山东省烟台市蓬莱区2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．（2019·拱墅模拟） 的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．（2021·广元）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·三门峡模拟）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·滨州）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝ 米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
5．已知一组数据5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2019·潍坊模拟）关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
7．（2022·山西模拟）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
8．（2020·济宁）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
9．（2020·威海）如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ， ， ， 上．若直线 且间距相等， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·德州）二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若 ， 是图象上的两点，则
B．
C．方程 有两个不相等的实数根
D．当 时，y随x的增大而减小
二、填空题
11．（2022九下·蓬莱期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2022九下·蓬莱期中）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为 ．
13．（2020九上·简阳月考）如图，在直角坐标系中， OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 OAB的位似比为 的位似图形 OCD，则点C的坐标为 .
14．（2022九下·蓬莱期中）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P1、点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为 ．
15．（2022九下·蓬莱期中）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2022九下·蓬莱期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G，若DE＝2cm，OF＝3cm，则点A到DF的距离为 ．
三、解答题
17．（2022九下·蓬莱期中）先化再求代数式的值，其中．
18．（2021·庐阳模拟）某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
19．（2020·通辽）某服装专卖店计划购进 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求 型服装的单价；
（2）专卖店要购进 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
20．（2022九下·蓬莱期中）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．
21．（2022九下·蓬莱期中）如图，直线分别与x轴y轴交于A、B两点，反比例函数的图像与直线AB交于C，D两点点C的坐标为（2，n），连接OC，．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP=90°，求点P的坐标；
（3）若y1≥y2，请直接写出x的取值范围．
22．（2021·三水模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8， ＝ ，求CD的长．
23．（2019九上·信丰期中）问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°到ΔAED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝ CD，从而得出结论：AC+BC＝ CD．
图①
图②
图③
图④
简单应用：
（1）在图①中，若AC＝ ，BC＝2 ，则CD＝ .
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长.
（3）拓展延伸：
如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；
（3）若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝4，
4的算术平方根是2，
所以 的算术平方根是2，
故答案为：A.
【分析】如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作,据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】由轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形;中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形可得结果.
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当.
故答案为：A.
【分析】由三视图可知：该几何体上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，
它的平均数为，
数据的中位数为4，众数为4，
数据的方差．
所以①②③符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用众数、平均数、方差和中位数的定义及计算方法逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】设 ， 是 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，一元二次方程拥有两个不相等的实数根，根据其即可得到根的判别式大于0，根据韦达定理得到两个根之间的关系，计算得到m的值即可。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故答案为：B．
【分析】连接AD，则AD=AG=3，∠ADB=∠ADC=90°，根据∠BAD的余弦值可求出∠BAD=60°，由AD=AE可得∠ADE=∠AED=72°，利用三角形内角和求出∠DAE=36°，从而求出∠GAC=96°，根据圆周角定理可得∠GFE=∠GAC=48°.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2 ，CD=2，
∴△DBC的面积为 CD BH= ×2×2 =2 .
故答案为：B.
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2 ，CD=2，于是求出△DBC的面积．
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BC＝3，
∴GB＝ ，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝ = = ，
∴tanα的值为 ，
故答案为：A．
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由函数的图象可知，二次函数 的对称轴为
则当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，选项D不符合题意
由对称性可知， 时的函数值与 时的函数值相等
则当 时，函数值为
，则选项A符合题意
又 当 时，
，即 ，选项B符合题意
由函数的图象可知，二次函数 的图象与x轴有两个交点
则将二次函数 的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数 与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
即方程 有两个不相等的实数根，选项C符合题意
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
11．【答案】x≥2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】因为分式分母不能为0，二次根式被开方数大于等于0，所以且且，取解的公共部分，所以得到x≥2.
故本题正确答案为x≥2.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．【答案】k≤6且k≠3
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
检验：
关于的分式方程的解是非负数，
综上：k≤6且k≠3
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组求解即可。
13．【答案】 ，
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 以点 为位似中心，在第三象限内作与 的位似比为 的位似图形 ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， .
