2023年上海高考数学模拟卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合A＝（1，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝ ．
2．不等式＜0的解集是 ．
3．若等差数列{an}满足a3+a5＝16，则a4＝ ．
4．（2x+1）6展开式中x2的系数为 ．
5．若实数x、y满足，则z＝2x+y的最大值为 ．
6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为 ．
7．若数列{an}是首项为，公比为a﹣的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值为 ．
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取5个不同数，则这5个数的中位数是6的概率为 ．
9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，．若函数y＝f（x）在[3，+∞）上的最小值为3，则实数a的值为 ．
10．已知椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0）的焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），点A为椭圆Γ的上顶点，直线AF2与椭圆Γ的另一个交点为B．若|BF1|＝3|BF2|，则椭圆Γ的普通方程为 ．
11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是 ．
12．对于给定的正整数n（n≥2），定义在区间[0，n]上的函数y＝f（x）满足：当0≤x≤1时，f（x）＝﹣x2+2x，且对任意的x∈[1，n]，都成立f（x）＝f（x﹣1）+1．若与n有关的实数kn使得方程f（x）＝knx在区间[n﹣1，n]上有且仅有一个实数解，则关于x的方程f（x）＝knx的实数解的个数为 ．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知集合A＝{x|﹣x2+x+2≥0，x∈N}，则满足条件A∪B＝A的集合B的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
14．下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
15．不论α取何实数，方程x2+2y2sinα＝1所表示的曲线必不是（ ）
A．抛物线 B．圆 C．直线 D．双曲线
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4、S8﹣S4、S12﹣S8成等差数列．类比研究等比数列有下面三个命题：
①设等比数列{bn}的前n项的和为Hn，则H4、H8﹣H4、H12﹣H8成等差数列；
②设等比数列{bn}的前n项的和为Hn，则H4、H8﹣H4、H12﹣H8成等比数列；
③设等比数列{bn}的前n项的积为Tn，则T4、T8﹣T4、T12﹣T8成等比数列；
④设等比数列{bn}的前n项的积为Tn，则T4、、成等比数列．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）. 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示
18．（14分）设a为常数，函数．
（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．
19．（14分）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设∠BAO＝α（）．
（1）当AB＝4，时，求AC的长；（结果精确到0.1米）
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．
20．（16分）已知双曲线Γ：，F为左焦点，P为直线x＝1上一动点，Q为线段PF与Γ的交点．定义：．
（1）若点Q的纵坐标为，求d（P）的值；
（2）设d（P）＝λ，点P的纵坐标为t，试将t2表示成λ的函数并求其定义域；
（3）证明：存在常数m、n，使得md（P）＝|PF|+n．
21．（18分）已知数列{an}满足以下两个条件：①a1＝1，当n≥2时，|an﹣1|＝|an﹣1+1|；②若存在某一项am≤﹣3，则存在k∈{1，2， ，m﹣1}，使得ak＝am+2（m≥2且m∈N*）．
（1）若a2＞0，求a2，a3，a4；
（2）若对一切正整数n，an+T＝an均成立的T的最小值为6，求该数列的前9项之和；
（3）在所有的数列{an}中，求满足am＝﹣2021的m的最小值．2023年上海高考模拟卷01
数学试卷答题卡
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）（请在各试题的答题区内作答）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.（请用2B铅笔填涂）
13 14 15 16
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.（请在各试题的答题区内作答）
17. 答：
18.答：
19. 答：
20.答：
21.答：
C
A
'B--
M
A
C
B
a
