2022-2023学年广东省河源市龙川县丰稔中学七年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列单项式中，与﹣5x2y是同类项的是（ ）
A．﹣5xy B．3x2y C．﹣5xy2 D．﹣5
2．在下列代数式：，，ab2+b+1，，x3+x2﹣3，π+2，中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．﹣2的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
4．若x＝﹣3，y＝1，则代数式2x﹣3y+1的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．10
5．如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣6
6．要说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．2ab和3ab B．2a2b和3ab2 C．2ab和2a2b2 D．2a3和﹣2a3
7．一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（ ）
A．15 B．150 C．200 D．2000
9．若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2020＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
10．如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果∠AOB＝155°，那么∠COD等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知A、B均为数轴上的点，A到原点的距离为3，点B到点A的距离为2个单位长度，且B在A的左边，则点B表示的数为 ．
12．已知4x2﹣2y＝﹣1，求5﹣2x2+y＝ ．
13．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位．
14．若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则2m+3n＝ ．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，则3 （﹣2）＝ ；[（﹣2） 3]﹣[2 （﹣1）]的值为 ．
16．如图，已知∠AOB＝129°，∠1＝（5x+18）°，∠2＝（57﹣2x）°，那么∠2＝ 度．
17．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．
三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．计算：（﹣6）2×（﹣）．
19．计算；
（1）7+（﹣19）+13+（﹣31）；
（2）12÷（﹣1）﹣2×32
20．为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 元，利润率是 ．如果当时他买一张会员卡，可省下 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
21．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
23．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB＝BC＝20．
（1）点A对应的数是 ，点B对应的数是 ．
（2）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
①用含t的代数式表示点P对应的数是 ，点Q对应的数是 ；
②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．
24．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ °；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？
25．将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
（1）如果剪n次共能得到bn个正方形，试用含有n，bn的等式表示它们之间的数量关系；
（2）若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪出的正方形的边长，如a1＝．
①试用含n的式子表示an＝ ；
②试用含n的式子表示a1+a2+a3+…+an＝ ；
（3）运用（2）的结论，计算的值．
参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列单项式中，与﹣5x2y是同类项的是（ ）
A．﹣5xy B．3x2y C．﹣5xy2 D．﹣5
【分析】直接利用同类项的定义是所含有的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，所以只要判断所含有的字母是否相同，相同字母的指数是否相同即可．
解：由同类项的定义可知，x的指数是2，y的指数是1．
A、x的指数是1，y的指数是1，故此选项错误；
B、x的指数是2，y的指数是1，故此选项正确；
C、x的指数是1，y的指数是2，故此选项错误；
D、﹣5不含有x，y的项，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类项，判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
2．在下列代数式：，，ab2+b+1，，x3+x2﹣3，π+2，中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．
解：ab，，ab2+b+1，+，x3+x2﹣3，π+2，中，
多项式有：，ab2+b+1，x3+x2﹣3，π+2有4个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式的定义是解题关键．
3．﹣2的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解：﹣2的相反数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
4．若x＝﹣3，y＝1，则代数式2x﹣3y+1的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．10
【分析】代入后求出即可．
解：∵x＝﹣3，y＝1，
∴2x﹣3y+1＝2×（﹣3）﹣3×1+1＝﹣8，
故选：B．
【点评】本题考查了求代数式的值，能正确代入是解此题的关键，注意：代入负数时要有括号．
5．如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣6
【分析】把x＝2代入方程x+a＝﹣1，得出关于a的方程，求出方程的解即可．
解：把x＝2代入方程x+a＝﹣1得：2×+a＝﹣1，
解得：a＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
6．要说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是（ ）
A．2ab和3ab B．2a2b和3ab2 C．2ab和2a2b2 D．2a3和﹣2a3
【分析】所举反例满足两个单项式的次数相同，但它们不是同类项．
解：说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是2a2b和3ab2．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为b，高为，由此列式得出答案即可．
解：长方体盒子的体积为：b b ＝．
故选：C．
【点评】此题考查列代数式，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
8．每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（ ）
A．15 B．150 C．200 D．2000
【分析】用全校学生总人数乘以样本中体重超标的人数所占比例即可得．
解：估计全校体重超标学生的人数为2000×＝150人，
故选：B．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
9．若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2020＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
