第18章 平行四边形（基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（ ）．
A．4 B． C．3 D．5
3.如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
4.下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6.如图所示，在 中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7.如图，已知 ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．当时， ABCD是正方形 B．当时， ABCD是菱形
C．当时， ABCD是矩形 D．当时， ABCD是菱形
8.如图，在中，平分，D是的中点，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．
10.如图所示，四边形是平行四边形，，为垂足．若，则等于______
11.四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是，则平行四边形的面积是______．
12.如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
13.如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形，要使四边形是菱形，可添如条件__________．
14.在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么______秒后四边形为矩形？
15.在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ．
16.如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．
三．解答题（共60分）
17.（6分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
18.（8分）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，，求的长．
19.（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
20.（8分）如图，在矩形中，点E在上，且．
(1)求证：平分
(2)若，，求的长．
21.（10分）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝ ．
②若，则 时，四边形是正方形．
22.（10分）在矩形中，，，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求BP的长．
(3)如图2，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．
23.（10分）如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当 时，四边形是矩形．
(3)当多长时，四边形是菱形，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第18章 平行四边形（基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】解：平行四边形的判定条件：
A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C．可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
2.如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（ ）．
A．4 B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】解：四边形是矩形，且
，是等边三角形，
故选：A．
3.如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【解析】解：设菱形的两条对角线分：，，
∵菱形的面积，
∴；
故选A．
4.下列说法不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．菱形的对角线互相垂直
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
5.如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∵点F为的中点，∴，，
∴，
∵，∴，∴，
故选：C。
6.如图所示，在 中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵在 ABCD中，M是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，，∴．
故选：D
7.如图，已知 ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．当时， ABCD是正方形 B．当时， ABCD是菱形
C．当时， ABCD是矩形 D．当时， ABCD是菱形
【答案】A
【解析】解：当时，是矩形，故A选项错误，符合题意；
当时，是菱形，故B选项正确，不符合题意；
当时，是矩形，故C选项正确，不符合题意；
当时，是菱形，故D选项正确，不符合题意；
故选A．
8.如图，在中，平分，D是的中点，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】延长交的延长线于点，如图，
，，
平分，，，是等腰三角形，
，点E是的中点，
，是的中位线，．
故选：A．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．
【答案】3
【解析】解：四边形为平行四边形，，，
平分，，，，
，，．
故答案为：．
10.如图所示，四边形是平行四边形，，为垂足．若，则等于______
【答案】30
【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，，
故答案为：．
11.四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是，则平行四边形的面积是______．
【答案】6
【解析】解：作于E，
∵，∴，
∵平行四边形的底边与矩形的长相等，
∴平行四边形的高变为矩形的宽的一半，
∴平行四边形的面积是矩形的面积的一半．
∵矩形的面积是，
∴平行四边形的面积是．
故答案为：．
12.如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．
【答案】
【解析】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13.如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形，要使四边形是菱形，可添如条件__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，
∴，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴当时，，
此时四边形是菱形；
∴可添加的条件为：；
故答案为：（答案不唯一）．
14.在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么______秒后四边形为矩形？
【答案】5
【解析】解：设动点的运动时间为秒，
由题意得：，，
∵四边形是矩形，∴，∴解得．
即当秒时，四边形是矩形．
故答案为：5．
15.在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ．
【答案】或或
【解析】解：如图，①当为对角线时，
，，
先将点向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点，
以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
先将点向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到点，
，，即；
②当为对角线时，同理可得：；
③当为对角线时，同理可得：；
综上所述，点的坐标是或或．
故答案为：或或．
16.如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．
【答案】3
【解析】解：作点关于的对称点，则，连接交于点．
．
由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．
四边形为菱形，周长为，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共60分）
17.（6分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【答案】(1)图见解析;(2)图见解析
【解析】（1）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：平行四边形的面积；
（2）解：如图，平行四边形即为所求；
由图可知：平行四边形的面积．
18.（8分）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，，求的长．
【答案】(1)见解析;(2)16
【解析】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，，∴，
∵点E，F分别为的中点，∴，，∴，
在三角形和中，
，
．
（2）根据题意得∴，
∵平行四边形，，∴为等腰三角形，
∵点F是的中点，∴，
在中，，，
，
19.（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】（1）解：证明：，，四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，．
，平行四边形是矩形，．．
平行四边形是菱形；
（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，
，，，，，
．
20.（8分）如图，在矩形中，点E在上，且．
(1)求证：平分
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴平分．
（2）解：∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴，
由勾股定理得：，
∴．
21.（10分）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝ ．
②若，则 时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析;(2)①120；②
【解析】（1）解：证明：点是中点，，
，，，
，，四边形是平行四边形，
是等腰底边上的高，，四边形是矩形；
（2）①是等腰底边上的高，，，
，，，
由勾股定理得：，
四边形的面积是．
②当，时，四边形是正方形，理由如下：
，，
，
，四边形是正方形；
故答案为：120；．
22.（10分）在矩形中，，，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求BP的长．
(3)如图2，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】（1）解：如图所示，即为所求的三角形，
（2）由翻折可知，，
∵由勾股定理可得：，∴，
设：，则，
则，由勾股定理可得：，即，解得：，∴
（3）如图，由翻折的性质得：，，，∴，
设，则，
∵，，
在和中，，
∴（ASA），∴，，∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
解得，即．
23.（10分）如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当 时，四边形是矩形．
(3)当多长时，四边形是菱形，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)10；(3)当时，四边形是菱形．
【解析】（1）证明：是平行四边形，即，
，
是的中点,，
在与中：
，，是平行四边形；
（2）是平行四边形，，，，
，，，
由（1）可知当时，四边形是矩形，
在中，，，，
，，，
故答案为：；
（3）解：当四边形是菱形时，，
是平行四边形，，，，，，，
是等边三角形，，．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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