第9章 中心对称图形--平行四边形 巩固练习
一、单选题
1．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下面给出了四边形中、、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是( )
A．1：2：2：1 B．2：2：1：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2
4．如图，绕点顺时针旋转，得到，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
7．如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．以下命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个内角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若正方形的周长为16，则其对角线长为______．
12．已知菱形的对角线长分别为6和8，则菱形的面积为______菱形的高是______．
13．已知，菱形中，，对角线、相交于点，点在菱形的边上，且与顶点不重合，若，则的度数为_______．
14．如图，在等腰中，，顶点在平行四边形的边上，已知，则______．
15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接EF，若，则的长为______．
16．如图，中，，，．点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是________．
17．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为 ___．
18．如图，在矩形中，，将矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在边上的点G处，且点E、F分别在边上（含端点），连接，当取得最小值时，折痕的长为___________．
三、解答题
19．如图，在菱形中，于点E，于点F．
(1)求证：．
(2)当，时，求菱形的面积．
20．如图，在四边形中，，，，．
(1)求证；四边形ABCD为平行四边形；
(2)求四边形的面积．
21．如图，平行四边形ABCD对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求的长．
22．如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连．
(1)______°；
(2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
23．（1）【定义理解】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，，则______．
（2）【类比探究】①如图2，E是菱形一边上的中点，P是上的中点，则称是菱形的“双中线”，若，则______．
②如图3，是矩形的“双中线”，若，求的长．
（3）【拓展应用】如图4，是平行四边形的“双中线”，若，，求的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)的长为______．
(2)用含t的代数式表示线段的长．
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．
参考答案：
一、选择1．B2．C3．C4．C5．A6．C7．B8．B9．B10．C
二、填空11．12． 24 13．或14．
15．12 16． 17．2 18．
解答
19．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
20．【详解】（1）证明：在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）可知平行四边形的面积为，
∴四边形的面积为120．
21．【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
即的长为．
22．【详解】（1）解：根据题意得，
∴，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，延长至点，使，连接，
∵为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
23．【详解】解：（1）【定义理解】如图1中，
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵P是的中点，
∴．
故答案为：．
（2）【类比探究】①延长交的延长线于点F，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点B作，交的延长线于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是菱形的“双中线”，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②如图3中，连接，延长交的延长线于H．
在矩形中，，
∴，，
∵是矩形的“双中线”，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
（3）【拓展应用】如图4中，连接，延长交的延长线于H，
在平行四边形中，，，
∴，，
∵是平行四边形的“双中线”，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴．
24．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5；
（2）在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当点Q在线段上时，，
当点Q在线段的延长线上时，，
综上所述，或；
（3）①不存在，理由如下：
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
解得（不合题意），
∴不存在t的值，使得与互相平分；
②存在，
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与互相平分；
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
