人教版2022-2023学年八年级下册第一次月考数学模拟试卷
考试时间：100分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题 (共10题；共30分)
1．（3分）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列根式是最简二次根式的（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．，，
4．（3分）能使等式 成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x>2 D．x≥2
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
7．（3分）下面四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）和B（4，5），则线段AB的长是（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
10．（3分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则BD的长度为（ ）
A． cm B．2cm C． cm D．3cm
第Ⅱ卷 主观题
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）比较大小：2 5．
12．（3分）要使 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 。
13．（3分）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 ，
则△ABC的形状为
14．（3分）若 是整数，则最小的正整数a的值是
15．（3分）如下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1，则AB2+BC2+AC2= 。
17．（3分）实数a在数轴上的位置如上图所示，化简|a﹣2|+＝ ．
18．（3分）对于任意的正数m，n定义运算为：，计算的结果为 .
三、解答题(共9题；共66分)
19．（6分）计算：
（1）（3分）； （2）（3分）.
20．（8分）运用乘法公式计算：
（1）（4分）（2 ）2 ； （2）（4分）（ ）（ ）
21．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）（2分）求边AC、AB、BC的长；
（2）（2分）求△ABC的面积；
（3）（2分）点C到AB边的距离
22．（6分）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量，米，米，米，米，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
23．（6分）已知 ，求下列各式的值：
（1）（3分） ；
（2）（3分） .
24．（6分）已知CD是的边AB上的高，若，，，求AB长.
25．（8分）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简.
例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1）（4分）
（2）（4分） .
26．（10分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE＝DF，AE、BF交于点H
（1）（6分）求证：AE＝BF；
（2）（4分）若AB＝4，CE＝1，求AH的长．
长：
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且..
（1）（3分）求AB；
（2）（3分）在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值；
（3）（4分）在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标.
答案解析
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、当，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意．
C、由于x2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意．
D、当时，它无意义，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、=，故本选项不符合题意，
B、=，故本选项不符合题意，
C、是最简二次根式，故本选项符合题意，
D、，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式满足的条件，即：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此判断即可
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、52+122=132，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、12+22，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、42+52≠62，即不能组成直角三角形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理进行判断，分别将个三角形的三边的平方求出来，若两短边平方之和等于最长边的平方，即可判断为直角三角形，否则不是直角三角形，据此判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
解得，x＞2
故答案为：C.
【分析】被开方数为非负数，分数的分母不为0，根据此性质即可得到不等式组，求出x的范围即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】A、 与 不可合并，此项错误
B、 ，此项错误
C、 ，此项错误
D、 ，此项正确
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法、化简方法逐项判断即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，
在Rt△AEC中，
（米）．
故答案为：C．
【分析】过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，再利用勾股定理求出AC的长即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的解是对顶角，是假命题；
②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补是真命题；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题，
其中逆命题是真命题的有2个，
故答案为：B
【分析】根据对顶角的性质对 ① 作判断；根据平行线的判定定理对 ② 作判断；根据全等三角形的性质对 ③ 作判断；根据平方根的性质对 ④ 作判断.
8．【答案】C
【解析】【解答】2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，∵7.84＜8＜8.41，∴，∴的点落在段③，故选：C．
【分析】根据数的平方，即可解答．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A（1，1）和B（4，5），
则线段AB的长 ；
故答案为：B.
【分析】根据点在坐标系中的位置,可以确定以线段AB为斜边,分别以(4-1)和(5-1)为直角边的直角三角形,利用勾股定理求出AB的长度.
10．【答案】C
【解析】【解答】如图，过点D作 于点E
，AD平分 ，
在 和 中，
设 ，则
在 中， ，即
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过点D作 于点E，由角平分线的性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得.
11．【答案】<
【解析】【解答】解：∵2=＜，
∴2＜5，
故答案为：＜．
【分析】先变形2= ，5=，再比较即可．
12．【答案】x≥1
【解析】【解答】解：∵有意义
∴x-1≥0
∴x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可得到x的范围。
13．【答案】等腰直角三角形
【解析】【解答】∵ ，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0。
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形。
又由a－b=0得a=b，∴△ABC为等腰直角三角形。
【分析】由二次根式和绝对值的非负性并结合已知可得：c2－a2－b2=0，且a－b=0；整理可得c2=a2＋b2，a=b；由勾股定理的逆定理可得△ABC为等腰直角三角形。
14．【答案】5
【解析】【解答】45a=5×3×3×a，
若为整数，则必能被开方，所以满足条件的最小正整数a为5.
【分析】由于45a=5×3×3×a，要使其为整数，则必能被开得尽方，所以满足条件的最小正整数a为5.
