人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第十八章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在 中，，，点在上，，则的值是( )
A. B. C. D.
2. 四边形中，，当满足条件时，四边形是平行四边形( )
A. B.
C. D.
3. 如图，是直线上一动点，、是直线上的两个定点，且直线；对于下列各值：点到直线的距离；的周长；的面积；的大小．其中会随点的移动而变化的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在和中，，，，点、、分别为、、的中点，若绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，，是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长为( )
A. B. C. D.
6. 如图，矩形中，，，为边的中点，点、为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，的长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在正方形中，，为对角线上与点，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：；；；的最小值为，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
9. 如图，是等腰直角三角形，为直角三角形，为的中点，，当绕着点旋转时，直角边，分别与边，相交于点，在旋转过程中有以下结论：；当时，四边形是正方形；其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
10. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，下列结论中，一定正确的个数是( )
是等腰三角形；；
四边形是菱形；．
A. B. C. D.
11. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结若大正方形的面积是小正方形面积的倍，则的值为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在平行四边形中，，于点，点、分别是、的中点，连接、、，下列结论：；四边形是菱形；；其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点若的一条边长为，则点到直线的距离为 ．
14. 如图，将一张直角三角形纸片已知，折叠，使得点落在点处，折痕为将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图方式折叠，边交于点若是等腰三角形，则的度数可能是_______．
15. 如图，是的中位线，为的中点，连接并延长交于点若，则 ．
如图，在平行四边形中，为的中点，连接，为的中点，连接，若，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在 中，对角线，相交于点，，点在线段上，且．
求证：；
若，分别是，的中点，且，
求证：是等腰三角形；
当时，求 的面积．
18. 本小题分
如图，是锐角三角形，分别以，为边向外侧作等边和等边点，，分别是，，的中点，连接，求证：．
19. 本小题分
如图，在中，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点先出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连结，设点运动时间为，其中．
当为何值时，；
当为何值时，；
当为何值时，．
20. 本小题分
如图所示，，是的高，，分别是，的中点，试说明．
21. 本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，、两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．若设运动时间为
直接写出：______，______；用含的式子表示
当为何值时，四边形为平行四边形？
若点与点不重合，且，当为何值时，是等腰三角形？
本小题分
如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点。
探究线段与的数量关系，并说明理由；
当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由；
当点在边上运动时，四边形_______________是菱形填“可能”或“不可能”。请说明理由。
23. 本小题分
如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交、、于点、、，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，为的中点，，求的长．
24. 本小题分
已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
如图，在问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，求的面积．
如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
25. 本小题分
如图，以的各边，在边的同侧分别作三个正方形，，．
求证：≌；
求证：四边形是平行四边形。
直接回答下面两个问题，不必证明：
当满足什么条件时，四边形是矩形？
当满足什么条件时，四边形是正方形？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出是解题的关键．由等腰三角形的性质可求，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．
【解答】
解：如图，过点作于，
设，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定，四边形中，已经具备，再根据选项，选择条件，推出即可，只有选项符合．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：、四边形的两组对边分别平行，、一组对边平行且相等，、两组对边分别相等，、对角线互相平分，、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
【解答】
解：，错误，这样的四边形是等腰梯形．
，错误，这样的四边形是等腰梯形．
C、错误，这样的四边形是等腰梯形．
D、正确，根据同旁内角互补，得出另一组对边也平行．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键根据平行线间的距离不变从而判断出不变；再根据三角形的周长的定义判断出是变化的；然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出不变；根据角的定义判断出变化．
【解答】
解：直线，
点到直线的距离；故错误；
、的长度随点的移动而变化，
的周长会随点的移动而变化，故正确；
点到直线的距离不变，的大小不变，
