2022-2023学年鲁教五四新版九年级下册数学期中练习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．＝ C．＝ D．﹣＝6
2．下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线
3．如图，在△ABC中，∠B＝58°，∠C＝32°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．68°
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．近似数28.00与近似数28.0的精确度一样
B．近似数0.32与近似数0.302的有效数字一样
C．近似数2.4×102与近似数240的精确度一样
D．近似数220与近似数0.101都有三个有效数字
5．某体校要从四名射击选手中选拔一名选手参加省体育运动会，选拔赛中每名选手连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
（环） 8.6 8.4 8.6 7.6
x2 0.56 0.74 0.94 1.92
如果要选出一名成绩高且发挥稳定的选手参赛，则应选择的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．锐角A满足，利用计算器求∠A时，依次按键2ndFcos（1÷2）＝，则计算器上显示的结果是（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
7．在函数y＝的图象上有三点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式正确的是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
8．如图，是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面看到的平面图形，正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则从正侧看到的该几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（﹣4，8） B．（﹣4，8）或（4，﹣8）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
10．第七届世界军人运动会（7thCISMMilitaryWorldGames），于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，图中是吉祥物“兵兵”，将图中的“兵兵”通过平移可得到图为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE，交AD于点F．若DG＝GE，AF＝8，BF＝4，△ADG的面积为10，则点F到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2
B．3a+c＝0
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
D．当x≥0时，y随x的增大而减小
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．计算的结果是 ．
14．若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2+x1+x2的值为 ．
15．当a＝ 时，方程无解．
16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若AB＝，则AC所对的圆周角的度数是 ．
17．如图所示，n+1个直角边长为3的等腰直角三角形△AB1C1，△C1B2C2……，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1Dn n的面积为Sn，则S1＝ ；S4＝ ．
18．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中《方田》一章中记载了弧田面积术，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一，即弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2．如图，“弧田”由圆弧和其所对的弦围成，“弦”是圆弧所对的弦长，“矢”是半径长与圆心到弦的距离之差．若弦AB的长为16米，半径OA＝10米，则弧田面积为 平方米．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
20．（8分）最近，学校掀起了志愿服务的热潮，教育处也号召各班学生积极参与，为了解甲、乙两班学生一周服务情况，从这两个班级中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）进行收集、整理、分析，给出了部分信息：
a．甲班40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成6组）：
A.20≤x＜40，B.40≤x＜60，C.60≤x＜80，D.80≤x＜100，E.100≤x＜120，F.120≤x＜140）；
b．甲班40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组的是：
60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 78 78
c．甲、乙两班各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如表：
学校 平均数 中位数 众数
甲 75 m 90
乙 75 76 85
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上面图表中的m＝ ，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为 度；
（2）根据上面的统计结果，你认为 班学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（3）小江和小北两位同学都参加了水井坊街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．
21．（9分）中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
（一）在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位．停车泊位的排列方式有三种，如图所示：
（二）双向通行道路，路幅宽12米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽8米到12米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽8米以下的，不能设停车泊位；
（三）规定小型停车泊位，车位长6米，车位宽2.5米；
（四）设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向通行的道路宽度应不小于4米．
根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为14米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：
（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为 ；
（2）如果这段道路长100米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位 个．（参考数据：，）
22．（9分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间天x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15
