第五章 二元一次方程组 单元练习
一、单选题
1．（2022春·北京怀柔·七年级校考期末）若方程ax+3y=2+4x是关于的二元一次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠2 C．a≠3 D．a≠4
2．（2022春·北京密云·七年级统考期末）下列每对数值中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则m的值为( )
A． B． C．1 D．
4．（2022春·北京房山·七年级统考期末）如果是关于x，y的方程的解，那么m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2022春·北京顺义·七年级统考期末）下列方程组中，解是的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·北京通州·七年级统考期末）已知二元一次方程的解,又是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·北京大兴·七年级统考期末）方程组的解也是方程的解，则a的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
8．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022春·北京西城·七年级统考期末）若是方程的解，则a的值为______．
10．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）周末小明和妈妈外出共消费了300元，表中记录了他一天所有的消费项目以及部分支出．如果饼干每包13元，矿泉水每瓶2元，那么小明买了____包饼干、____瓶矿泉水．
项目 早餐 午餐 购买书籍 饼干 矿泉水
支出金额 （单位：元） 40 100 130
11．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为______．
12．（2022春·北京大兴·七年级统考期末）把方程2x＋y＝5，改写成用含x的式子表示y的形式，则y＝______．
13．（2022春·北京顺义·七年级统考期末）写出方程的非负整数解，可以是 __________．（只写出一个即可）
14．（2022春·北京海淀·七年级北京市师达中学校考期末）如果是关于x，y的方程的解，那么 ______．
15．（2022春·北京平谷·七年级统考期末）观察下列表格，写出方程组的解是____________．
… …
… 2 …
… …
… 2 …
16．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________．
17．（2022春·北京怀柔·七年级校考期末）写出一个以为解的二元一次方程组__________________．
18．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）已知是方程的一个解，则m的值是______．
19．（2022春·北京昌平·七年级统考期末）如果是二元一次方程的解，那么的值是______．
20．（2022春·北京怀柔·七年级校考期末）下面是小强同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为___________，②为___________．
21．（2022春·北京门头沟·七年级统考期末）把方程写成用含y的代数式表示x的形式，_____．
22．（2022秋·北京朝阳·七年级统考期末）下表是某校七年级各班某月课外兴趣小组活动时间的统计表，其中各班同一兴趣小组每次活动时间相同．
体育小组 活动次数 科技小组 活动次数 文艺小组 活动次数 课外兴趣小组 活动总时间（单位：h）
1 4 6 5 11.5
2 4 6 4 11
3 4 7 4 12
4 6 13
（说明：活动次数为正整数）
科技小组每次活动时间为____________h，该年级4班这个月体育小组活动次数最多是____________次．
23．（2022春·北京密云·七年级统考期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
三、解答题
24．（2022春·北京怀柔·七年级校考期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
25．（2022春·北京平谷·七年级统考期末）解方程组：
26．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）解方程组：．
27．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）解方程组：
28．（2022春·北京密云·七年级统考期末）解二元一次方程组
29．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）解方程组：
30．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）解方程组：
(1)
(2)
31．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）解方程组
32．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）对于数轴上的点和正数，给出如下定义：点在数轴上移动，沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，与这两个数叫做“点的对称数”，记作，其中．
例如：原点表示，原点的对称数是．
(1)若点表示，则点的对称数，则，；
(2)若，求点表示的数及的值；
(3)已知，，若点、点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的倍，当时，请直接写出点表示的数．
参考答案：
1．D
【分析】移项整理给出的方程，根据二元一次方程的定义确定a的范围．
【详解】解：移项，得ax 4x＋3y 2＝0，
整理，得（a 4）x＋3y 2＝0．
∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴a 4≠0．
∴a≠4．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解决本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．D
