2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的综合应用
一、综合题
1．定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（1）已知抛物线的焦点F（0， ），准线l： ，求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的解析式为：y=x2﹣n2，点A（0， ）（n≠0），B（1，2﹣n2），P为抛物线上一点，求PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
3．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒 个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，交抛物线于点M，连结MC，MB，当t为何值时，△MCB的面积最大，并求出此时点M的坐标和△MCB面积的最大值．
4．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线 经过 、 两点，与 轴的另一个交点为 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，沿线段 由 向 运动，同时点 从点 出发，沿线段 由 向 运动， 、 的运动速度都是每秒 个单位长度，当 点到达 点时， 、 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 ，使 、 运动过程中的某一时刻，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM，若y与x的部分对应值如表所示：
x … ﹣1 0 3 …
y … 0 0 …
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，点Q是直线BC下方抛物线上一点，点Q的横坐标为xQ.若S△BCQ≥ S△BOC，求xQ的取值范围；
（3）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，﹣1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F.则当E点位置变化时，直线EF是否经过某个定点？如果是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由.
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？
7．如图，已知抛物线y=（x﹣1）2+k的图象与x轴交于点A（﹣1，0），C两点，与y轴交于点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P使S△PAC= S△ABC？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
8．综合与探究
如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；
（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出EF的长度.
（3）在抛物线上对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
10．如图，抛物线 经过点 ， ，直线AC的解析式为 ，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作 轴交AC于点F.
（1）求抛物线 的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形 求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为 上以动点，求 的最小值.
11．某公司分别在 ， 两城生产同种产品，共100件. 城生产产品的总成本 （万元）与产品数量 （件）之间具有函数关系 ， 城生产产品的每件成本为70万.当 ， 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求：
（1） ， 两城各生产多少件？
（2）从 城把该产品运往 ， 两地的费用分别为 万元/件和3万元/件；从 城把该产品运往 ， 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件， 地需要90件， 地需要10件，求 ， 两城总运费之和 的最小值（用含有 的式子表示）.
12．如图，直线x＝－4与x轴交于E，一开口向上的抛物线过原点O交线段OE于A，交直线x＝－4于B．过B且平行于x轴的直线与抛物线交于C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD＝1:3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
13．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AC为半圆的直径．
（1）分别求出A、B、C、D四点的坐标；
（2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为 ．设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E·
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）∠DBC= ，∠CBE= ，求sin( - )的值；
（3）探究：在坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似 若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 轴上的 点，直线 与抛物线在第一象限交于点 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）已知点 是抛物线的对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的面积；
（3）若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是 ．
16．如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB 面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设抛物线上有一点（x，y），
由定义知：x2+（y﹣ ）2=|y+ |2，
解得y=ax2；
（2）解：如图1，由（1）得抛物线y=x2的焦点为（0， ），准线为y=﹣ ，
∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得，
∴其焦点为A（0， ﹣n2），准线为y=﹣ ﹣n2，
由定义知P为抛物线上的点，则PA=PH，
∴PA+PH最短为P、B、A共线，此时P在P′处，
∵x=1，
∴y=1﹣n2＜2﹣n2，
∴点B在抛物线内，
∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣（﹣ ﹣n2）= ，