A2023年上海高考数学模拟卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
一．填空题（共12小题）
1．已知集合A＝（1，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝ （2，3） ．
【分析】利用交集定义、不等式性质直接求解．
【解答】解：∵集合A＝（1，3），B＝（2，+∞），
∴A∩B＝（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．不等式＜0的解集是 （﹣2，1） ．
【分析】问题转化为（x﹣1）（x+2）＜0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵＜0，
∴（x﹣1）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，
故不等式的解集是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为＞0，再转化为整式不等式F（x）G（x）＞0，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．
3．若等差数列{an}满足a3+a5＝16，则a4＝ 8 ．
【分析】由{an}是等差数列可得a3+a5＝2a4，从而即可求出a4的值．
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a3+a5＝2a4＝16，
∴a4＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题．
4．（2x+1）6展开式中x2的系数为 60 ．
【分析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中x2的系数．
【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝C6rxr2r．
令r＝2得到展开式中x2的系数是C6222＝60
故答案为60．
【点评】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．
5．若实数x、y满足，则z＝2x+y的最大值为 6 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，2），
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×2+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为 2 ．
【分析】根据题意求出直三棱柱的底面三角形面积，再求三棱柱的体积即可．
【解答】解：根据题意知，直三棱柱的底面三角形是底面边长为2，高为1的直角三角形，底面面积为S＝×2×1＝1，
且直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的体积为V＝Sh＝1×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题，是基础题．
7．若数列{an}是首项为，公比为a﹣的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值为 1 ．
【分析】由题意可得：＝a，化为：2a2﹣3a+1＝0，解得a并验证即可得出．
【解答】解：由题意可得：＝a，
化为：2a2﹣3a+1＝0，解得a＝1或，
a＝时，公比为0，舍去．
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取5个不同数，则这5个数的中位数是6的概率为 ．
【分析】先基本事件总数n＝＝252，这5个数的中位数是6是指取到的5个数中含有6，在0，1，2，3，4，5取2个不同的数，在7，8，9中取两个不同的数，由此能求出这5个数的中位数是6的不同取法．
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中任取5个不同数，
基本事件总数n＝＝252，
这5个数的中位数是6是指取到的5个数中含有6，
在0，1，2，3，4，5取2个不同的数，在7，8，9中取两个不同的数，
这5个数的中位数是6的不同取法有：m＝＝45，
故答案为：p＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，．若函数y＝f（x）在[3，+∞）上的最小值为3，则实数a的值为 3 ．
【分析】由已知结合奇函数定义先求出当x＞0时的函数解析式，然后结合基本函数的单调性对a进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．
【解答】解：因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，．
当x＞0时，﹣x＜0，
则f（﹣x）＝﹣x﹣+1＝﹣f（x），
所以f（x）＝x+﹣1，
因为函数y＝f（x）在[3，+∞）上的最小值为3，
当a≤0时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，当x＝3时，函数取得最小值f（3）＝2+＝3，
解得a＝3（舍），
当0＜a≤9时，函数在[3，+∞）上单调递增，当x＝3时，函数取得最小值f（3）＝2+＝3，
解得a＝3，
当a＞9时，根据对勾函数的性质可知，当x＝时，函数取得最小值2+1＝3，
解得a＝1（舍），
