2022-2023学年沪科新版八年级下册数学期中练习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段可以构成直角三角形是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝6，b＝9，c＝12
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．c＝1，b＝3，c＝5
3．用配方法解一元二次方程x2+6x+2＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝﹣2 B．（x+3）2＝2 C．（x﹣3）2＝7 D．（x+3）2＝7
4．如图，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝1，S2＝3，则S3为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
5．下列式子中，a不可以取1和2的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6、8、10 B．9、12、15 C．7、24、25 D．、、
7．若实数a在数轴上的位置如图所示、则化简的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2a﹣1 D．1﹣2a
8．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家 B．10家 C．22家 D．23家
9．如图，有一张直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，现将△ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为（ ）
A．1cm B．2cm C． D．
10．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1或 C． D．1或
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ．
12．已知，，则的值 ．
13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个实数根，则k的值是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝30°，DC∥AB，DE⊥AB，垂足为E，且AE＝BE，若AD＝2，则线段AC的长度为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算下列各题：
（1）+（﹣）2﹣+|﹣|；
（2）﹣×；
（3）3﹣10+；
（4）（3+﹣4）÷．
16．（8分）用配方法解方程：x2+4x+1＝0．
17．（8分）已知a＝2﹣，b＝2+，求代数式a2﹣ab+b2的值．我们可以分以下三个步骤进行：先计算a+b＝ ；ab＝ ．然后变形a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab最后整体代换计算得 ．依照以上整体代换的方法解决下列问题：
已知：x＝+，y＝﹣，计算x2+y2﹣3xy的值．
18．（10分）已知关于x一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：无论a取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当a＝4时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长．
19．（10分）（﹣1）+（﹣1）2+（﹣1）3+（﹣1）4+（﹣1）5+…+（﹣1）n（n为正整数）
20．（10分）如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由．
21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？
22．（12分）已知：在△ABC中，∠ABC﹣∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，且∠ADB＝45°
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）如图2，点E为BC的中点，过点E作AD的垂线分别交AD的延长线，AB的延长线，AC于点F，G，H，求证：BG＝CH；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作EM⊥AG于点M，EN⊥AC于点N，若AB+AC＝26，EM+EN＝，求△AFG的面积．
23．（14分）某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，该商品单价每次涨价1元，每星期可少卖10件．
（1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为 元；
（2）在一个星期内要想获利6090元的利润，该商品每件应涨价多少元．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：A.是最简二次根式．
B.＝4，故不是最简二次根式．
C.＝，故不是最简二次根式．
D.＝＝，故不是最简二次根式．
故选：A．
2．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、62+92≠122，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，故选项正确；
D、12+（3）2≠52，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
3．解：x2+6x+2＝0，
x2+6x+9＝﹣2+9，
即（x+3）2＝7，
故选：D．
4．解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1＝a2＝1，S2＝b2＝3，S3＝c2，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，即S1+S2＝S3，
∴S3＝S1+S2＝1+3＝4，
故选：B．
5．解：（A）由5a≥0，所以a≥0，故选项A可取1和2；
（B）由a+3≥0，所以a≥﹣3，故选项B可取1和2；
（C）由a2≥0，所以a2+1≥1，故选项C可取1和2；
（D）由≥0且a≠0，所以a＜0，故选项D不可取1和2；
故选：D．
6．解：A、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
7．解：由数轴可得：a+1＞0，a﹣2＜0，
则原式＝a+1+2﹣a
＝3．
故选：A．
8．解：设参加这次交易会的公司共有x家，
依题意得： x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去），