∴PA+PB的最小值为 ，此时P点坐标为（1，1﹣n2）；
（3）解：由（2）知E（|n|，0），C（0，n2），
设OQ=m（m＞0），则CQ=QE=n2﹣m，
在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2，
解得m= ﹣ ，
则QC= + =QN，
∴ON=QN﹣m=1，
即点N（0，1），
故AM过定点N（0，1）．
2．【答案】（1）解：∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：
∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1
（2）解：∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2
（3）解：共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）
∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0
（4）解：由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：
易得K（0，3），B、O、N三点共线
∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）
∴点K、P关于直线AN对称
设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）
∴Q2与点P关于直线AN对称
∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．
则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP．
由图形易得Q1（﹣3，3）
设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2
由∵⊙K半径为1
∴解得 ，1 同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO= ∴解得 ， ∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、（ ， ）、（ ， ）
3．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3），整理得：y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：∵当x=0时，y=﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴OB=OC．
∴∠PBQ=45°．
如图1所示：当∠PQB=90°时．则PB= BQ．
∵AP=t，BQ= t，AB=4，
∴AP+PB=t+2t=4．
∴t= ．
如图2所示：当∠QPB=90°时．
∵∠PBQ=45°，∠BPQ=90°，
∴PB= BQ= × t=t．
∵AP=t，AB=4，
∴t+t=4．
解得：t=2．
综上所述，当t=2或t= 时，△BPQ为直角三角形．
（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将C（0，﹣3）、B（3，0）代入得： ，解得：k=1，b=﹣3，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
设M（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a，a﹣3）．则QM=a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）=﹣a2+3a．
∵S△BCM= OB QM= ×3 （﹣a2+3a）=﹣ （a2﹣3a）=﹣ （a﹣ ）2+ ，
∴当a= 时，△BCM的面积的最大值为 ．
∴点P的坐标（ ，﹣ ）．
4．【答案】（1）解：直线解析式 ，令 ，得 ；令 ，得 ．∴ 、 ．∵点 、 在抛物线 上，∴ ，解得 ，∴抛物线解析式为： ．令 ，解得： 或 ，∴ ．
（2）解： ，设 ，①当 时，如答图 所示．∵ ，∴ ，故点 满足条件．过点 作 轴于点 ，则 ， ，∴ ．∵ ，∴ ，∴直线 的解析式为： ．联立 与 ，得： ，解得： ， ，∴ ， ，∴ ；
②当 与 关于 轴对称时，如答图 所示．∵ ， ，∴ ，故点 满足条件．过点 作 轴于点 ，则 ， ，∴ ．∵ ，∴ ，∴直线 的解析式为： ．联立 与 得： ，解得： ， ，∴ ， ，∴ ．综上所述，满足条件的点 的坐标为： 或
（3）解：设 ，则 ， ， ．假设存在满足条件的点 ，设菱形的对角线交于点 ，设运动时间为 ．
①若以 为菱形对角线，如答图 ．此时 ，菱形边长 ．
∴ ．
在 中， ，
解得 ．∴ ．过点 作 轴于点 ，
则 ， ，
∴ ．∴ ．∵点 与点 横坐标相差 个单位，
∴ ；
②若以 为菱形对角线，如答图 ．此时 ，菱形边长 ．
∵ ，∴ ，点 为 中点，
∴ ．∵点 与点 横坐标相差 个单位，∴ ；③若以 为菱形对角线，如答图 ．此时 ，菱形边长 ．
在 中， ，
解得 ．∴ ， ．
∴ ．综上所述，存在满足条件的点 ，点 坐标为： 或 或 ．
5．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，（﹣1，0），（3，0），
∴y＝﹣ （x+1）（x﹣3），
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+x+
（2）解：取OB的中点P（ ，0），连接CP，
则S△PBC＝ S△BOC，
过点P作PQ∥BC交抛物线于Q，即为所求；
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：（0， ），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+ ，
∴设直线PQ的解析式为y＝﹣ x+n，
∴﹣ × +n＝0，
∴n＝ ，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣ x+ ，
联立 ，
解得：x＝ ，
若S△BCQ≥ S△BOC
则xQ的取值范围为：xQ≥ 或xQ≤ ；
（3）解：平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣ x2，
过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于N，
由反射可知：∠EPM＝∠FPN，
∴Rt△EPM∽Rt△FPN，
∴ ，
设E（x1，y1）、F（x2，y2），设直线EF的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴x1（1+y2）+x2（y1+1）＝0，
联立 ，
整理得x2+2kx+2b＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝2b，
∵x1（1+y2）+x2（y1+1）＝x1（1+kx2+b）+x2（kx1+b+1）＝0，
∴2kx1x2+（b+1）（x1+x2）＝0，
∴2kb﹣2k＝0，b＝1，
∴直线EF的解析式为y＝kx+1
∴直线EF的过定点（0，1）.
