浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（ ）
A．21.5 B．22.5 C．23.5 D．24
【答案】B
【解析】根据题意，得
∵a+b＝9，ab＝12，
∴（a+b）2＝92
∴a2+2ab+b2＝81，
∴a2+b2＝81﹣24＝57，
∴阴影部分的面积为：
故答案为：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. ,不是同类项，不能合并；本选项不符合题意；
B. ，本选项不符合题意；
C. ，本选项符合题意；
D. ，本选项不符合题意；
故答案为：C
3．（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）的结果是（ ）
A．﹣3x+2y B．3x﹣2y C．﹣3x+2 D．﹣3x﹣2
【答案】A
【解析】原式=15x2y÷（﹣5xy）﹣10xy2÷（﹣5xy）=﹣3x+2y．
故答案为：A．
4．若： ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．12
【答案】B
【解析】将 两边平方得：
∴，
∴ =7.
故答案为：B.
5．已知多项式 的积中x的一次项系数为零，则m的值是（ ）
A．1 B．–1 C．–2 D．
【答案】D
【解析】x2-mx+1）（x-2）=x3-2x2-mx2+2mx+x-2=x3+（-2-m）x2+（2m+1）x-2，
∵（x2-x+1）（x-2）的积中x的一次项系数为零，
∴2m+1=0，
解得：m= ，
故答案为：D．
6．设 ， ，则 （ ）
A．12 B．15 C．54 D．24
【答案】C
【解析】∵ ， ，
∴
故答案为：C．
7．已知2a＝3，8b＝6，22a﹣3b+1的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．5
【答案】A
【解析】∵2a＝3，8b＝23b＝6，
∴22a﹣3b+1
＝22a÷23b×2
＝（2a）2÷23b×2
＝32÷6×2
＝9÷6×2
＝3．
故答案为：A．
8．比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
【答案】C
【解析】∵255=（25）11=3211，344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，
又∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344.
故答案为：C.
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，则正方形A，B的面积之和为( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【解析】设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，根据题意得①+②得，x2+y2=3.5,即 正方形A，B的面积之和为 3.5.
故答案为：B.
10．若 的乘积中不含 和 项,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵乘积中不含 和 项
∴a-3=0,9b+3a=0
解得：a=3,b= -1
∴ab=-3
故答案为：D
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是 .（写一个即可）
【答案】-4a2或-9或12a或-12a
【解析】完全平方公式是指： .
；
；
；
.
故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.
12．已知 ， ，则 .
【答案】64
【解析】∵ ， ，
∴
.
故答案为：64.
13．0.00000072用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】 ，
故答案为： ．
14． ，则 的值为
【答案】7
【解析】∵
∴
∴ ，即 =7.
15．已知正实数a、b、c满足 ．则c的最大值是 .
【答案】
【解析】∵a2+b2+c2-ac-bc=1,
∴a2-ac+c2+b2-bc+c2+c2=1,
∴(a-c)2+(b-c)2+c2=1
∵(a-c)2≥0，(b-c)2≥0，
∴c2≤1
∴c2≤2，
∵c>0,
∴c≤.
故当a=b=c=时，
c有最大值 .
故答案为：
16．已知 ， ， 为 的三边长，且 ，其中 是 中最短的边长，且 为整数，则 ．
【答案】3或4
【解析】∵a2+b2=8a+12b-52
∴a2-8a+16+b2-12b+36=0
∴（a-4）2+（b-6）2=0
∴a=4，b=6
∴6-4＜c＜6+4
即 2＜c＜10，
且c≤4．
∴整数c可取3或4．
故答案为：3或4．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算下列各题：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
18．化简题
（1）先化简，再求值： ，其中 .
（2）
【答案】（1）解：原式
，
当 时，
原式
（2）解：原式 .
19．若 的积中不含x项与 项
（1）求p、q的值；
（2）求代数式 的值
【答案】（1）解： =
=
又∵式子展开式中不含x2项和x项，
∴ ，
解得， ，
（2）解：当 ， 时，
20．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.
（1）图②中阴影部分正方形的边长是 .
（2）通过观察，请用两种不同的方法求出图②中阴影部分的面积：
方法1：S阴影＝ ；
方法2：S阴影＝ .
（3）观察图②，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2与ab之间的等量关系.
【答案】（1）a﹣b
（2）（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab
（3）解：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
【解析】（1）图②中阴影部分正方形的边长是a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）图②中阴影部分的面积为：（a﹣b）2或（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
21．阅读下列材料：
我们在使用完全平方公式 时，可以把这个公式分成三部分：
称为加减项；② 称为平方项；③ 称为乘积项
在以上三部分中，已知任意两部分都可以求得第三部分．
例：若 ，求 的值．
解：由 可得
把 代入上式得
请结合以上方法解决下列问题：
（1）若 ，求a+b的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：∵a，b满足a2+b2=38，ab=13，
∴ ，即：38=（a+b）2-2×13，
解得，a+b=8或a+b=-8
（2）解：∵a2-4a+1=0，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
22．已知关于x、y方程组
（1）用a表示x、y.
