河北省廊坊市安次区2022-2023学年八年级上学期期末数学测试题
一、单选题
1．（2021八上·丰台期末）钢架雪车是年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·安次期末）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
3．（2022八上·安次期末）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·安次期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·安次期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
6．（2022八上·安次期末）下列各式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八下·平谷期末）下列多边形中，内角和为540°的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·安次期末）如图．点P是的角平分线上的一点，于点E，已知，则点P到的距离是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．9
9．（2020八上·晋安期中）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，则∠BCE的度数为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．90°
10．（2022八上·安次期末）如图，，的周长为9，的垂直平分线交于点E，垂足为D，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．9
11．（2022八上·安次期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022八上·安次期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为 （ ）
A．1或5 B．7或-1 C．5 D．7
13．（2022八上·安次期末）如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022八上·安次期末）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：
如图，点D在上，点E在上，，， 求证：. 证明：在和中，， ∴，∴.
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴”和“∴”之间作补充，下列说法正确的是 （ ）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“∴”
C．应补充“∴” D．应补充“∴”
16．（2021八上·新邵期末）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间.如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
17．（2018·滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
18．（2022八上·安次期末）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．
三、解答题
19．（2022·六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
（1）用含，的代数式表示中能使用的面积 ；
（2）若，，求比多出的使用面积．
20．（2022八上·安次期末）
（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（2022八上·安次期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
22．（2022八上·安次期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出（1）中所画的的各顶点坐标；
（3）连接，则四边形的面积为 ．
23．（2022八上·安次期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24．（2022·吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
25．（2022八上·安次期末）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： ；
（2）如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：．
26．（2022八上·安次期末）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？ ；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点D运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：只有D选项符合题意，其余选项的均不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项不符合题意．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项符合题意．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，则，解得，
故答案为：A
【分析】利用分式有意义的条件可得，再求出a的取值范围即可。
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案。
5．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，不符合题意；
B、四边形的内角和是，不符合题意；
C、五边形的内角和是，符合题意；
D、六边形的内角和是，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的内角和公式逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，
∴P到的距离，
故答案为：D
【分析】利用角平分线的性质可得P到的距离。
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质得出∠DCE＝∠ACB，然后根据角的和差关系计算，即可解答.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
由的周长为9可得，，
则，
，
故答案为：B
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得。
11．【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：分式与的最简公分母，
故答案为：A
【分析】根据最简公分母的定义求解即可。
12．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方式的特征可得，再求出m的值即可。
13．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：，
，
是等边三角形，
，
．
又，
．
故答案为：C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角及等腰三角形的性质可得，最后求出即可。
14．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A中，符合题意；
B中，不符合题意；
C中，不符合题意；
D中，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用单项式除以单项式、完全平方公式、合并同类项和积的乘方逐项判断即可。
15．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】证明：在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
16．【答案】D
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设规定日期为天，
由题意可得，，
整理得，或或.
则选项均正确，
故答案为：D.
【分析】设规定日期为天，由题意可得：(+)×2+=1，化简即可判断.
17．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【分析】根据三角形的内角和即可得出答案。
18．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。
19．【答案】（1）
（2）解： 中能使用的面积为 ，
则 比 多出的使用面积为 ，
， ，
，
答： 比 多出的使用面积为50．
【知识点】列式表示数量关系；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解： 中能使用的面积为 ，
故答案为： ．
【分析】（1）利用边长为a的正方形的面积减去M，列式即可.
（2）利用边长为b的正方形的面积减去M，可表示出B的面积；再列式可得到A的面积-B的面积，列式计算，然后将其转化为（a+b）（a-b），整体代入求值.
20．【答案】（1）解：
可得：
解得，
经检验，是原分式方程的增根；
故方程无解；
（2）解：
，
将代入得，原式．
【知识点】利用分式运算化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
21．【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得；
（2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。
22．【答案】（1）解：如图
（2）
（3）8
【知识点】点的坐标；梯形；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（3）
故答案为：8
【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可；
（3）利用梯形面积的计算方法求解即可。
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明即可；
（2）先求出，再利用线段的和差求出BC的长即可。
24．【答案】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个， 根据题意列出分式方程解之即可。
25．【答案】（1）(x+2)(x+3)=x2+5x+6
（2）解：中，∵，，
∴，
又∵是斜边边上的高，
，
∴，
∵两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得：，
解得：；
（3）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
可得：.