【分析】分别求出a1＝3，a2＝﹣2，a3＝，a4＝，a5＝3，即可发现规律，这些数每四个数循环一次．
解：∵a1＝3，
∴a2＝，
a3＝＝，
a4＝＝，
a5＝＝3，
……
发现规律：这些数每四个数循环一次，
∵2020÷4＝505，
∴a2020＝a4＝，
故选：D．
【点评】本题考查数字的变化规律；理解题意，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
10．如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果∠AOB＝155°，那么∠COD等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【分析】利用直角和角的组成即角的和差关系计算．
解：∵三角板的两个直角都等于90°，所以∠BOD+∠AOC＝180°，
∵∠BOD+∠AOC＝∠AOB+∠COD，
∵∠AOB＝155°，
∴∠COD等于25°．
故选：B．
【点评】本题是对三角板中直角的考查，同时也考查了角的组成．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知A、B均为数轴上的点，A到原点的距离为3，点B到点A的距离为2个单位长度，且B在A的左边，则点B表示的数为 1或﹣5 ．
【分析】根据题意得到点A所表示的数是±3，根据两点间的距离公式求得点B所表示的数．
解：∵点A到原点的距离等于3，
∴点A所表示的数是±3，
∵点B到点A的距离是2，且B在A的左边，
∴点B表示的数是：3﹣2＝1或﹣3﹣2＝﹣5．
综上所述，点B表示的数是1或﹣5．
故答案是：1或﹣5．
【点评】本题考查数轴，在本题中需注意在数轴上距离某点一定距离的点有两个，一个在这个点的左侧，一个在这个点的右侧．
12．已知4x2﹣2y＝﹣1，求5﹣2x2+y＝ ．
【分析】由4x2﹣2y＝﹣1，可得﹣2x2+y＝，则可求得结果．
解：∵4x2﹣2y＝﹣1，
∴2x2﹣y＝﹣，
可得﹣2x2+y＝，
∴5﹣2x2+y＝5+＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了用整体思想求代数式的值得能力，关键是能对条件进行整体变形．
13．一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 50 个单位．
【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．
解：设向右为正，向左为负．1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+（﹣100）＝[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+…+[99+（﹣100）]＝﹣50．
∴落点处离O点的距离是50个单位．
故答案为50．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
14．若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则2m+3n＝ ﹣1 ．
【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2＝0，n﹣1＝0，求出m、n的值，再代入求出即可．
解：my3+nx2y+2y3﹣x2y+y＝（m+2）y3+（n﹣1）x2y+y，
∵关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，
∴m+2＝0，n﹣1＝0，
∴m＝﹣2，n＝1，
∴2m+3n＝2×（﹣2）+3×1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，多项式，求代数式的值，解一元一次方程等知识点，能求出m、n的值是解此题的关键．
15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，则3 （﹣2）＝ 16 ；[（﹣2） 3]﹣[2 （﹣1）]的值为 4 ．
【分析】直接利用运算公式计算得出答案．
解：3 （﹣2）＝3×（3+2）+1
＝16；
[（﹣2） 3]﹣[2 （﹣1）]
＝（﹣2）×（﹣5）+1﹣2×3﹣1
＝10+1﹣6﹣1
＝4．
故答案为：16，4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．
16．如图，已知∠AOB＝129°，∠1＝（5x+18）°，∠2＝（57﹣2x）°，那么∠2＝ 21 度．
【分析】根据图形可得方程5x+18+57﹣2x＝129，解方程可得x的值，再把x的值代入∠2＝（57﹣2x）°即可算出答案．
解：由题意得：5x+18+57﹣2x＝129，
解得：x＝18，
∠2＝（57﹣2x）°＝（57﹣36）°＝21°．
故答案为：21．
【点评】此题主要考查了角的计算，关键是根据题意列出方程．
17．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 11 ℃．
【分析】求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可．
解：∵由折线统计图可知，周一的日温差＝8℃+1℃＝9℃；周二的日温差＝7℃+1℃＝8℃；周三的日温差＝8℃+1℃＝9℃；周四的日温差＝9℃；周五的日温差＝13℃﹣5℃＝8℃；周六的日温差＝15℃﹣7℃＝8℃；周日的日温差＝16℃﹣5℃＝11℃，
∴这7天中最大的日温差是11℃．
故答案为：11．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键．
三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．计算：（﹣6）2×（﹣）．
【分析】原式先计算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可求出值．
解：原式＝36×（﹣）＝18﹣12＝6．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．计算；
（1）7+（﹣19）+13+（﹣31）；
（2）12÷（﹣1）﹣2×32
【分析】（1）先化简，再计算加减法；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法．
解：（1）7+（﹣19）+13+（﹣31）
＝7﹣19+13﹣31
＝20﹣50
＝﹣30；
（2）12÷（﹣1）﹣2×32
＝﹣8﹣2×9
＝﹣8﹣18
＝﹣26．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
20．为打造“书香校园”，学校每个班级都建立了图书角．七年1班，除了班上每位同学捐出一本书外，三位班委还相约图书城，用班费买些新书．下面是他们的对话内容：
班委A：“我上次在这边买了一套很好看的书，可惜有点贵，160元，据我了解这套书进价只有100元．”
班委B：“你可以花20元办一张会员卡，买书可打八折．”
班委C：“嗯，是的．不过我听说还有一种优惠方式，花100元办张贵宾卡，买书打六折．”
（1）班委A上次买的一套书，图书城的利润是 60 元，利润率是 60% ．如果当时他买一张会员卡，可省下 12 元．
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为多少时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠？
（3）三个班委精心挑选了一批新书，经过计算分析后，发现三种购买方式中，办会员卡购书最省钱，请你直接写出这批书的总价的范围．
【分析】（1）利用利润＝售价﹣进价，可求出图书城的利润；利用利润率＝×100%，可求出利润率；利用节省的钱数＝原价﹣（原价×折扣率+办卡费用），可求出购买会员卡后可节省的钱数；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，根据办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，根据办会员卡购书最省钱，可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：（1）图书城的利润是160﹣100＝60（元）；
利润率是×100%＝60%；
购买会员卡后可节省160﹣（160×0.8+20）＝12（元）．
故答案为：60；60%；12；
（2）当购书的总价（指未打折前的原价）为x元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6x）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8x）元，