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
14．【答案】(2.8，3.6)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A到点经过了向下平移5，向左平移4，
∴点P经过相同的移动，得到P1坐标，
∵P坐标为(1.2，1.4)，
∴1.2-4=-2.8，1.4-5=-3.6，
即点P1的坐标为(-2.8，-3.6)，
∵点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，
∴P2、P1关于原点对称，
∴点P2的坐标为(2.8，3.6)，
故答案为：(2.8，3.6)．
【分析】利用点坐标平移的特征和旋转的性质求解即可。
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】∵正六边形边长为4，正六边形可以分成六个等边三角形，每个三角形的边长等于4，
∴每个等边三角形的高为，
∴正六边形的面积为，
六个半圆的面积为，
∵圆的半径等于正六边形的边长，
∴圆的面积为，
∴阴影部分面积=，
故答案为：．
【分析】利用割补法和扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，即O为AC中点，
∵F为AE中点，
∴，OF是△ACE的中位线，点G是AD的中点，
∵，
∴ ，即OF垂直平分AD，
∴AG=GD，，
∵OF=3，
∴OG=OF-FG=3-1=2(cm)，
∵O为AC中点，G为AD中点，
∴CD=2OG=4(cm)，
∴AD=CD=4cm，
∴DG=2cm，
∵，
∴，
过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H，
∴△ADF的面积为：，
∴.
故答案为：．
【分析】过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H，先利用勾股定理求出FD的长，再利用等面积法可得，再求出即可。
17．【答案】解：原式
∵，
∴原式
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
18．【答案】（1）50；36%
（2）解：∵“69.5～79.5”这一范围的人数为 （人），
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为 （人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为 （人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为 （人）；
补全图2频数直方图：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8种，
所以恰好选中1男1女的概率 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） （人）
，
故答案为：50，36%；
【分析】（1）根据“89.5～99.5”人数12人除以占比24%即可求得总人数，再将“59.5～69.5”除以总人数得到占比，最后用1减去30%，减去10%，减去24%，据此即可解题；
（2）分别计算“69.5～74.5”这一范围的人数，“79.5～84.5”这一范围的人数，即可画图；
（3）根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再解得所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
19．【答案】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，
依题意得：
解得：
答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，
根据题意，得m≥2（60-m），
∴m≥40，
设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，
w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．
答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
20．【答案】（1）解：如图所示，过点A作，，，
则，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴mm，
∴．
∴点到直线的距离是．
（2）解：如图所示，
根据题意可得，，，
∴，
∴，
根据（1）可得，
∴旋转的角度=．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点A作，，，先求出，，再利用线段的和差求出AM的长即可；
（2）根据，求出，再利用角的运算求出旋转的角度即可。
21．【答案】（1）解：如图1，过点C作CE⊥OB于点E，
∴∠OEC=90°
∵C(2，n)，
∴CE=2，OE=n
∵，
∴，
∴，解得n=4
∴C点坐标为(2，4)
将点C的坐标代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：如图2，连接OD，过点D作DF⊥OA于点F．
将点C的坐标代入中，
得，
∴，直线AB的表达式为，
联立 解得，
∴点D的坐标为（8，1）．
∵∠OFD=90°，∠DOF+∠ODF=90°
∵∠ODP=90°，∠ODF+∠PDF=90°
∴∠DOF=∠PDF，
∴△OFD∽△DFP，
∴
∵D(8，1)，
∴OF=8，DF=1 ，
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解：
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（3）根据图像，在C、D两点之间时，直线在双曲线上方，
即在此区间，
∴x的取值范围为：．
【分析】（1）过点C作CE⊥OB于点E，根据可得，再求出n的值，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入求出k的值即可；
（2）连接OD，过点D作DF⊥OA于点F，先求出直线AB的解析式，再联立方程组求出点D的坐标，再证出 △OFD∽△DFP，可得，再将数据代入求出，利用线段的和差求出PF的长，即可得到点P的坐标；
（3）结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
22．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝ ＝tan∠BCE＝ ＝ ，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
23．【答案】（1）3
（2）解：如图3，连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90 ，
∵AD =BD ，∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理得：AC=5，
由图1得：AC+BC= CD，5+12= CD，∴CD=
（3）解：解法一：以AB为直径作⊙O,连接DO并延长交⊙O于点D1，
连接D1A、D1B、D1C、CD,如图4,
由(2)得：AC+BC= D1C，∴D1C=2 ，
∵D1D是⊙O的直径，∴∠D1CD=90 ，
∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，∴D1D2=AB2=m2+n2，
∵D1C2+DC2=D1D2，∴CD2=m2+n2 = ,
∵m
∴A、B. C. D在以AB为直径的圆上，∴∠DAC=∠DBC，
将△BCD绕点D,逆时针旋转90 到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，
∴△BCD≌△AED，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴∠ADC ∠ADC=∠ADE ∠ADC，
即∠ADB=∠CDE=90 ，∴△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD，
∵AC=m，BC=n=AE，∴CE=n m，∴CD= .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】(1)由题意知：AC+BC= CD，∴ +2 = CD， ∴CD=3；
【分析】（1）由题意可知：AC+BC= CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC= CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度.
