦点为F ，点P t, 2 在C 上，且 PF 2 OF （O为坐标原点）．
（1）求C 的方程；
（2）若 A, B是C 上的两个动点，且 A, B两点的横坐标之和为8．
（ⅰ）设线段 AB 的中垂线为 l，证明： l恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为D，当 AB 取最大值时，且 P ，D位于直线 AB 两侧时，求四边形PADB的面积．
【答案】（1） y2 4x；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）5 10 2 15 .
【分析】
t
p p
2
（1）根据题意得 t 0， 2 2 ，进而解方程即可得答案；
4 2 pt
x x y y
（2）（ⅰ）设 AB 中点为E m,n ，则m 1 2 4， n 1 2 ，进而分 x
2 2 1
x2和 x1 x2 两种情况求解直线 l
方程，以证明直线过定点；
（ⅱ）直线 AB 与抛物线 y2 4x联立方程消去 x，根据韦达定理与弦长公式求得 | AB | 10 当且仅当 n2 6时
等号成立，进而得直线 AB : 2x 6y 2 0，再讨论 P ，D位于直线 AB 两侧时得 AB : 2x 6y 2 0，进
而根据点到直线的距离求解点P, D到直线 AB 的距离以求解四边形的面积.
【详解】
解：（1）由抛物线的性质得 t 0，
p p
t 2 p 2
所以根据抛物线的定义得： 2 2 ，解得 ，
4 2 pt t 1
所以C 的标准方程为 y2 4x．
（2）设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，且 x1 x2 8．
（ⅰ）证明：设 AB 中点为E m,n m x1 x，则 2 4， n y 1 y2 ，
2 2
当 x1 x2 时， l：y 0 ；
x x k y2 y1 4(y2 y 1) 4 2当 1 2 时， AB x x y2 y2
，
2 1 2 1 y2 y1 n
k n n则 l ， l : y n (x 4)，2 2
令 y 0 ，得 x 6，故直线过定点 6,0
综上， l 恒过定点 6,0 ．
2 n
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 AB : y n (x 4) ，即 x (y n) 4，
n 2
所以直线 AB 与抛物线 y2 4x联立方程消去 x，整理得 y2 2ny 2n2 16 0，
由 0 2，得 n 16, y1 y2 2n， y1 y2 2n
2 16，
2 2
| AB | 1 (n)2 | y1 y |
n 4 16 n
2 (n
2 4)(16 n2 ) 10 ，
2 2
当且仅当 n2 6时等号成立，所以 AB 的最大值为 10，
此时直线 AB 的方程为 AB : 2x 6y 2 0．
对于直线 2x 6y 2 0， (2 6 6 0 2) 2 1 6 ( 2) 2 0 ，
所以点P, D在同侧，不合题意，
对于直线 2x 6y 2 0，满足 P ，D位于直线 AB 两侧，
所以直线 AB : 2x 6y 2 0，
2 6
点 P 到直线 AB 的距离 d1 ，10
点D 到直线 AB 的距离 d2 10 ，
1
所以 SPADB AB d1 d2 5 10 2 15 ．2