综上，a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
10．已知椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0）的焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），点A为椭圆Γ的上顶点，直线AF2与椭圆Γ的另一个交点为B．若|BF1|＝3|BF2|，则椭圆Γ的普通方程为 +＝1 ．
【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c＝2，即可得a2＝b2+4，结合椭圆的性质可得|BF1|、|BF2|的长，分析可得B的坐标，进而可得（3+2）2+＝a2，两式联立解可得a、b的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数，a＞0，b＞0），其普通方程为+＝1，
若其焦点分别F1（﹣2，0）、F2（2，0），则c＝2，则有a2＝b2+4，①
点A为椭圆Γ的上顶点，则A的坐标为（0，b），
又由|BF1|＝3|BF2|，而|BF1|+|BF2|＝2a，则|BF1|＝，|BF2|＝，
又由|AF2|＝a，且A、B、F2三点共线，则B的坐标为（3，），
又由|BF1|＝，则有（3+2）2+＝a2，②
联立①②，解可得：a2＝12，b2＝8；
故椭圆的方程为+＝1；
故答案为：+＝1．
【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的参数方程，属于中档题．
11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，恒成立，且y＝f（x）在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围是 （6，10） ．
【分析】由题意，利用正弦函数的周期性、零点和最值，分类讨论，求得ω的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π， 恒成立，
∴f（）＝1，∴+φ＝2kπ+，k∈Z，
∴φ＝2kπ+﹣，k∈Z．
结合φ的范围，可得k＝0或k＝1．
①当k＝0时，φ＝﹣，
由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（0，2 ）．
∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，+φ），
∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，
即 ＜≤，即20＜ω≤28．
综合可得，ω∈ ．
②当k＝1时，φ＝2π+﹣＝﹣，
由ω＞0，且φ∈（0，π），可得ω∈（6，10 ）．
∵y＝f（x）在区间上恰有3个零点，ωx+φ∈（φ，ωπ+φ），
∴3π＜ωπ+φ≤4π，即3π＜ωπ+﹣≤4π，
即 4＜ω≤12．
综合可得，此时，ω∈（6，10）．
综上，结合①②可得，ω∈（6，10），
故答案为：（6，10）．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性、零点和最值，属中档题．
12．对于给定的正整数n（n≥2），定义在区间[0，n]上的函数y＝f（x）满足：当0≤x≤1时，f（x）＝﹣x2+2x，且对任意的x∈[1，n]，都成立f（x）＝f（x﹣1）+1．若与n有关的实数kn使得方程f（x）＝knx在区间[n﹣1，n]上有且仅有一个实数解，则关于x的方程f（x）＝knx的实数解的个数为 2n﹣1 ．
【分析】数形结合，画出y＝f（x）在区间[0，n]上的图象，根据y＝knx与y＝f（x）的图象交点分析即可．
【解答】解：由题意，画出y＝f（x）在区间[0，1]上的图象，又对任意的[1，n]，都成立f（x）＝f（x﹣1）+1．
可理解为区间[n﹣1，n]的图象由区间[n﹣2，n﹣1]的图象向右平移一个单位所得，
即可画出y＝f（x）在区间[0，n]上的图象，如图所示，
故若与n有关的实数kn使得方程f（x）＝knx在区间[n﹣1，n]上有且仅有一个实数解，
则y＝knx与y＝f（x）在区间[n﹣1，n]上的图象相切，
且易得y＝f（x）的图象在y＝x与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]， [n﹣1，n]上的公切线之间，
故y＝knx与y＝f（x）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]， [n﹣1，n]上均有2个交点，
故关于x的方程f（x）＝knx的实数解的个数为2（n﹣1）+1＝2n﹣1个．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查方程的解的个数与函数图的交点，考查数形结合思想的应用，属中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知集合A＝{x|﹣x2+x+2≥0，x∈N}，则满足条件A∪B＝A的集合B的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【分析】求解一元二次不等式化简A，结合A∪B＝A，得B A，求得A的子集个数即可．
【解答】解：A＝{x|﹣x2+x+2≥0，x∈N}＝{x|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，
若A∪B＝A，则B A，