24．【答案】（1）解：∵BQ=1，
∴点B的横坐标为1，
∵B在反比例函数的图象上，
∴点B的纵坐标为3，
∴点B的坐标为（1，3）．
把点A（-2，0）、B（1，3）分别代入y=ax2+bx
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x=-1，
设点P的坐标为：（-1，p ）
如解图，作点О关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴交于点P，连接OP，PQ．
∵AP=OP，
∴BP+OP=BP+AP，
∴BP+OP的最小值为AB的长．
设直线AB的表达式为y=kx+d，
将点A(-2，0)，B(1，3)代入可得，
，
解得
∴直线AB的表达式为．
将点P的坐标代入直线AB的表达式可得，p=-1+2=1．
∴点P的坐标为（-1，1）
∵点B的坐标为（1，3），BQ⊥y轴，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴
（3）解：存在，，，，，（-1，2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3），
设
则，，
①当为对角线时，，
解得
②当为边时，时，
解得
（），（），
时，
解得
（），（），
综上所述（），（），（），（），（-1，2）
【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；
（2）作点О关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴交于点P，连接OP，PQ，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点P和点Q的坐标，最后利用两点之间的距离公式求出PQ的长即可；
（3）分类讨论：①当AB为对角线时，DA=DB，②当AB为边时，AB=AD时，再分别求解即可。
山东省烟台市蓬莱区2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．（2019·拱墅模拟） 的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝4，
4的算术平方根是2，
所以 的算术平方根是2，
故答案为：A.
【分析】如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作,据此解答即可.
2．（2021·广元）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】由轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形;中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形可得结果.
3．（2021·三门峡模拟）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当.
故答案为：A.
【分析】由三视图可知：该几何体上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当，据此判断.
4．（2020·滨州）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝ 米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解：110纳米=110×10-9米=1.1×10-7米．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．已知一组数据5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，
它的平均数为，
数据的中位数为4，众数为4，
数据的方差．
所以①②③符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用众数、平均数、方差和中位数的定义及计算方法逐项判断即可。
6．（2019·潍坊模拟）关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和为12，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】设 ， 是 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知，一元二次方程拥有两个不相等的实数根，根据其即可得到根的判别式大于0，根据韦达定理得到两个根之间的关系，计算得到m的值即可。
7．（2022·山西模拟）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故答案为：B．
【分析】连接AD，则AD=AG=3，∠ADB=∠ADC=90°，根据∠BAD的余弦值可求出∠BAD=60°，由AD=AE可得∠ADE=∠AED=72°，利用三角形内角和求出∠DAE=36°，从而求出∠GAC=96°，根据圆周角定理可得∠GFE=∠GAC=48°.
8．（2020·济宁）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2 ，CD=2，
∴△DBC的面积为 CD BH= ×2×2 =2 .
故答案为：B.
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2 ，CD=2，于是求出△DBC的面积．
9．（2020·威海）如图，矩形 的四个顶点分别在直线 ， ， ， 上．若直线 且间距相等， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BC＝3，
∴GB＝ ，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝ = = ，
∴tanα的值为 ，
故答案为：A．
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
10．（2020·德州）二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若 ， 是图象上的两点，则
B．
C．方程 有两个不相等的实数根
D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由函数的图象可知，二次函数 的对称轴为
则当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，选项D不符合题意
由对称性可知， 时的函数值与 时的函数值相等
则当 时，函数值为
，则选项A符合题意
又 当 时，
，即 ，选项B符合题意
由函数的图象可知，二次函数 的图象与x轴有两个交点
则将二次函数 的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数 与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
即方程 有两个不相等的实数根，选项C符合题意
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
二、填空题
11．（2022九下·蓬莱期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】因为分式分母不能为0，二次根式被开方数大于等于0，所以且且，取解的公共部分，所以得到x≥2.