（2）若x2+y2-3=4a2，求a4-4a2+4a+1的值
（3）若xy+3n2+m2+18=3n，且n-a=2，求m、n的值.
【答案】（1）解：
由①-②得y=1-a
代入①得x=1+2a
所以此方程组的解为：
（2）解：将（1）中x、y代入 x2+y2-3=4a2 中
（2a+1）2+(1-a)2-3=4a2
得a2+2a-1=0
∴a2=1-2a
∴ a4-4a2+4a+1 =1-4a+4a2-4a2+4a+1=2
（3）解：∵ n-a=2
∴n=a+2
∴(1+2a)(1-a)+3(2+a)2+m2+18=3(2+a)
化简得a2+10a+25+m2=0
∴m2+(a+5)2=0
∴m=0，a=-5
∴n=a+2=-5+2=-3.
∴
23．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的 光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC .
【答案】（1）解：∵a、b满足3a =27=32·3b，
∴3a =33=32+b，
∴a=3，2+b=3，
∴b=1.
（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A射线转到AN之前，
3t=（20+t）×1
解得t=10；
②在灯A射线转到AN之后，
3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）2：3
【解析】（3）设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
又∠ACD=90°
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BCD：∠BAC=2：3
24．小王同学在学习完全平方公式时，发现 ， ， ， 这四个代数式之间是有联系的，于是他在研究后提出了以下问题：
（1）已知 ， ，求 值．
（2）已知 ，求 值．
（3）如图，长方形 中， ， ，正方形 、正方形 和正方形 都在它的内部，且 ．记 ， ，若 ，求长方形 的面积．请解决小王同学提出的这三个问题．
【答案】（1）解：∵a+b=4，a2+b2=10，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=10+2ab=16，
∴ab=3.
（2）解：∵m-=3，
∴（m-）2=m2-2+=9，
∴m2+=11，
∴（m+）2=m2+2+=13，
∴m+=±.
（3）解：∵AB=6cm，BC=8cm，正方形AEHG、正方形EBKF和正方形NKCM在长方形ABCD中，BK＞KC，AE=a，CM=b，
∴PF=acm，FQ=bcm，BE=BK=AB-AE=（6-a）cm，
∴CK=BC-BK=8-（6-a）=（2+a）cm，
∵CK=CM=bcm，
∴2+a=b，即a-b=2，
∵a2+b2=18cm2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=18-2ab=4，
∴ab=7cm2，
∴长方形PFQD=PF·FQ=ab=7cm2.
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浙教版2022-2023学年七下数学第三章 整式的乘除 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（ ）
A．21.5 B．22.5 C．23.5 D．24
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）的结果是（ ）
A．﹣3x+2y B．3x﹣2y C．﹣3x+2 D．﹣3x﹣2
4．若： ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．12
5．已知多项式 的积中x的一次项系数为零，则m的值是（ ）
A．1 B．–1 C．–2 D．
6．设 ， ，则 （ ）
A．12 B．15 C．54 D．24
7．已知2a＝3，8b＝6，22a﹣3b+1的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．5
8．比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，则正方形A，B的面积之和为( )
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
10．若 的乘积中不含 和 项,则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是 .（写一个即可）
12．已知 ， ，则 .
13．0.00000072用科学记数法表示为 ．
14． ，则 的值为
15．已知正实数a、b、c满足 ．则c的最大值是 .
16．已知 ， ， 为 的三边长，且 ，其中 是 中最短的边长，且 为整数，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算下列各题：
（1）； （2）.
18．化简题
（1）先化简，再求值： ，其中 .
（2）
19．若 的积中不含x项与 项
（1）求p、q的值；
（2）求代数式 的值
20．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.
（1）图②中阴影部分正方形的边长是 .
（2）通过观察，请用两种不同的方法求出图②中阴影部分的面积：
方法1：S阴影＝ ；
方法2：S阴影＝ .
（3）观察图②，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2与ab之间的等量关系.
21．阅读下列材料：
我们在使用完全平方公式 时，可以把这个公式分成三部分：
称为加减项；② 称为平方项；③ 称为乘积项
在以上三部分中，已知任意两部分都可以求得第三部分．
例：若 ，求 的值．
解：由 可得
把 代入上式得
请结合以上方法解决下列问题：
（1）若 ，求a+b的值；
（2）若 ，求 的值．
22．已知关于x、y方程组
（1）用a表示x、y.
（2）若x2+y2-3=4a2，求a4-4a2+4a+1的值
（3）若xy+3n2+m2+18=3n，且n-a=2，求m、n的值.
23．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3a =27=32·3b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的 光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC .
24．小王同学在学习完全平方公式时，发现 ， ， ， 这四个代数式之间是有联系的，于是他在研究后提出了以下问题：
（1）已知 ， ，求 值．
（2）已知 ，求 值．
（3）如图，长方形 中， ， ，正方形 、正方形 和正方形 都在它的内部，且 ．记 ， ，若 ，求长方形 的面积．请解决小王同学提出的这三个问题．
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