【知识点】列式表示数量关系；定义新运算
【解析】【解答】（1）大长方形的面积可以表示为，
大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，即．
根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得等式为：．
故答案为：(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；
（2）利用等面积法可得，再求出即可；
（3）先求出，，再结合，可得，最后求出即可。
26．【答案】（1）等边三角形
（2）解：AC+CD＝CE，
证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）解：点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，
当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE，
当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE，
∴△DEC的周长≥BC+DE，
∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，
∴AD的最小值为，
∴△DEC的周长的最小值为4+2．
【知识点】等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
【分析】（1）利用等边三角形的判定方法求解即可；
（2）先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE，再利用线段的和差及等量代换可得CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，再结合△ADE为等边三角形，求出AD的最小值为，最后求出△DEC的周长的最小值为4+2即可。
河北省廊坊市安次区2022-2023学年八年级上学期期末数学测试题
一、单选题
1．（2021八上·丰台期末）钢架雪车是年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：只有D选项符合题意，其余选项的均不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2022八上·安次期末）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项不符合题意．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项符合题意．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可。
3．（2022八上·安次期末）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，则，解得，
故答案为：A
【分析】利用分式有意义的条件可得，再求出a的取值范围即可。
4．（2022八上·安次期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案。
5．（2022八上·安次期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
6．（2022八上·安次期末）下列各式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
7．（2022八下·平谷期末）下列多边形中，内角和为540°的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，不符合题意；
B、四边形的内角和是，不符合题意；
C、五边形的内角和是，符合题意；
D、六边形的内角和是，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用多边形的内角和公式逐项判断即可。
8．（2022八上·安次期末）如图．点P是的角平分线上的一点，于点E，已知，则点P到的距离是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：平分，，
∴P到的距离，
故答案为：D
【分析】利用角平分线的性质可得P到的距离。
9．（2020八上·晋安期中）如图，△ABC≌△DEC，∠ACB＝90°，∠DCB＝20°，则∠BCE的度数为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质得出∠DCE＝∠ACB，然后根据角的和差关系计算，即可解答.
10．（2022八上·安次期末）如图，，的周长为9，的垂直平分线交于点E，垂足为D，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．9
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
由的周长为9可得，，
则，
，
故答案为：B
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得。
11．（2022八上·安次期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：分式与的最简公分母，
故答案为：A
【分析】根据最简公分母的定义求解即可。
12．（2022八上·安次期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为 （ ）
A．1或5 B．7或-1 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方式的特征可得，再求出m的值即可。
13．（2022八上·安次期末）如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：，
，
是等边三角形，
，
．
又，
．
故答案为：C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角及等腰三角形的性质可得，最后求出即可。
14．（2022·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A中，符合题意；
B中，不符合题意；
C中，不符合题意；
D中，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用单项式除以单项式、完全平方公式、合并同类项和积的乘方逐项判断即可。
15．（2022八上·安次期末）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：
如图，点D在上，点E在上，，， 求证：. 证明：在和中，， ∴，∴.
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴”和“∴”之间作补充，下列说法正确的是 （ ）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“∴”
C．应补充“∴” D．应补充“∴”
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】证明：在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
16．（2021八上·新邵期末）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间.如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设规定日期为天，
由题意可得，，
整理得，或或.
则选项均正确，
故答案为：D.
【分析】设规定日期为天，由题意可得：(+)×2+=1，化简即可判断.
二、填空题
17．（2018·滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【分析】根据三角形的内角和即可得出答案。
18．（2022八上·安次期末）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。
三、解答题
19．（2022·六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
（1）用含，的代数式表示中能使用的面积 ；
（2）若，，求比多出的使用面积．
【答案】（1）
（2）解： 中能使用的面积为 ，
则 比 多出的使用面积为 ，
， ，
，
答： 比 多出的使用面积为50．
【知识点】列式表示数量关系；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解： 中能使用的面积为 ，
故答案为： ．
【分析】（1）利用边长为a的正方形的面积减去M，列式即可.
（2）利用边长为b的正方形的面积减去M，可表示出B的面积；再列式可得到A的面积-B的面积，列式计算，然后将其转化为（a+b）（a-b），整体代入求值.
20．（2022八上·安次期末）
（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
可得：
解得，
经检验，是原分式方程的增根；
故方程无解；
（2）解：
，
将代入得，原式．
【知识点】利用分式运算化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
21．（2022八上·安次期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得；
（2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。
22．（2022八上·安次期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出（1）中所画的的各顶点坐标；
（3）连接，则四边形的面积为 ．
【答案】（1）解：如图
（2）
（3）8
【知识点】点的坐标；梯形；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（3）
故答案为：8
【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可；
（3）利用梯形面积的计算方法求解即可。
23．（2022八上·安次期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明即可；
（2）先求出，再利用线段的和差求出BC的长即可。
24．（2022·吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【答案】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个， 根据题意列出分式方程解之即可。
25．（2022八上·安次期末）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： ；
（2）如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：．
【答案】（1）(x+2)(x+3)=x2+5x+6
（2）解：中，∵，，
∴，
又∵是斜边边上的高，
，
∴，
∵两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得：，
解得：；
（3）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
可得：.
【知识点】列式表示数量关系；定义新运算
【解析】【解答】（1）大长方形的面积可以表示为，
大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，即．
根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得等式为：．
故答案为：(x+2)(x+3)=x2+5x+6；
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；
（2）利用等面积法可得，再求出即可；
（3）先求出，，再结合，可得，最后求出即可。
26．（2022八上·安次期末）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．
（1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？ ；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点D运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形
（2）解：AC+CD＝CE，
证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）解：点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE，
当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE，
当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE，
∴△DEC的周长≥BC+DE，
∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，
∴AD的最小值为，
∴△DEC的周长的最小值为4+2．
【知识点】等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
【分析】（1）利用等边三角形的判定方法求解即可；
（2）先利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE，再利用线段的和差及等量代换可得CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD；
（3）当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小，再结合△ADE为等边三角形，求出AD的最小值为，最后求出△DEC的周长的最小值为4+2即可。
