17.1勾股定理 同步练习 2022-2023学年八年级数学下册人教版
一、单选题
1．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米
2．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148 B．100 C．196 D．144
4．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
5．如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ）
A． B．2 C． D．1
6．如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）
A．2， B．4， C．， D．2，
7．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
8．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
9．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
10．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
二、填空题
11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．
12．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________．
13．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则______．
15．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为___．
三、解答题
16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
17．如图所示，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且．为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
18．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，
中
（米）
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
2．A
【分析】根据坡度意思可知，设米，则米，由勾股定理可得：，即，求出h即可．
【详解】解：如图：
由题意可知：，米，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即，
解得：米，米（舍去）．
故选：A
【点睛】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC，AC之间的关系．
3．A
【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．
【详解】解：如图，设将延长到点，连接，
由题意得：，
，
，
∴这个风车的外围周长是，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
4．D
【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：
，
根据勾股定理有：
故选D．
【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
5．D
【分析】先证明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵和是△ABC的高线，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴△BDF≌△ADC（SAS），
∴BF=AC=，
在Rt△BDF中，DF=．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，证明△BDF≌△ADC是解题关键．
6．A
【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可．
【详解】由题意可得：，，
∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”，
∴根据题意可得：，
∴，
∴，
，
∴总结出，
∵，，，
∴归纳得出一般规律：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．
7．A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
8．A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
9．D
【分析】根据题目中所给的勾股数．广义勾股数，广义斜边数的定义，分析选项找出结论正确的即可．
【详解】解：由题意可知：
①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；结论正确；
②1，2，3是一组广义勾股数；∵，∴不满足，不能成为广义勾股数，故结论不正确；
③13是广义斜边数；∵，∴结论正确；
④两个广义斜边数的和是广义斜边数；例如，，但是7不是广义斜边数，故结论不正确；
⑤若，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；∵，，满足：，故结论正确；
⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．例如，但是4不是广义斜边数，故结论不正确；
故正确的结论为：①③⑤．
故选：D
【点睛】本题考查勾股数．广义勾股数，广义斜边数的定义，解题的关键是理解题意，根据题干中的定义解答．
10．B
【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案．
【详解】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键．
11．102+（x-1）2=x2
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-1）2=x2，
故答案为：102+（x-1）2=x2．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
12．
【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值．
【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，
则CE=DE，，
∴，
即，
同理可得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．
13．
【分析】根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，
∵在中，，，，，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积是解题的关键．
14．13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
15．
【分析】根据平面直角坐标系，可以假设，则，，则，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值的长．
【详解】解：建立如图坐标系，
在中，，，，
，
，
斜边上的高，
，
，斜边上的高为，
可以假设，则，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，
作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．
【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
17．公路有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米
【分析】过作于,利用勾股定理算出的长度，然后利用三角形的面积公式可求出的长，用的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾股定理求出封锁的长度．
【详解】解：公路需要暂时封锁，
理由如下：如图，过作于，
因为米，米，，
所以根据勾股定理有米，
因为，
所以（米），
由于,故有危险，
封锁长度为：米，
因此段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米．
【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
18．(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
19．AB＝．
【分析】连接BE，证明∠DAC＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的边角关系求出AC，AF，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：过点A作AF⊥BC于F，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD=CD=6，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴DE=，
∴CE＝AE＝=，
∴AC＝2EC＝，
∴AF=，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°，
∴∠BAF=∠B，
∴BF=AF=
∴AB＝×．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