15．【答案】10
【解析】【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=2+5+1+2=10．
故答案是：10．
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
16．【答案】2
【解析】【解答】解：∵∠C-90°，AB=10
∴AC2+BC2=AB2=100
∴AC2+BC2+AB2=2AB2=2
【分析】根据勾股定理计算得到答案即可。
17．【答案】2
【解析】【解答】解：∵由图可知，2＜a＜4，
∴原式＝a﹣2+
＝a﹣2+4﹣a
＝2．
故答案为2．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再结合数轴，利用特殊值法判断出绝对值中的正负，再去掉绝对值，最后合并同类项即可。
18．【答案】
【解析】【解答】解：∵3＞2，8＜12，
∴
.
故答案为：.
【分析】根据新定义运算法则，将进变形为，然后将各个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可.
19．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【解析】【分析】（1）用括号内的每一个二次根式分别除以括号外的二次根式，再化简二次根式即可；
（2）去掉括号，并将各个二次根式化为最简，再合并同类二次根式，即可求解.
20．【答案】（1）解：（2 ）2
=20-4 +2
=22-4 ；
（2）解：（ ）（ ）
=[（ + ）-1][（ + ）+1]
=（ + ）2-12
=2+2 +3-1
=4+2 .
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）观察发现，原式包含完全相同项和完全相反项，利用平方差公式即可求解
21．【答案】（1）解：，
，
（2）解：△ABC的面积
（3）解：点C到AB边的距离为h，
则，即，
解得，．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC、AB和BC的长；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）利用等面积法可得，再求出即可。
22．【答案】解：连接AC，
∵，
在中，，
∵，，，
又
∴，
∴为直角三角形，
（平方米）
（元）
答：学校需要投入7200元买草皮.
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中利用勾股定理可求得AC的长，由勾股定理逆定理可得三角形DBC为直角三角形，AD为斜边，分别求出Rt△ABC和Rt△ACD的面积，再相加可求得四边形ABCD的面积，再由面积乘以每平方米的草皮价格，即可求得学校需要投入的资金.
23．【答案】（1）解：∵
∴ ， ，
；
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据已知求出a+b、a-b和ab的值，再将原式根据完全平方式变形，最后代值计算即可；
（2）先通分，分子利用平方差公式分解因式，最后代值计算即可.
24．【答案】解：分两种情况：
当△ABC是锐角或直角三角形，如图，
∵CD⊥ AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵CD=，AC=，
∴=5，
∵，
∴，
∴AB=AD+BD=5+3=8；
当△ABC是钝角三角形，如图，
同理得：BD=3，AD=5，
∴AB=AD－BD=5－3=2.
综上所述，AB=8或2.
【解析】【分析】当△ABC是锐角或直角三角形时，根据垂直的概念可得∠CDB=∠ADB=90°，由勾股定理可得AD、BD，然后根据AB=AD+BD进行计算；当△ABC是钝角三角形时，同理得：BD=3，AD=5，然后根据AB=AD-BD进行计算.
25．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ .
【解析】【分析】根据提示，先找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，利用完全平方公式将a+2 变为（m+n）2，据此分别将4分成1和3，7分成5和2即可求解.
26．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD＝BC，∠BAF＝∠D＝90°，由SAS证明△ADE≌△BAF，得出对应边相等即可；
（2）由勾股定理求出BF，再由△ABF的面积的计算方法，即可得出AH的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠BAF＝∠D＝90°，
∵CE＝DF，
∴DE＝AF，
在△ADE和△BAF中，，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AD＝AB＝4，DF＝CE＝1，
∴AF＝4﹣1＝3，
∴BF＝＝＝5，
∵△ABF的面积＝BF AH＝AB AF，
∴AH＝＝＝．
27．【答案】（1）解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根据勾股定理可得
∴
所以AB长度为5
（2）解：存在点P，使得PB+PD最小值为
如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F，
∵
∴
在和中
∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴点D坐标为（4，7）
∵，DF=7
根据勾股定理可得；
∴
∴PB+PD最小值为.
（3）解：点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）.
【解析】【解答】解：（3）当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）
当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）
∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）.
【分析】（1）根据绝对值的非负性以及偶次幂的非负性可得a-4=0，b-3=0，求出a、b的值，然后根据勾股定理进行计算就可求出AB的长；
（2）过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D，过点D作DF⊥x轴于点F，根据同角的余角相等可得∠DAE=∠ABO，证明△AOB≌△DEA，得到OB=AE=3，OA=DE=4，则D（4，7），根据勾股定理求出B′D，据此可得PB+PD的最小值；
（3）分AB=AM、BA=BM可得点M的坐标.