根据题意得：100+0.6x＝20+0.8x，
解得：x＝400．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）为400元时，办贵宾卡与办会员卡购书一样优惠；
（3）当购书的总价（指未打折前的原价）为y元时，办贵宾卡后购买所需总费用为（100+0.6y）元，办会员卡后购买所需总费用为（20+0.8y）元，
根据题意得：，
解得：100＜y＜400．
答：当购书的总价（指未打折前的原价）大于100元且少于400元时，办会员卡购书最省钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍．为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
【分析】（1）计算出选择交通监督的人数后除以总人数算出百分比后乘以360°即可．
（2）根据扇形图算出环境保护的总人数后减去A、B、C班环境保护人数即可．
（3）根据扇形图计算出文明宣传人数的占比后乘以2500即可．
解：（1）选择交通监督的人数是12+15+13+14＝54（人），
选择交通监督的百分比是54÷200×100%＝27%，
扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数是360°×27%＝97.2°；
（2）D班选择环境保护的学生人数是200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人），
补全的折线统计图如图所示．
（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）＝950（人），
∴估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．
【点评】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
22．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；
（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决．
解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，
理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是9+0+1＝10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数时，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，
即不大于100的“纯数”的有13个．
【点评】本题考查有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答．
23．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB＝BC＝20．
（1）点A对应的数是 ﹣30 ，点B对应的数是 ﹣10 ．
（2）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
①用含t的代数式表示点P对应的数是 4t﹣30 ，点Q对应的数是 t﹣10 ；
②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．
【分析】（1）由AB，BC的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数；
（2）①由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数；
②由①结合PQ＝8，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵AB＝BC＝20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧，
∴点B对应的数为10﹣20＝﹣10，点A对应的数为﹣10﹣20＝﹣30．
故答案为：﹣30；﹣10．
（2）①当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t﹣30，点Q对应的数是t﹣10．
故答案为：4t﹣30；t﹣10．
②依题意，得：|t﹣10﹣（4t﹣30）|＝8，
∴20﹣3t＝8或3t﹣20＝8，
解得：t＝4或t＝．
∴t的值为4或．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据线段AB，BC的长度，找出点A，B对应的数；（2）①用含t的代数式表示出点P，Q对应的数；②利用两点间的距离公式，找出关于t的一元一次方程．
24．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 30 °；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？
【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；
（3）画出符合的两种图形，再根据平角等于180°求出即可．
解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
有两种情况：①如图1，OD在∠AOC内部时，
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°；
②如图2，OD在∠BOC的内部时，如图2，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∠COD＝x°，∠AOE＝5x°，
∴5x+90﹣x+60＝180，
解得：x＝7.5，
即∠COD＝7.5°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝60°﹣7.5°＝52.5°，
∴∠BOD的度数为65°或52.5°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
25．将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的正方形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的正方形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
（1）如果剪n次共能得到bn个正方形，试用含有n，bn的等式表示它们之间的数量关系；
（2）若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪出的正方形的边长，如a1＝．
①试用含n的式子表示an＝ （）n ；
②试用含n的式子表示a1+a2+a3+…+an＝ 1﹣（）n ；
（3）运用（2）的结论，计算的值．
【分析】（1）（2）观察图形发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，根据得到的规律得到通项公式即可；
（3）①根据每次将边长一分为二即可得到答案；
②结合图形得出答案即可；
（4）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．
解：（1）观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，
剪两次有7个小正方形，
剪三次有10个小正方形，
剪四次有13个小正方形，
规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，
故第n个共有4+3（n﹣1）＝3n+1个，
∴用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系为bn＝3n+1；
（2）①第一次所剪的正方形的边长为，
第二次所剪的正方形的边长为（）2；
第三次所剪的正方形的边长为（）3，
…
第n次所剪的正方形的边长an＝（）n；
故答案为：（）n；
②根据图形的变化可知：
a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an
＝+（）2+（）3+…+（）n
＝1﹣（）n；
故答案为：1﹣（）n；
（3）原式＝1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣
＝9﹣×（1++++…+）
＝9﹣×[1++（）2+（）3+…+（）8]
＝9﹣×（1+1﹣）
＝9﹣+
＝8．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，找到规律并用通项公式表示出来是解决本题的关键．