售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
23．（9分）对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．
已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．
（1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为 ．
（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，
①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；
②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．
24．（12分）如图，等边△ABC中，点E是BC上一个动点，点D是射线AC上的一个动点，连接DE、AE，且运动过程中始终满足AE＝DE．
（1）如图1，若∠AED＝90°，AC＝1+，求出BE的长；
（2）如图2，以DE为边，在DE的右侧作等边△DEF，延长BC至G，使得CG＝CD，连接DG，再过点F作FH∥DG，交AC于点H，求证：FH+DH＝AB；
（3）如图3，在（2）问条件下，若AB＝4，连接CF、GF，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形DEFG的面积．
25．（13分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C．
（1）求一次函数和二次函数的函数表达式；
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项正确；
D、原式＝5﹣＝4，所以D选项错误．
故选：C．
2．解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．解：∵△ABC中，∠B＝58°，∠C＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣58°﹣32°＝90°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝32°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣32°＝58°．
故选：B．
4．解：A、近似数28.00精确到0.01，近似数28.0的精确到0.1，故选项错误；
B、近似数0.32的有效数字有3、2，近似数0.302的有效数字有3、0、2，故选项错误；
C、近似数2.4×102精确到十位，240的精确度精确到个位，故选项错误；
D、近似数220与近似数0.202都有三个有效数字，故选项正确．
故选：D．
5．解：∵＝＞＞，
∴应从甲和丙中选择，
∵S甲2＝0.56＞S丙2＝0.94，方差小的为甲，
∴应选择的选手是甲．
故选：A．
6．解：∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
故选：C．
7．解：在函数y＝的图象上表示出三点，
A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），
如图所示：
∴y2＜y1＜y3，
故选：A．
8．解：由俯视图知，该几何体共2行3列，
第1行自左向右依次有1个、2个、3个正方体，第2行第2列有1个正方体，
其主视图如下所示：
故选：B．
9．解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
10．解：将图中的“兵兵”通过平移可得到图为：
故选：C．
11．解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝10，
∴S△ADE＝20，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝20，∠BFD＝90°，
∴ （AF+DF） BF＝20，
∴ （8+DF） 4＝20，
∴DF＝2，
∴DB＝＝＝2，
设点F到BD的距离为h，则有 BD h＝ BF DF，
∴2h＝4×2，
∴h＝．
故选：C．
12．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，
∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，
∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，
故A选项不符合题意；
把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，
①×3+②得：12a+4c＝0，
∴3a+c＝0，
故B选项不符合题意；
当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，
由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，
故C选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小；
故D选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：＝4，
故答案为：4．
14．解：根据题意得x1+x2＝，x1 x2＝﹣2，
所以x1 x2+x1+x2＝﹣2+＝﹣．
故答案为﹣．
15．解：原方程可化为x＝2（x﹣3）+ax，
当x＝3时，a＝1．
可见，当a＝1时，原分式方程无解，
故答案为1．
16．解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴sin∠B＝＝，
∴∠B＝45°，
∴AC所对的劣弧上的圆周角的度数是135°，
故答案为：45°或135°．
17．解：连接B1、B2、B3、B4、B5，如图所示：
∵n+1个直角边长为 的等腰直角三角形斜边在同一直线上，
B1、B2、B3、B4、B5 的连线与直线AC5平行，
∵等腰直角三角形的直角边长为3，
∴＝×3×3＝，
由题意可知，△B1C1B2为直角边为3的等腰直角三角形，
∴△AC1D1∽△B2B1D1
∴＝＝1，
S1＝＝×＝，
同理可得△B2D2B3∽△C2D2A，
∴＝＝，
∴S2＝＝×＝3，
同理可得：△B3D3B4∽△C3D3A，
∴＝＝，
S3＝＝×＝，
∴S4＝＝×＝．
故答案为：，．
18．解：如图，设OC与AB交于点D，
由题意得：OC⊥AB，AB＝16米，
∴AD＝BD＝AB＝8（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），
∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）÷2＝（16×4+4×4）÷2＝40（平方米），
故答案为：40．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：
＝÷
＝
＝﹣，
当a＝﹣2时，原式＝﹣＝1．
20．解：（1）由题意得：A的人数为：40×5%＝2（人），B的人数为：40×15%＝6（人），C的人数为14人，
∴甲班的中位数为＝77，
扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为：360°×＝126°，
故答案为：77，126；
（2）根据上面的统计结果，甲班学生志愿服务工作做得好，理由如下：
①甲、乙两班的平均数相等，甲班的中位数比乙班的中位数大；
②甲班的众数比乙班的众数大；
故答案为：甲，①甲、乙两班的平均数相等，甲班的中位数比乙班的中位数大；②甲班的众数比乙班的众数大；
（3）街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的结果有3个，