可得满足条件A∪B＝A的集合B的个数为23＝8．
故选：C．
【点评】本题考查并集及其运算，考查子集的概念，是基础题．
14．下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，故A错误；
一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，不放设a∥b，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交，
若l与a相交，可知l与b相交或异面，过B错误；
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线，
否则，若平行，由平行公理可知，三条直线互相平行，故C错误；
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
15．不论α取何实数，方程x2+2y2sinα＝1所表示的曲线必不是（ ）
A．抛物线 B．圆 C．直线 D．双曲线
【分析】就sinα的不同取值分类讨论即可．
【解答】解：若sinα＝0，则方程为x2＝1，它表示两条直线；
若sinα≠0，则方程可化为，
若sinα＜0，则它表示焦点在x轴上的双曲线；
若，则，则它表示焦点在y轴上的椭圆；
若，则，则它表示圆，
若，则，则它表示焦点在x轴上的椭圆，
故选：A．
【点评】本题考査圆锥曲线的标准方程与圆锥曲线类型的对应关系，属于基础题．
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4、S8﹣S4、S12﹣S8成等差数列．类比研究等比数列有下面三个命题：
①设等比数列{bn}的前n项的和为Hn，则H4、H8﹣H4、H12﹣H8成等差数列；
②设等比数列{bn}的前n项的和为Hn，则H4、H8﹣H4、H12﹣H8成等比数列；
③设等比数列{bn}的前n项的积为Tn，则T4、T8﹣T4、T12﹣T8成等比数列；
④设等比数列{bn}的前n项的积为Tn，则T4、、成等比数列．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用类比推理直接判断即可得到答案．
【解答】解：根据题意，利用类比推理可知，若等比数列{bn}的前n项的和为Hn，则H4、H8﹣H4、H12﹣H8成等比数列，则①错误，②正确；
根据题意，利用类比推理，把等差数列中的差换成商，即若等比数列{bn}的前n项的积为Tn，则T4、、成等比数列，故③错误，④正确．
故正确的命题个数为②④，共2个．
故选：C．
【点评】本题考查等差等比数列的性质，考查类比推理，属于基础题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【分析】（1）所形成几何体是圆锥，求出圆锥的侧面积即可．
（2）∠BMC是CM与平面AA1B所成的角，求出BM，利用反三角函数表示∠BMC的值即可．
【解答】解：（1）将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角边BC旋转一周，
所形成几何体是底面半径为r＝1，母线长为l＝的圆锥，
所以该圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×1×＝π．
（2）由题意知，CB⊥平面ABA1，连接OM，则∠BMC是CM与平面AA1B所成的角，
因为AC＝A1C，M为AA1的中点，所以CM⊥AA1，所以BM⊥AA1，
所以BM＝AA1＝，且BC＝1，
所以tan∠BMC＝＝＝，
所以∠BMC＝arctan，即CM与平面AA1B所成角的大小为arctan．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征与线面角的计算问题，是中档题．
18．设a为常数，函数．
（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）利用y把x表示出来即可求得结果；
（2）对a分情况讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可得出结论．
【解答】解：（1）由，得，于是，且y≠0．
因此，所求反函数为．
（2）当a＝﹣1时，，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
，故函数y＝f（x）是奇函数；
当a≤0且a≠﹣1时，函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣a，+∞），函数y＝f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
【点评】本题考查了反函数的求解以及函数奇偶性的判断，属于中档题．
19．某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设∠BAO＝α（）．
（1）当AB＝4，时，求AC的长；（结果精确到0.1米）
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．
【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcos∠ABC可求AC；
（2）当AB＝6时，S＝2×OB×BA×sin（﹣α），计算可求OABC面积S的最大值及此时α的值．
【解答】解：（1）连接BC，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝2π﹣﹣﹣＝，