【分析】二元一次方程的解有无数个，将选项分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解；
【详解】解：A．把代入方程，左边 右边，所以不是方程的解；
B．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
C．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
D．把代入方程，左边右边，所以是方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解，关键是理解二元一次方程的解的概念．
3．C
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．D
【分析】把代入，再解方程可得答案．
【详解】解：∵是关于x，y的方程的解，
∴
解得：
故选D
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“二元一次方程的解使方程的左右两边相等”是解本题的关键．
5．A
【分析】把代入各方程组两个方程检验，即可作出判断．
【详解】解：A、，
把代入①得：左边，右边，成立；
代入②得：左边，右边，成立，符合题意；
B、，
把代入①得：，右边，不符合题意；
C、，
把代入①得：左边，右边，不符合题意；
D、，
把代入①得：左边，右边；
把代入②得：左边，右边，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
6．B
【分析】把x、y的值代入方程，看看方程两边是否相等即可．
【详解】解：A、把代入方程y=x+1，左边≠右边，
所以不是方程y=x+1的解，故本选项不符合题意；
B、把代入方程y=x-1，左边=右边，
所以是方程y=x-1的解，故本选项符合题意；
C、把代入方程y=-x+1，左边≠右边，
所以不是方程y=-x+1的解，故本选项不符合题意；
D、把代入方程y=-x-1，左边=右边，
所以不是方程y=-x-1的解，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的意义是解此题的关键．
7．D
【分析】首先解二元一次方程组，再把二元一次方程组的解代入二元一次方程，即可解得．
【详解】解：
由得3x=4，
解得，
把代入①，得，
解得，
所以，原方程组的解为，
把代入，得
，
解得a=10，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程与方程组同解问题，熟练掌握和运用二元一次方程与方程组同解的方法是解决本题的关键．
8．A
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
9．3
【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：2+2a=8，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
10． 2 2
【分析】设小明买了包饼干，瓶矿泉水，利用早餐费＋午餐费＋购买书籍的费用＋购买饼干的费用＋购买矿泉水的费用＝消费的钱数，结合给定的数值，即可得出关于，的二元一次方程，由，均为正整数，即可求出方程的解从而得出结论．
【详解】解：设小明买了包饼干，瓶矿泉水，依题意得：
，
∴，
∵，均为正整数，
∴．
∴小明买了2包饼干、2瓶矿泉水．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系．正确列出二元一次方程是解题的关键．
11．
【分析】把代入方程，再解关于a的方程，从而可得答案．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本题的关键．
12．##
【分析】根据等式的性质，用含x的式子表示y，就是将y移到等式左边，x都移到等式右边，移项即可得出答案．
【详解】解：将2x项移到方程的右侧，得y＝5-2x，即用含x的式子表示y的形式为y＝5-2x．
故答案为：y＝5-2x．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是进行移项时，要变号．
13．（答案不唯一）
【分析】把x看作已知数表示出y，即可确定出方程的非负整数解．
【详解】解：方程2x+y=8，
解得：y=-2x+8，
当x=0时，y=8；
当x=1时，y=6；
当x=3时，y=2；
当x=4时，y=0；
则方程的非负整数解可以为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将一个未知数看作已知数表示出另一个未知数．
14．2
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：∵是关于x，y的方程的解，
∴，解得：a=2，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键．
15．
【分析】观察表格找出两个方程的公共解，即可得到方程组的解．
【详解】解：观察表格可以发现，
x=8和是两方程的公共解，
∴原方程组的解为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解方程组的解．
16．6
【分析】把代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把代入方程得：2m 6=6，
移项得：2m=6+6，
解得：m=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．
17．
【分析】直接利用二元一次方程组的解的意义即可得出答案．
【详解】解：以为解的二元一次方程为
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解，掌握相关定义是解题的关键．
18．4
【分析】已知方程组的解，将代入原方程即可求出m．
【详解】将代入得：-2+3m=10，解得：m=4
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了二元一次方程得解，已知方程的解则可以把解代入原方程得到一个新的参数方程，正确的理解和掌握方程的解的概念是解题的关键．
19．5
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程ax+y=3得：a-2=3，
解得：a=5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