∴小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为＝．
21．解：（1）可以考虑：平行式或倾斜式．
故答案为平行式或倾斜式
（2）如图，由题意AB＝14，BD＝100，
∵EF≥8，
∴AE＝BF的最大值为（14﹣8）÷2＝3，
∵CF＝6，
∴sin∠FCB＝30°，
作CM⊥MN，
∵CM＝2.5，∠CNM＝∠BCF＝30°，
∴CN＝2CM＝5，
∵BC＝BE≈5.1，
∴CD＝100﹣5.1＝94.9，
∵94.9÷5≈18.9，
取整数18，18×2＝36，
∴在道路两侧最多可以设置停车泊位36个．
故答案为36．
22．解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2＝8.1，
x＝10%或x＝190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，
∴y＝（9﹣4.1）（80﹣3x）
＝﹣14.4x+384，
∵﹣14.4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y有最大值，y大＝﹣14.4×1+384＝369.6（元），
当8≤x≤15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y＝（8.1﹣4.1）（120﹣x）＝﹣4x+480
∵﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝9时，y有最大值，y大＝444（元），
综上所述，y与x（1≤x≤15）之间的函数关系式为：y＝．
∴第9天时销售利润最大．
23．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，
∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．
∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，
∵，
∴＝，
设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∴＝，
∴|2+x|＝3|2﹣x|，
∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，
∴x＝1，或x＝4，
∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．
故答案为：E．
（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），
∵k＝﹣
∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得：
0＝﹣×4+b，
∴b＝，
∴y＝﹣x+．
如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，
设M（x，﹣ x+），由OM＝2得：
x2+＝4，
∴5x2﹣4x﹣10＝0，
则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，
解得xM＝，xN＝，
∴AB＝，PA＝，PB＝，
∵，
∴＝，＝，
∴＝，
∴HA＝，
∴OH＝OA﹣HA＝﹣＝1，
∴Q（1，1）．
②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：
∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．
24．（1）解：如图1，过点E作EN⊥AC于点N，
∵∠AED＝90°，AE＝DE．
∴∠EDA＝∠EAD＝45°，
∵EN⊥AC，
∴∠EAD＝∠AEN＝45°，
∴AN＝NE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝+1，∠ECN＝60°，
∴∠CEN＝30°，
∴EC＝2CN，EN＝CN＝AN，
∵AC＝CN+AN＝CN+CN＝+1，
∴CN＝1，
∴EC＝2，
∴BE＝+1﹣2＝﹣1；
（2）证明：如图2，连接GF，
∵CG＝CD，∠DCG＝∠BCA＝60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴CD＝CG＝DG，∠CDG＝∠CGD＝60°，
∵DE＝AE，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴∠EDA+∠ADG＝∠EAD+∠ECA，
∴∠EDG＝∠BEA，
又∵DE＝AE，∠DGC＝∠B＝60°，
∴△BEA≌△GDE（AAS），
∴BE＝DG，
∴CG＝BE，
∴GE＝BC＝AB，
∵△DEF是等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠CDG＝60°，
∴∠EDA＝∠FDG，
又∵DC＝DG，
∴△DCE≌△DGF（SAS），
∴CE＝GF，∠DCE＝∠DGF＝120°，
∵∠CDG+∠DGF＝180°，
∴DA∥GF，
又∵HF∥DG，
∴四边形DGFH是平行四边形，
∴DG＝HF，DH＝GF，
∴AB＝GE＝GC+CE＝DG+GF＝HF+DH；
（3）解：如图3，连接AF，
∵DE＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA＝，
∵DE＝AE＝EF，
∴∠EFA＝∠EAF＝＝，
∴∠DAF＝∠EAF﹣∠EAD＝﹣＝30°，
∴∠BAF＝90°，
∴点F在过点A且垂直AB的直线AF上运动，
∴当CF⊥AF时，CF有最小值，
又∵∠CAF＝30°，
∴CF＝AC＝2，∠ACF＝60°＝∠GDC，
∴CF∥DG，
又∵FH∥DG，
∴点H与点C重合，
如图4，设DF与CG的交点为O，
由（2）可知：四边形DGFC是平行四边形，
又∵DC＝DG，
∴四边形DCFG是菱形，
∴DC＝DG＝GF＝CF＝2，DF⊥CG，DO＝FO，∠GDO＝30°，
∴OG＝DG＝1，DO＝OG＝，
∴DF＝2，
∴四边形DEFG的面积＝×EG×DF＝×4×2＝4．
25．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，
∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1，
∴一次函数解析式为：y＝x﹣4，
∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C，
∴y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0），
∴，
解得a＝﹣2，b＝7，
∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x2+7x+4；
（2）过O作OH⊥BC，垂足为H，
∵C（4，0），B（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形，
∴BC＝＝＝4，
∴OH＝BC＝2，
由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝，
在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝；
（3）存在，
由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3，
∴AB＝AH﹣BH＝，
∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°，
①当，即时，解得CD＝2，
∵C（4，0），即OC＝4，
∴OD＝OC+CD＝2+4＝6，
此时D坐标为（6，0）；
②当，即时，
解得CD＝16，
∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20，
此时D坐标为（20，0），
综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．