故本题正确答案为x≥2.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．（2022九下·蓬莱期中）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为 ．
【答案】k≤6且k≠3
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
检验：
关于的分式方程的解是非负数，
综上：k≤6且k≠3
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组求解即可。
13．（2020九上·简阳月考）如图，在直角坐标系中， OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 OAB的位似比为 的位似图形 OCD，则点C的坐标为 .
【答案】 ，
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 以点 为位似中心，在第三象限内作与 的位似比为 的位似图形 ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， .
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
14．（2022九下·蓬莱期中）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P1、点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为 ．
【答案】(2.8，3.6)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A到点经过了向下平移5，向左平移4，
∴点P经过相同的移动，得到P1坐标，
∵P坐标为(1.2，1.4)，
∴1.2-4=-2.8，1.4-5=-3.6，
即点P1的坐标为(-2.8，-3.6)，
∵点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，
∴P2、P1关于原点对称，
∴点P2的坐标为(2.8，3.6)，
故答案为：(2.8，3.6)．
【分析】利用点坐标平移的特征和旋转的性质求解即可。
15．（2022九下·蓬莱期中）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】∵正六边形边长为4，正六边形可以分成六个等边三角形，每个三角形的边长等于4，
∴每个等边三角形的高为，
∴正六边形的面积为，
六个半圆的面积为，
∵圆的半径等于正六边形的边长，
∴圆的面积为，
∴阴影部分面积=，
故答案为：．
【分析】利用割补法和扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可。
16．（2022九下·蓬莱期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G，若DE＝2cm，OF＝3cm，则点A到DF的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，即O为AC中点，
∵F为AE中点，
∴，OF是△ACE的中位线，点G是AD的中点，
∵，
∴ ，即OF垂直平分AD，
∴AG=GD，，
∵OF=3，
∴OG=OF-FG=3-1=2(cm)，
∵O为AC中点，G为AD中点，
∴CD=2OG=4(cm)，
∴AD=CD=4cm，
∴DG=2cm，
∵，
∴，
过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H，
∴△ADF的面积为：，
∴.
故答案为：．
【分析】过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H，先利用勾股定理求出FD的长，再利用等面积法可得，再求出即可。
三、解答题
17．（2022九下·蓬莱期中）先化再求代数式的值，其中．
【答案】解：原式
∵，
∴原式
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
18．（2021·庐阳模拟）某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50；36%
（2）解：∵“69.5～79.5”这一范围的人数为 （人），
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为 （人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为 （人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为 （人）；
补全图2频数直方图：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8种，
所以恰好选中1男1女的概率 ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） （人）
，
故答案为：50，36%；
【分析】（1）根据“89.5～99.5”人数12人除以占比24%即可求得总人数，再将“59.5～69.5”除以总人数得到占比，最后用1减去30%，减去10%，减去24%，据此即可解题；
（2）分别计算“69.5～74.5”这一范围的人数，“79.5～84.5”这一范围的人数，即可画图；
（3）根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再解得所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
19．（2020·通辽）某服装专卖店计划购进 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求 型服装的单价；
（2）专卖店要购进 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
【答案】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，
依题意得：
解得：
答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，
根据题意，得m≥2（60-m），
∴m≥40，
设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，
w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．
答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
20．（2022九下·蓬莱期中）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．
【答案】（1）解：如图所示，过点A作，，，
则，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴mm，
∴．
∴点到直线的距离是．
（2）解：如图所示，
根据题意可得，，，
∴，
∴，
根据（1）可得，
∴旋转的角度=．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点A作，，，先求出，，再利用线段的和差求出AM的长即可；
（2）根据，求出，再利用角的运算求出旋转的角度即可。