6．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
设E（t，t2﹣2t﹣3），
当0＜t＜1时，如图1，EF＝2（1﹣t），EH＝﹣（t2﹣2t﹣3），
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF＝EH，即2（1﹣t）＝﹣（t2﹣2t﹣3），
整理得t2﹣4t﹣1＝0，解得t1＝2+ （舍去），t2＝2﹣ （舍去）；
当1＜t＜3时，如图2，EF＝2（t﹣1），EH＝﹣（t2﹣2t﹣3），
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF＝EH，即2（t﹣1）＝﹣（t2﹣2t﹣3），
整理得t2﹣5＝0，解得t1＝ ，t2＝﹣ （舍去），
此时正方形EFGH的边长为2 ﹣2；
当t＞3时，EF＝2（t﹣1），EH＝t2﹣2t﹣3，
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF＝EH，即2（t﹣1）＝t2﹣2t﹣3，
整理得t2﹣4t﹣1＝0，解得t1＝2+ ，t2＝2﹣ （舍去），
此时正方形EFGH的边长为2 +2，
综上所述，正方形EFGH的边长为2 ﹣2或2 +2；
（3）解：设P（x，x2﹣2x﹣3），
当﹣1＜x＜0时，
∵S△ABC＝ ×4×3＝6，
∴0＜S△APC＜6，
∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，此时△PAC有5个；
当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，
易得直线AC的解析式为y＝x﹣3，则M（x，x﹣3），
∴PM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△APC＝ 3 （﹣x2+3x）
＝﹣ x2+ x
＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
当x＝ 时，S△APC的面积的最大值为 ，即0＜S△APC＜ ，
∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3，此时△PAC有6个
综上所述，△PAC有11个.
7．【答案】（1）解：把A（﹣1，0）代入抛物线y=（x﹣1）2+k得，0=4+k，
∴k=﹣4，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，
令x=0，得y=﹣3，
∴点B坐标为（0，﹣3）
（2）解：存在．如图1中，
理由：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
∴x=﹣1或3，
∴点A（﹣1，0），C（3，0），
∴S△ABC= ×4×3=6，
∵S△PAC= S△ABC，
∴S△PAC= ，设P（m，n），
则有 ×4×|n|= ，
∴n= ，
当n= 时，m2﹣2m﹣3= ，解得m=﹣ 或 ，此时P（﹣ ， ）或（ ， ），
当n=﹣ 时，m2﹣2m﹣3=﹣ ，解得m= 或 ，此时P（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）
（3）解：如图2中，存在．
①当AQ=AB时，有两种情形a、当Q1在x轴上方，此时Q1（1， ）；b、当Q2在x轴下方时，此时Q2（1，﹣ ）．
②当BA=BQ时，此时Q在x轴上，Q3（1，0）．
③当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），
∴直线AB解析式为y=﹣3x﹣3，线段AB的中点为（﹣ ，﹣ ），
设线段AB的中垂线的解析式为y= x+m．
∴﹣ =﹣ +m，
∴m=﹣ ，
∴线段AB的中垂线的解析式为y= x﹣ ，与对称轴的交点Q4（1，﹣1），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（1， ）或（1，﹣ ）或（1，0）或（1，﹣1）．
8．【答案】（1）解：如图1， 把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得 ， 解得 ，
所以该抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣3；
（2）解：将x＝0代入y＝ x2﹣ x﹣3，得y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∴OC＝3．
设N（x，y），
∵S△NAB＝S△CAB，
∴|y|＝OC＝3，
∴y＝±3．
当y＝3时， x2﹣ x﹣3＝3，
解得x＝ +1．
当y＝﹣3时， x2﹣ x﹣3＝﹣3，
解得x1＝2，x2＝0（舍去）．
综上所述，点N的坐标是（ +1，3）或（﹣ +1，3）或（2，﹣3）；
（3）解：如图2，由已知得，QB＝m，PQ＝2， 设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．
∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），
∴ ， 解得 ，
∴直线BC的表达式为y＝ x﹣3．
当0＜m≤2时，由已知得PB＝2+m．
∵OP＝2﹣m，
∴E（2﹣m，﹣ m﹣ ）．
由OB＝4得OP＝2，
把x＝2代入y＝ x2﹣ x﹣3中，得y＝﹣3，
∴D（2，﹣3），
∴直线CD∥x轴．
∵EP＝ m+ ，MP＝3，
∴EM＝MP﹣EP＝3﹣ m﹣ ＝﹣ m+ ．
过点F作FH⊥PM于点M，则∠MHF＝∠MPQ＝90°． ∵∠HMF＝∠PMQ，
∴△MHF∽△MPQ，
∴ ＝ ． ∵∠FCM＝∠FBQ，∠FMC＝∠FQB， ∴△CMF∽△BQF， ∴ ＝ ．
∵CD＝2，
∴CM＝2﹣m，
∴ ＝ ．
设MF＝k（2﹣m），QF＝km，
∴MQ＝2k，
∴ ＝ ． ∴ ＝ ．
∵PQ＝2，
∴HF＝2﹣m．
∴S△EMF＝ EM HF＝ （﹣ m+ ）（2﹣m）．
∵S△PQM＝ PQ PM＝ ×3×2＝3，
∴S＝S△PQM﹣S△EMF＝3﹣ （﹣ m+ ）（2﹣m）＝﹣ m2+ m+ ．
9．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），B（﹣1，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2+ x+2；
（2）解：连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知：
当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短.
