人教版数学九年级下册
第二十七章相似微专题——相似与圆综合证明题练习1
如图，已知，，为的中点，以为直径的交于点．
求证：是的切线；
若：：，，求的长．
2. 如图，已知点是的外接圆的圆心，，点是弧上一点，连接并延长交过点且平行于的射线于点．
求证：平分；
判断直线与的位置关系，并证明；
若，，，求的长．
3. 如图，在中，，以上的点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与切于点．
求证：；
求证：；
设，，求直径的长．
4. 如图，，以为直径的交于点，弦，连接．
求证：；
若，，求的长．
5. 如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为点，是延长线上一点，交于点，连接，．
求证：平分；
连接，若，，，求的长．
6. 如图，在中，，点是上一点，以为半径作与相切于点，交于点，交于点．
求证：；
若，，求半径．
7. 如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知．
求证：是的切线；
若，，求的直径．
8. 如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．
求证：；
若，，求的长．
9. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，延长交过点的切线于点．
求证：；
求证：；
若，，求的长．
10. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
求证：∽；
当，时，求线段的长．
11. 如图，点在以为直径的上，点是半圆的中点，连接，，，过点作交的延长线于点．
求证：直线是的切线；
若，，求，的长．
已知：如图，是的直径，点为上一点，点是上一点，连接并延长至点，使，与交于点．
求证：是的切线；
若平分，求证：．
如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求弦的长．
14. 如图，为直径，，为上的两点，且，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
15. 如图，在正方形中，是上一点，连接过点作，垂足为，经过点、、，与相交于点．
求证：∽；
若正方形的边长为，，求的半径．
16. 如图，内接于，弦，弦与相交于点．
求证：∽；
若，，求的长．
17. 如图，在中，弦、相交于点，且．
求证：∽；
若，，，求．
如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的值．
参考答案
1.证明：如图，连接、．
是的直径，
．
为的中点，
，
．
，
，
，
即．
，
，
是的切线．
由知：，
在与中，，，
∽，
，
．
：：，设，则，，
又，
，
解得：负值舍去，
即．
2.证明：，
，
四边形为圆的内接四边形，
．
，
，
平分．
直线与相切，证明如下：
如图，作，连接，，，
，，，
，
，
为的平分线，
等腰三角形“三线合一”，
、、三点共线，
，且，
，
是的半径，
与相切．
由及知，
又，
，
，，
，，
，，
．
3.证明：，
．
是的半径，
为的切线．
又切于点，
．
证明：是的直径，
．
．
又，
．
由得，
．
．
解：由得，，，
∽．
，
．
．
的直径长为．
4.解：连接．
是直径，，
．
，
；
设与相交于点．
，，
，，
．
，，
∽，
，即，，
，，．
设，则，
在中，，
，即，．
∽，
，
．
5.解：是的切线，
，
又，
，
又，
，
平分
过点作，垂足为．
，，，
，
，
设，则，，，，．
，，
∽，
，，
．
6.解：
，
为圆的切线，
为圆的切线，
，
，
又，
，
∽，
，
，
，
又，
，．
，．
；
设，则，，
．．
由可得．
，．
，，
．
7.解： 证明：，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
又是的直径，
是的切线．
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
的直径为．
8.证明：连接，
是的切线，
．
，
，
．
又，
，
，
；
解：是直径，
，
，，
．
，，
∽，
，即，
，．
在直角中，，
．
9.证明：，
，
又，
．
证明：连接，
为的切线，，
．
四边形为的内接四边形，
，
，，
，，
，
，
．
是的直径，．
，，
，
又，
，
，
，，
在中，，
在中，，
．
10.证明：圆心在上，
是圆的直径，
，
连接，
平分，
．
，
，即．
，
．
为圆的半径，
是圆的切线．
证明：，
．
，
．
，，
，
∽．
解：为直角三角形，
，
．
，，
，
垂直平分，
．
为圆的直径，
．
在中，，即，
．
∽，
，
则．
11.证明：连接，
为的直径，点是半圆的中点，
，
，
，
，
直线是的切线；
解：连接，
为的直径，
，
点是半圆的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
由知，，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：．
12.证明：是的直径，
，
，
，，
，
，即，
，
是的直径，
是的切线；
证明：平分，
，
，
，
，
∽，
，
．
13.解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
，，，
≌，
，
又，
；
，，
∽，
，
，
，
，
设，，由勾股定理可得：，
解得：，
．
14.证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
即的半径为．
15.证明：在正方形中，，
，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
∽．
解：如图，连接．
，，
∽，
，即，
∽，
，
，
在正方形中，，
，，
，
，
是的直径，
的半径为．
16.证明：与为同弧所对的圆周角，
．
，
，
即．
又，
∽．
解：由得，即．
解得．
．
17.证明：，，
∽；
解：∽，
，
，，，
，
解得：或．
当时，，
当时，，
，
．
18.解：直线与相切．
理由如下：连接，如图，
在和中，
，
，
，
，
点在上，
为的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
：：，即：：，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