∴参加这次交易会的公司共有10家．
故选：B．
9．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
由折叠的性质得：AD＝AC＝3，∠ADE＝∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°，BD＝AB﹣AD＝2，
设CE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2
解得，x＝，
∴CE＝；
故选：C．
10．解：若x＞﹣x，即x＞0，则x＝，解得x＝（负值舍去）；
若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x＝，解得x＝﹣1（正值舍去）；
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
解得m＝±2，m≠﹣2，
∴m＝2，
故答案为：2．
12．解：∵＝，＝，
∴
＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
13．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0两个有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k且k≠1，
故答案为：k且k≠1．
14．解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝2，
∴AD＝1，
∴＝＝，
∵DC∥AB，
∴四边形DEFC为矩形，
∴CF＝DE＝，∠CBF＝∠DCB＝30°，
∴BF＝．
∴AF＝AE+BE+BF＝1+1+3＝5．
在Rt△ACF中，AC＝＝＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．解：（1）+（﹣）2﹣+|﹣|
＝﹣3+3﹣2+
＝﹣；
（2）﹣×
＝﹣
＝﹣
＝5﹣
＝；
（3）3﹣10+
＝6﹣2+3
＝7；
（4）（3+﹣4）÷
＝（9+﹣2）÷4
＝8÷4
＝2．
16．解：移项得，x2+4x＝﹣1，
配方得，x2+4x+22＝﹣1+4，
（x+2）2＝3，
，
解得，．
17．解：∵a＝2﹣，b＝2+，
∴a+b＝（2﹣）+（2+）＝4，ab＝（2﹣）×（2+）＝12﹣6＝6，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（4）2﹣3×6
＝48﹣18
＝30，
∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，xy＝（+）×（﹣）＝3﹣2＝1，
∴x2+y2﹣3xy
＝x2+2xy+y2﹣5xy
＝（x+y）2﹣5xy
＝（2）2﹣5×1
＝12﹣5
＝7，
故答案为：4，6，30，7．
18．（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴无论a何值，原方程总有实数根；
（2）解：当a＝4时，方程化为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3，
当等腰三角形腰长为1，底边长为3时，1+1＜3，不符合三角形三边的关系，舍去；
当等腰三角形腰长为3，底边为1，它的周长为3+3+1＝7．
19．解：当n为偶数时，
（﹣1）+（﹣1）2+（﹣1）3+（﹣1）4+（﹣1）5+…+（﹣1）n
＝﹣1+1+（﹣1）+1+（﹣1）+…+1
＝0；
当n为奇数时，
（﹣1）+（﹣1）2+（﹣1）3+（﹣1）4+（﹣1）5+…+（﹣1）n
＝﹣1+1+（﹣1）+1+（﹣1）+…+（﹣1）
＝﹣1．
20．解：（1）∵∠A＝90°，
∴BC＝＝＝15；
（2）△BCD是直角三角形，
理由：∵BC2＝152＝225，
BD2＝82＝64，
CD2＝172＝289，
∴BC2+BD2＝CD2＝289，
∴△BCD是直角三角形．
21．解：（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，
则（40﹣x）x＝150，
解得：x＝10或30（舍去30），
故x＝10（m）；
∴AB＝15（m）．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；
（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，
化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，
故不能围成矩形花园面积为210m2．
22．（1）证明：∵∠ABC﹣∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠ACB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠ADB＝135°，
∴∠BAD＝135°﹣∠ABC＝135°﹣（90°+∠ACB）＝45°﹣∠ACB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝45°﹣∠ACB，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）证明：过B作BM∥AC交GH于M，如图：
由已知得：∠AFG＝∠AFH＝90°，
由（1）知：∠BAD＝∠CAD，
又AF＝AF，
∴△AGF≌△AHF（ASA），
∴∠G＝∠AHF，
∵BM∥AC，
∴∠BMG＝∠AHF，
∴∠G＝∠BMG，
∴BG＝BM，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵BM∥AC，
∴∠BME＝∠CHE，∠MBE＝∠HCE，
∴△BME≌△CHE（AAS），
∴BM＝CH，
∴BG＝CH；
（3）解：连接AE，如图：
由（2）知△AGF≌△AHF，BG＝CH，
∴AG＝AH，
∵AB+AC＝26，
∴（AG﹣BG）+（AH+CH）＝26，
∴AG＝AH＝13，
∵EM⊥AG，EN⊥AC，
∴S△AGE＝AG EM＝EM，S△AHE＝AH EN＝EN，
∴S△AGH＝S△AGE+S△AHE＝EM+EN＝（EM+EN），
∵EM+EN＝，
∴S△AGH＝×＝70，
∵△AGF≌△AHF，
∴S△AGF＝S△AHF＝S△AGH＝35，
答：△AFG的面积为35．
23．解：（1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为：（60+5﹣40）×（300﹣5×10）＝6250（元），
故答案为：6250；
（2）设该商品每件应涨价x元，则每件的利润为（60+x﹣40）元，每星期可售出（300﹣10x）件，
依题意得：（60+x﹣40）（300﹣10x）＝6090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝9．
答：该商品每件应涨价1元或9元．