的面积不变，故错误；
直线，之间的距离不随点的移动而变化，的大小点的移动而变化，
故正确；
综上所述，会随点的移动而变化的是．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判定的形状；连接、，，，首先证明，根据全等三角形的判定与性质和三角形的中位线性质证明是等腰直角三角形，然后根据勾股定理确定与的数量关系，利用三角形的面积公式求出的面积，最后求出的最大值，即可求解．
【解答】
解：连接、，，，如图：
，，，，
，，，，
，
根据等腰直角三角形斜边上的中线性质可得：，，
在和中，
，
，，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
根据三角形的外角性质可得，
，
是等腰直角三角形，
，即，
，
，
，
在旋转过程中，当、、三点在同一条直线上，且在的延长线上时，有最大值，最大值为，
面积的最大值为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，过点作 于点．
在中，由勾股定理，可得，
是的中点
，
，
此时为直角三角形．
由，
得．
根据折叠的特征，得垂直平分线段．
由 ，
得，
．
在中，由勾股定理，得．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：四边形的周长中和是定值，
要使四边形的周长最小，只要最小即可；
在上截取，作点关于的对称点，连接与交于点，过点作，过作交的延长线于点，
，
，，，为的中点，
，，，
，
，
，
，
．
四边形的周长中和是定值，要使四边形的周长最小，只要最小即可；在上截取，作点关于的对称点连接与交于点，过点，过作交的延长线于点，根据题意可得，即可求出，则即可求解；
本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；能够将四边形的周长最小转化为线段的最小，通过构造平行四边形和轴对称找到的最短时的和点位置是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：延长交的延长线于点如图所示：
菱形，
，
，
在与中，，
≌，
，
为中点．
又由题可知，，
，
，
，
，
，
，即，
四边形为菱形，
，，
，分别为，的中点，
，，
；
故选：．
首先延长交的延长线于点证明≌，根据已知可得，，的度数，从而不难求得的度数．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
≌，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故选：．
连接，易知四边形为矩形，可得；由≌可得，所以；
由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；
由中的结论可得；
由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为．
本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【解答】
解：连接，
为中点，，，
，，
．
，，
．
同理，，，
，
在与中，
，
，
．
故正确
当时，
四边形是矩形
矩形是正方形，则正确
是等腰直角三角形，，
，
，则错误．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是等腰三角形的判定，菱形的判定有关知识，根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【解答】
解：，
，，
又≌，
，，，
，
是等腰三角形，故正确；
同理可证，是等腰三角形，
，，
是的中位线，
，故正确；
，，
又，，，
，故正确．
而无法证明四边形是菱形，故错误．
所以一定正确的结论个数有个，
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．如图，延长与交于点，设交于，设，则，根据已知条件求出，，可得结论．
【解答】
解：如图，
延长与交于点，设交于，
≌≌，
设，
大正方形的面积是小正方形面积的倍，
，
，
，
解得：或舍去，
，，
四边形为正方形，
，
在和中，
，，，
≌，
，
，
．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，由线段中点的定义得到，，于是得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质得到；故正确；根据，，得到，于是得到四边形是菱形，故正确；延长，交延长线于，根据全等三角形的性质得到，，推出
，根据直角三角形的性质得到，故正确；得到，推出，于是得到；故正确．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；故正确；
，，
，
四边形是菱形，故正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
；故正确，
故选：．
13.【答案】或或或
【解析】解：当为直角顶点时，过作于，如图：
的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点，
是等腰直角三角形，，，
和是等腰直角三角形，
，
，
若，则，，此时，即点到直线的距离为；
若，则，即点到直线的距离为；
当不是直角顶点时，过作于，如图：
的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点，
是等腰直角三角形，，
在和中，
，
≌，
，
若时，，，
，
，即此时点到直线的距离为；
若，则，，
，
，
，即此时点到直线的距离为；
综上所述，点到直线的距离为或或或．
故答案为：或或或．
分两种情况：当为直角顶点时，过作于，由和是等腰直角三角形可得，故EH，若，则，即点到直线的距离为；若，则点到直线的距离为；当不是直角顶点时，过作于，由是等腰直角三角形，得，证明≌，有，若时，则此时点到直线的距离为；若，则此时点到直线的距离为．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得，，所以，所以，，若是等腰三角形，有三种情况：当时，，当时，，当时，，然后分别列式计算即可解决问题．
【解答】
解：由翻折可知：，，
，
，
，
，
，
，，
若是等腰三角形，有三种情况：
当时，，
，
解得；
当时，，
，
不符合题意舍去；
当时，，
，
解得．
综上所述：的度数可能是或．
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】解：是的中位线，
、分别为、的中点，
如图过作交于点，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
≌，
，，，
点为的中点，且，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，
是的中位线，
．
本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．
过作交于点，根据证≌，得出，根据等高关系求出的面积为，根据和边和高的比例关系得出，从而得出梯形的面积为，进而得出的面积为，同理可得，即可得出的面积．
16.【答案】