由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，
∴AC＝ .
∵ ,
∴ ,
故EF的长度为 ；
（3）解：假设存在，设点P的坐标为（m， m2+ m+2）.
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴AP2＝（m﹣4）2+（ m2+ m+2﹣0）2，CP2＝（m﹣0）2+（ m2+ m+2﹣2）2，AC2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20.
分两种情况考虑，①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2，
即（m﹣4）2+（ m2+ m+2﹣0）2=（m﹣0）2+（ m2+ m+2﹣2）2+20,
解得：m1＝0（舍去），m2＝-1，
∴点P的坐标为（-1，0）；
②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2，
即，（m﹣4）2+（ m2+ m+2﹣0）2+（m﹣0）2+（ m2+ m+2﹣2）2=20
解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），m3＝m4＝1，
∴点P的坐标为（1，3）.
综上所述，假设成立，
即存在点P（-1，0）或（1，3），使得△ACP是直角三角形.
10．【答案】（1）解：将点 ， 代入抛物线 得：
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图：
设直线 的解析式为 则
∴
∴直线 的解析式为
又∵直线 的解析式为
∴
∴当四边形 是平行四边形时，可使四边形 是矩形，此时对角线 与 互相平分
设 ， 则
∵
∴
解得
∴ ，
（3）解：如图：
由（2）知 ， ，
∴ ，
设 交 于点 ，取 的中点 ，则
设 ，
∴ .
∴ 或 （舍去）.
∴
∵
∴
连接 交 于点 ，连接EM.
则
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 的最小值为 .
11．【答案】（1）解：设 ， 两城生产这批产品的总成本的和为 ，
则 ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值，最小值为6600万元，
此时 ，
答： 城生产20件， 城生产80件.
（2）解：设从 城运往 地的产品数量为 件， ， 两城总运费的和为 ，则从 城运往 地的产品数量为 件，从 城运往 地的产品数量为 件，从 城运往 地的产品数量为 件，
由题意得： ，解得 ，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当 时，在 内， 随 的增大而减小，则 时， 取得最小值，最小值为 ；
②当 时，在 内， 随 的增大而增大，则 时， 取得最小值，最小值为 ；
答：当 时， ， 两城总运费之和 的最小值为 万元；当 时， ， 两城总运费的和的最小值为 万元.
12．【答案】（1）解： 如图，过点D作DF⊥x轴于点F.
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①。
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴AF∶AE=AD∶AB=1∶2，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为( 2,0)；
（2）解： ∵抛物线过原点(0,0)，
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx.
∵抛物线过原点(0,0)和A点( 2,0)，
∴对称轴为直线x== 1，
∵B、C两点关于直线x= 1对称，B点横坐标为 4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2 ( 4)=6.
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB>90°，OB>AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时,设B( 4,y1)，
则16+y21=36,解得y1=±(负值舍去).
将A( 2,0),B( 4,)代入y=ax2+bx，
得解得
∴此抛物线的解析式为y=x2+x；
②当OC=BC时,设C(2,y2)，
则4+y22=36,解得y2=±(负值舍去).
将A( 2,0),C(2,)代入y=ax2+bx，
得,解得
∴此抛物线的解析式为y=x2+x.
综上可知,若△OBC是等腰三角形,此抛物线的函数关系式为y=x2+x或y=x2+x.