由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcos∠ABC＝80+32，
故AC＝≈11.6；
（2）连接OB，由题意AB＝BC＝6，∠ABO＝∠CBO＝π﹣﹣α＝﹣α，
在△OBC中，由正弦定理得＝，得OB＝6sinα，
于是S＝2×OB×BA×sin（﹣α）＝36sinαsin（﹣α）＝36sinα（cosα+sinα）
＝36sinαcosα+36sin2α＝18sin2α﹣18cos2α+18＝18sin（2α﹣）+18，（0＜α＜），
当2α﹣＝时，即α＝时，S取最大值18+18．
因此当α＝时，OABC面积的最大值为18+18．
【点评】本题考查正余弦定理在实际生活中的应用，属中档题．
20．已知双曲线Γ：，F为左焦点，P为直线x＝1上一动点，Q为线段PF与Γ的交点．定义：．
（1）若点Q的纵坐标为，求d（P）的值；
（2）设d（P）＝λ，点P的纵坐标为t，试将t2表示成λ的函数并求其定义域；
（3）证明：存在常数m、n，使得md（P）＝|PF|+n．
【分析】（1）首先求出Q点的坐标，即可得到直线PF的方程，从而求出P点坐标，即可得解；
（2）设点Q的坐标为（xQ，yQ），由，即可得到xQ、yQ，代入椭圆方程整理可得；
（3）当点P不在x轴上时，过Q作x轴的垂线，垂足为Q′，设直线x＝1与x轴的交点为P′，点Q的坐标为（xQ，yQ）．依题意可得n＝d（P）（m﹣|QF|）又，再由距离公式求出|QF|，即可得到，从而求出m、n的值，再计算点P在x轴上时的情形，即可得证；
【解答】（1）解：由题意，点F的坐标为（﹣4，0），
将代入双曲线中，可得，
所以x＝±3，不妨取Q的坐标为，
于是直线PF的方程为，
将x＝1代入直线PF的方程，得点P的坐标为，
因此；
（2）解：由题意，点F的坐标为（﹣4，0），点P的坐标为（1，t），
设点Q的坐标为（xQ，yQ），由，
又，
即（5，t）＝λ（xQ+4，yQ），
所以，代入双曲线方程，得，
整理得t2＝36λ2﹣120λ+75，
由t2≥0，即36λ2﹣120λ+75≥0，结合λ＞0，解得或．
又xQ≤﹣2，即，结合λ＞0，解得．
因此；
（3）证明：点F的坐标为（﹣4，0），
当点P不在x轴上时，过Q作x轴的垂线，垂足为Q′，
设直线x＝1与x轴的交点为P，点Q的坐标为（xQ，yQ），
md（P）＝|PF|+n，即n＝md（P）﹣|PF|＝d（P）（m﹣|QF|），
，
由Q为线段PF与Γ的交点，得点Q的坐标（xQ，yQ）满足方程，即，
于是，
又xQ＜﹣2，故|QF|＝﹣2（xQ+1），
于是，
故存在常数m＝6、n＝10，使得md（P）＝|PF|+n，
当点P在x轴上时，P（1，0），Q（﹣2，0），F（﹣4，0），
所以|FP|＝5，|FQ|＝2，即，
所以6×d（P）＝|PF|+10，即上述结论亦成立．
【点评】本题考查了双曲线的性质以及双曲线中的定值问题，属于较难题．
21．已知数列{an}满足以下两个条件：①a1＝1，当n≥2时，|an﹣1|＝|an﹣1+1|；②若存在某一项am≤﹣3，则存在k∈{1，2， ，m﹣1}，使得ak＝am+2（m≥2且m∈N*）．
（1）若a2＞0，求a2，a3，a4；
（2）若对一切正整数n，an+T＝an均成立的T的最小值为6，求该数列的前9项之和；
（3）在所有的数列{an}中，求满足am＝﹣2021的m的最小值．
【分析】（1）先根据条件①取绝对值可得an＝﹣an﹣1或an＝an﹣1+2，得a2＝a1+2＝3，a3＝﹣3或a3＝5．再根据条件②逐个分析是否满足题意即可；
（2）根据条件①结合周期性得a5＝﹣a6＝1或a5＝a6﹣2＝﹣3，再逐个分析是否满足条件即可；
（3）先根据条件②可得bn＝﹣2n+1（1≤n≤1011）必为数列{an}中的项，再结合条件①可得a3n﹣1＝bn分析即可．
【解答】解：条件①即：当n≥2时，an＝﹣an﹣1或an＝an﹣1+2．
（1）由a2＞0，得a2＝a1+2＝3，于是a3＝﹣3或a3＝5，
当a3＝﹣3时，由条件②，得a1＝a3+2＝﹣1，不满足条件①，舍去，故a3＝5．
同理可得a4＝7．因此，a2＝3，a3＝5，a4＝7．
（2）由题意，a7＝a1＝1，由条件①，得a6＝﹣1，于是a5＝﹣a6＝1或a5＝a6﹣2＝﹣3．
当a5＝1时，由条件①，得a4＝﹣1，此时该数列的前6项为1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，不合题意，舍去；
当a5＝﹣3时，由条件①，得a4＝3或﹣5，结合条件②，得a2，a3中必有一项为﹣1，因为a1＝1，所以只有a2＝﹣1，此时a3＝1，a4＝3，
故数列{an}的前6项为1，﹣1，1，3，﹣3，﹣1，这前6项的和为0．
因此，该数列的前9项之和为1．
（3）由am＝﹣2021及条件②，可得﹣1，﹣3，﹣5，…，﹣2019，﹣2021必为数列{{an}中的项，记该数列为{bn}，有bn＝﹣2n+1（1≤n≤1011），
以下考虑{bn}在数列{an}中依次是哪些项，不妨令bn＝aj，
由条件①，aj+1＝﹣aj＝2n﹣1或aj+1＝aj+2＝﹣2n+3，均不为bn+1＝﹣2n﹣1；
此时aj+2＝﹣2n+1或2n+1或2n﹣3或﹣2n+5，均不为bn+1＝﹣2n﹣1．
上述情况中，当aj+1＝2n﹣1，aj+2＝2n+1时，aj+3＝﹣aj+2＝﹣2n﹣1＝bn+1，结合a1＝1，有a3n﹣1＝bn．
由b1011＝﹣2021，得m＝3×1011﹣1＝3032即为所求．
【点评】本题主要考查由数列的递推关系研究数列的性质，属于难题．