20． 代入 消去y
【分析】利用代入法求解二元一次方程组的一般步骤，即可得出答案．
【详解】解：由代入法求解二元一次方程组的步骤可知：
①为代入，②为消去y，
故答案为：代入，消去y．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入法求解二元一次方程组的一般步骤是解此题的关键．
21．
【分析】把y看作已知数表示出x即可．
【详解】方程，
移项得：
系数化1得：
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
22． 1 8
【分析】设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，根据1、2、3班每班活动总时间列方程组求解即可；设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，根据4班总活动时间列方程求得方程的正整数解即可；
【详解】解：设体育小组每次活动时间为a小时，科技小组每次活动时间为b小时，文艺小组每次活动时间为c小时，则
①-②得：c=0.5，
c=0.5代入①得：4a+6b=9，
③-②得： b=1，
4a+6b=9，a=0.75，
∴体育小组每次活动时间为0.75小时，科技小组每次活动时间为1小时，文艺小组每次活动时间为0.5小时；
设该年级4班这个月体育小组活动次数为m，文艺小组活动次数为n，则
0.75m+6+0.5n=13，
0.75m+0.5n=7，
1.5m+n=14，
∵m，n为正整数，
∴m=2，n=11或m=4，n=8或m=6，n=5或m=8，n=2；
m最大值为8次，
故答案为：1，8；
【点睛】本题考查了三元一次方程的实际应用，二元一次方程的正整数解，利用加减消元法解方程是解题关键．
23．
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【详解】设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得：，
故答案是：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵；
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．
【详解】（1）解：整理方程得，，
因此矩阵形式为：；
（2）根据矩阵形式得到方程组为： ，
将代入上述方程得，，
解得：．
【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．
25．
【分析】先把方程①化为，再代入方程②求解y，再求解x，即可得到答案．
【详解】解：
由①得③
把③代入②，得．
解得 ，
把代入③得： ，
所以这个方程组的解是
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“代入消元法解二元一次方程组”是解本题的关键．
26．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：方程组：，
①×2得，
②+③得，
解得，
把代入①得．
所以是原方程组的解．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，根据题目特点灵活选用加减消元法或代入消元法求解是关键．
27．
【分析】利用加减消元法消去y，再解一元一次方程即可．
【详解】解：
将得：，
∴，
将代入②得：，
∴，
∴该方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是正确运用加减消元法消去y，得到关于x的一元一次方程．
28．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【详解】解：，
①×3，得：③，
②＋③，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组．解答的关键是对二元一次方程组的解法的掌握与运用．
29．
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
①得：
③，
②③得：
，
把代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
30．(1)
(2)
【分析】（1）运用代入消元法求解；
（2）运用加减消元法求解．
(1)
解：把①代入②，得．
．
．
把代入①，得 ．
∴原方程组的解为
(2)
解：，得 ．
∴．
把代入①，得 ．
．
∴．
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
31．
【分析】解法一：先整理方程组为：，由①②消去y，求解x，再求解y，从而可得答案；
解法二：先整理方程组为：，由①，得，再代入②，消去x，求解y，再求解x，从而可得答案．
【详解】解法一：整理，得
①②，得．
解得．
将代入①，得．
解得．
所以原方程组的解为
解法二：整理，得
由①，得．③
将③代入②，得．
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为
【点睛】本题考查的是利用加减消元法与代入消元法解二元一次方程组，掌握“两种消元的方法解方程组的步骤”是解本题的关键．
32．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）读懂题干中的定义，利用定义进行求解；
（2）根据，列出关于的二元一次方程组求解即可；
（3）点、点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的倍， 设点表示的数为,点表示的数为，根据新定义可知，代入条件式，解一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：,
，
故答案所示：；
（2）解：，
，
解得：；
（3）解：①当沿正方向运动，则沿负方向运动时，
设点表示的数为，
点、点从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点的速度是点速度的倍，
点表示的数为
，
根据定义可得
，
当时
解得
点表示的数是
②当沿负方向运动，则沿正方向运动时，
设点表示的数为，
点表示的数为
，
根据定义可得
，
当时
即
解得
点表示的数是
【点睛】本题为创新型题目，解题的关键是重点在题目意思的理解，结合分析可以利用数形结合的方法求解，在掌握了题目含义的基础上，进行解答．注意“，的数值是关于对称”的运用．