13．【答案】（1）解：连接DE， ∵y=x2﹣2x﹣3，∴x=0时，y=﹣3， y=0时，x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0），
∵AC=4，
∴AE=DE=2，
∴OE=1，∴OD= = ，∴D点的坐标为（0， ）
（2）解：∵DF是果圆的切线，∴ED⊥DF，又DO⊥EF，
∴DE2=EO EF，
∴EF=4，则OF=3，
∴点F的坐标为（﹣3，0），
设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ．
∴经过点D的果圆的切线DF的解析式为y= x+
（3）解：设经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax+c，∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax﹣3，
由题意得，方程组 只有一个解，
即一元二次方程x2﹣（a+2）x=0有两个相等的实数根，
△=（a+2）2﹣4×1×0=0，
解得a=﹣2，
∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=﹣2x﹣3，
当y=0时，x=﹣ ，∴点M的坐标为（﹣ ，0），即OM= ，
∴△OBM的面积= ×OM×OB= ．
14．【答案】（1）解：由题意可知C（0，3）， =1，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+3（a<0），
过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN=1，CM= ，
∴CN=2，于是m=1．
同理可求得B（3，0），
∴a×32﹣2a×3+3=0，得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
（2）解：由（1）得A（﹣1，0），E（1，4），B（3，0），C（0，3）．
∴在Rt△BCO中，BC= ，
∵M到AB，CD的距离相等，OB=OC，
∴OA=OD，
∴点D的坐标为（0，-1），
∴ ，
在△BCE中，∵BC2+CE2=（32+32）+[（1﹣0）2+（4﹣3）2]=20=（3﹣1）2+（0﹣4）2=BE2
∴△BCE是Rt△
，
∴ ，
即 ，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，
因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC= ．
（3）解： 由（1）得 A（﹣1，0），E（1，4），B（3，0），C（0，3），
①∴AC=，BC=3，CE=，AO=1，OC=3，
∴，∠AOC=∠ECB=90°，
∴Rt△COA∽Rt△BCE，
∴P1（0，0）；
②过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，如图：
∵Rt△CAP2∽Rt△BCE，
∴，
即，
∴AP2=，
∴OP2==，
∴P2（0，-）；
③过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，如图：
∵Rt△P3CA∽Rt△BCE，
∴，
即，
∴CP3=，
∴CP3==9，
∴P3（9，0）；
综上所述： 在坐标轴上是存在三个点P1（0，0）， P2（0，-），P3（9，0）， 使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似 .
15．【答案】（1）解：当y=0时， ，
解得x1=-4，x2=0，
点A（-4，0），
设直线 的函数解析式 ，过A、B两点，代入得
，
解方程组得 ，
直线 的函数解析式为 ；
（2）解：∵点 是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线对称轴为x= =-2，
∵C△BOQ的周长=OQ+QB+OB，点O，点B是定点，OB长是定值，
∴当 的周长最小时，就是OQ+QB最小，
∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，
∴点A，点Q，点B三点共线时，OQ+QB=AQ+QB≥AB最短，
当x =-2式， ，
点Q（-2，2），
S△BOQ的面积=S△BAO-S△QAO= ；
（3）（6，6）或（-2，6）或（-6，-6）
16．【答案】（1）解： 根据题意设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4.
∵抛物线与x轴交于点A（3，0），
∴0=a(3-1)2+4，
∴a=-1，
∴y=-(x-1)2+4.
令y=-(x-1)2+4中x=0，得y=3，
∴B（0，3）.
令y=-(x-1)2+4中y=0，得x=3或x=-1，
∴A（3，0）.
设直线AB的解析式为y=kx+b，将（0，3）、（3，0）代入可得
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3.
（2）解：过点C作CD∥y轴，交AB于点D，
令y=-x+3中的x=1，得y=2，
∴D（1，2），
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=×1×(4-2)+×2×(3-1)=1+2=3.
（3）解：过点P作PF∥y轴，交AB于点F，设P（x，-x2+2x+3），则F（x，-x+3），
∴S△PAB=S△BFP+S△AFP=×x×[(-x2+2x+3)-(-x+3)]+×(3-x)×[(-x2+2x+3)-(-x+3)]==(x-)2+.
∵0
当x=时，y=-x2+2x+3==，
∴点P的坐标为（，）.
（4）解：存在，点Q的坐标是（2，3）或（，）或（，）.