21．（2022九下·蓬莱期中）如图，直线分别与x轴y轴交于A、B两点，反比例函数的图像与直线AB交于C，D两点点C的坐标为（2，n），连接OC，．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP=90°，求点P的坐标；
（3）若y1≥y2，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，过点C作CE⊥OB于点E，
∴∠OEC=90°
∵C(2，n)，
∴CE=2，OE=n
∵，
∴，
∴，解得n=4
∴C点坐标为(2，4)
将点C的坐标代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：如图2，连接OD，过点D作DF⊥OA于点F．
将点C的坐标代入中，
得，
∴，直线AB的表达式为，
联立 解得，
∴点D的坐标为（8，1）．
∵∠OFD=90°，∠DOF+∠ODF=90°
∵∠ODP=90°，∠ODF+∠PDF=90°
∴∠DOF=∠PDF，
∴△OFD∽△DFP，
∴
∵D(8，1)，
∴OF=8，DF=1 ，
∴，解得，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解：
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（3）根据图像，在C、D两点之间时，直线在双曲线上方，
即在此区间，
∴x的取值范围为：．
【分析】（1）过点C作CE⊥OB于点E，根据可得，再求出n的值，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入求出k的值即可；
（2）连接OD，过点D作DF⊥OA于点F，先求出直线AB的解析式，再联立方程组求出点D的坐标，再证出 △OFD∽△DFP，可得，再将数据代入求出，利用线段的和差求出PF的长，即可得到点P的坐标；
（3）结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
22．（2021·三水模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8， ＝ ，求CD的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝ ＝tan∠BCE＝ ＝ ，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
23．（2019九上·信丰期中）问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°到ΔAED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝ CD，从而得出结论：AC+BC＝ CD．
图①
图②
图③
图④
简单应用：
（1）在图①中，若AC＝ ，BC＝2 ，则CD＝ .
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长.
（3）拓展延伸：
如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m
（2）解：如图3，连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90 ，
∵AD =BD ，∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理得：AC=5，
由图1得：AC+BC= CD，5+12= CD，∴CD=
（3）解：解法一：以AB为直径作⊙O,连接DO并延长交⊙O于点D1，
连接D1A、D1B、D1C、CD,如图4,
由(2)得：AC+BC= D1C，∴D1C=2 ，
∵D1D是⊙O的直径，∴∠D1CD=90 ，
∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，∴D1D2=AB2=m2+n2，
∵D1C2+DC2=D1D2，∴CD2=m2+n2 = ,
∵m
∴A、B. C. D在以AB为直径的圆上，∴∠DAC=∠DBC，
将△BCD绕点D,逆时针旋转90 到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，
∴△BCD≌△AED，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴∠ADC ∠ADC=∠ADE ∠ADC，
即∠ADB=∠CDE=90 ，∴△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD，
∵AC=m，BC=n=AE，∴CE=n m，∴CD= .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】(1)由题意知：AC+BC= CD，∴ +2 = CD， ∴CD=3；
【分析】（1）由题意可知：AC+BC= CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC= CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度.
24．（2022九下·蓬莱期中）如图，抛物线与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数图象交于点B，过点B作BQ⊥y轴于点Q，BQ=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；
（3）若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵BQ=1，
∴点B的横坐标为1，
∵B在反比例函数的图象上，
∴点B的纵坐标为3，
∴点B的坐标为（1，3）．
把点A（-2，0）、B（1，3）分别代入y=ax2+bx
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x=-1，
设点P的坐标为：（-1，p ）
如解图，作点О关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴交于点P，连接OP，PQ．
∵AP=OP，
∴BP+OP=BP+AP，
∴BP+OP的最小值为AB的长．
设直线AB的表达式为y=kx+d，
将点A(-2，0)，B(1，3)代入可得，
，
解得
∴直线AB的表达式为．
将点P的坐标代入直线AB的表达式可得，p=-1+2=1．
∴点P的坐标为（-1，1）
∵点B的坐标为（1，3），BQ⊥y轴，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴
（3）解：存在，，，，，（-1，2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3），
设
则，，
①当为对角线时，，
解得
②当为边时，时，
解得
（），（），
时，
解得
（），（），
综上所述（），（），（），（），（-1，2）
【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；
（2）作点О关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴交于点P，连接OP，PQ，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点P和点Q的坐标，最后利用两点之间的距离公式求出PQ的长即可；
（3）分类讨论：①当AB为对角线时，DA=DB，②当AB为边时，AB=AD时，再分别求解即可。