【解析】解： 如图，过点作，，分别交平行四边形四条边于点，，，，得平行四边形，平行四边形，平行四边形，
为的中点，
是的中点，是的中点，
为的中点，，
，
，
，
是的中点，，
，
过点作于点，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
是中点，
，
；
证明：，
是等腰三角形，
是中点，
，
，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
，
、分别是、的中点，
，
，
是等腰三角形；
由得，
，
，
是的中点，
，
设，则，
，
在中，，
，
即，
解得，
，，
．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
根据平行四边形的性质可得，再证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，进而可证明结论；
首先证明，再根据三角形中位线的性质可得，进而得到，可证明结论；
由得，由，是的中点，可证得，设，则，利用勾股定理可求解值，进而可求解，，再利用平行四边形的面积公式可求解．
18.【答案】证明：连接、，如图，
和是等边三角形，
，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
、、分别是，，的中点，
，，
．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，三角形的中位线定理．连接、，利用证明与全等，可得再通过三角形的中位线定理可证、分别是、的一半，从而可得．
19.【答案】解：当时，，
，
解得，
当时，；
分两种情况讨论：
点在点左侧时，，
则，
解得；
当点在点的右侧时，，
则，
解得，
综上所述，，时，；
当，，
，
解得，
当时，．
【解析】本题考查了平行线间的距离，利用了平行线间的距离相等．
根据边越长，边所对的角越大，可得答案；
分类讨论：当点在点左侧时，点再点的右侧时，可得关于的一元一次方程，根据解方程，可得答案；
根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式．
20.【答案】 解：如图所示，连接，．
是边上的高，．
在中，是的中点，．
同理．
又是的中点，．
【解析】
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，作出辅助线是解决此题的关键．连接 ，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论．
21.【答案】解：；；
四边形是平行四边形，而，
，
由知，，，
，
，
即：时，四边形是平行四边形；
由知．，，，，
是等腰三角形，且，
当时，点在的垂直平分线上，
，
，
．
当时，如图，
过点作于，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
点在边上，不和重合，
，
，
此种情况符合题意，
即：或秒时，是等腰三角形．
【解析】由运动速度表示出，，即可得出结论；
先判断出，再建立方程求解即可得出结论；
分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解的关键的关键是用建立方程求解，解的关键是分情况讨论，是一道综合的题目．
22.【答案】解：，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
当点运动到的中点，且满足以为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下：
当点运动到的中点时，，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
四边形是矩形．
已知，当，则
，
，
在中点且 时，四边形是正方形；
不可能．
理由如下：
如图所示：
平分，平分，
，
若四边形是菱形或正方形，则，
但在中，不可能存在两个角为．
故答案为不可能．
【解析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，
由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得；
当点运动到的中点，先由，，可判断四边形是平行四边形，再由，判断四边形是矩形，然后满足以为直角的直角三角形，判断四边形是正方形．
菱形和正方形的判定问题，若使菱形或正方形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．
【解答】
见答案；
见答案；
见答案．
23.【答案】证明：垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：，分别为，的中点，
，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
设，则，，
在中，，解得，
在中，，
．
【解析】先根据线段垂直平分线的性质证明，由证明≌，得出，证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
根据三角形中位线的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，，得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得，解得，在中，根据勾股定理可得，由即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
24.【答案】解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
如图中，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
如图中，
，
当时，四边形是平行四边形，
或或或，
解得或或，
为或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【解析】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题．
25.【答案】证明：四边形、四边形、四边形都是正方形，
，，，．
同为的余角．
在和中，
，
≌，
≌，
，．
是正方形的对角线，
．
，
，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等．
当四边形是矩形时，．
则
，
即当时，平行四边形是矩形；
当四边形是正方形时，，且．
由知，当时，．
四边形是正方形，
．
又四边形是正方形，
，
．
当且时，四边形是正方形．
【解析】根据全等三角形的判定定理证得≌，
由≌，可得全等三角形的对应边然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知，易证；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
根据“矩形的内角都是直角”易证然后由周角的定义求得；
由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证，且由和的性质证得，．
本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是．
()
