5.1.1 变化率问题（同步检测）
一、选择题
1.函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A.k1＞k2 B.k1＜k2
C.k1＝k2 D.k1与k2的大小关系不确定
2.已知函数f(x)＝ax2＋b的图象开口向下， ＝4，则a＝( )
A. B.－
C.2 D.－2
3.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝t3＋1，设其在时间段[1,2]内的平均速度为v1 m/s，在t＝2时的瞬时速度为v2 m/s，则＝( )
A. B. C. D.
4.如图，函数y＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为( )
A. B.－ C.2 D.－2
5.质点的运动规律为s＝t2＋3(t表示时间，s表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于( )
A.6＋Δt B.6＋Δt＋
C.3＋Δt D.9＋Δt
6.函数f(x)＝x在区间[0,1]上的平均变化率为( )
A.－1 B.1
C.2 D.－2
7.若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18
C.54 D.81
8.已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1＜k2＜k3 B.k2＜k1＜k3
C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2
9.(多选)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2．则下列正确的是( )
A.此物体的初速度是3 m/s
B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C.t＝0到t＝2时平均速度1 m/s
D.t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
二、填空题
10.函数y＝－2x2＋1在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率为________
11.已知函数f(x)＝ax2＋ln x满足 ＝2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为________
12.设函数f(x)在x＝1处切线斜率为2，则 ＝________
13.一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移(m)，t表示时间(s)，则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是________m/s，在t＝2时的瞬时速度是________m/s．
14.过曲线y＝f(x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________
三、解答题
15.试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大．
16.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A
2.B 解析：f(a＋Δx)－f(a)＝a(a＋Δx)2＋b－a3－b＝2a2Δx＋aΔx2，
则 ＝li (2a2＋aΔx)＝2a2＝4，∴a＝±，∵函数f(x)＝ax2＋b的图象开口向下，∴a＝－．
3.B 解析：由题意，该质点在时间段[1,2]内的平均速度：v1＝＝＝ m/s，
因v2＝ ＝ (4＋2Δt＋Δt2)＝4．
即该质点在t＝2时的瞬时速度为v2＝4 m/s，所以＝．故选B．
4.B 解析：＝＝＝－．故选B．
5.A 解析：Δs＝(3＋Δt)2＋3－(32＋3)＝6Δt＋(Δt)2，∴平均速度＝＝6＋Δt．选A．
6.B 解析：＝＝1．故选B．
7.B 解析：由题可得 ＝ ＝ (18＋3Δt)＝18．故选B．
8.A 解析：∵k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.
9.ABC
二、填空题
10.答案：－4－2Δx 解析：Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均变化率为＝＝－4－2Δx．
11.答案：3 解析：由 ＝2，
可得 ＝3．所以k＝f ′(1)＝3，故答案为3．
12.答案： 解析：根据条件知k＝ ＝2，
∴ ＝ ＝．
13.答案：7＋2Δt，7 解析：＝＝＝＝7＋2Δt，
v＝ (7＋2Δt)＝7．
14.答案：，1 解析：割线的斜率k＝＝＝＝2＝．
＝ ＝ ＝ ＝1，故切线斜率为1．
三、解答题
15.解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝．
当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝．
由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝．
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∴sin＜－，
从而有sin＜－1，sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2．
综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．
16.解：(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∵Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
∴＝＝3－Δt， ＝ (3－Δt)＝3．
∴物体的初速度为3．
（2）取一时间段[2,2＋Δt]，
∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，
∴＝＝－1－Δt，∴ ＝ (－1－Δt)＝－1．
∴此物体在t＝2时的瞬时速度为－1．
